基于認知水平分析的習題選擇與編制

浙江寧波市奉化區教師進修學校（315502） 宋煜陽

“雙減”背景下，提高作業設計質量成為學校和教師的核心工作之一。作業設計的質量，關鍵在于習題的選擇與編制。一道習題的“好”與“壞”，主要取決于習題的情境、知識和認知水平三個核心元素。

本文以顧泠沅教授的認知水平理論為依據，采用核心知識評價維度的構建、習題認知水平的劃分和不同認知水平之間的升級等策略，實施基于認知水平分析的習題選擇和編制。

一、建立評價框架，確定習題內容設計的維度

作業減量提質，需要在習題內容設計的維度上下功夫。習題內容設計維度的確定，關鍵在于能否建立科學、合理的評價框架。其中，概念模型理解與多元表征、能力評價指標體系構建是形成評價框架的重要手段。

1.把握概念的模型、理解目標與表征方式，實現習題內容維度的全覆蓋

數學概念既是數學學習的重要基礎，又是習題內容設計的重要對象。在設計時，一方面要明確概念學習的目標，在結果性目標上是要達到“了解”“理解”“掌握”“運用”中的哪個學習水平，需要實現“經歷”“體驗”“探索”中哪個過程性目標；另一方面，要明確概念在不同學習階段的具體模型和目標要求，豐富表征方式，在某個概念配套練習的內容維度上實現全面覆蓋，確保概念理解的整體性和進階性。

比如“乘法”概念，具體模型有求和模型、倍的模型、面積模型、搭配模型四種，主要在二、三年級集中學習。其中，人教版教材二年級上冊表內乘法單元，乘法含義定位為求和（求幾個相同加數的和）模型。口訣“二四得八”練習的目標為“理解‘二四得八’乘法口訣的含義，能在具體情境中區分2個4和4 個2”“知道乘法算式各部分名稱，能區分加法和乘法算式”兩個目標。

相應練習可以設計為圖1 涂補花瓣的形式，其中①②③都是圍繞乘法算式各部分名稱來表征的，而在乘法口訣含義理解的表征比較豐富：選項④用數間隔的情境表示“4 個2”；選項⑤用點子圖表示“2 個4”或“4 個2”；選項⑥用數形結合的情境表示“4 個2”；選項⑧用算式連加表示“2 個4”。該練習始終圍繞“求幾個相同加數的和”這一乘法模型展開，形式活潑，素材全面，層次分明。

圖1

在三年級下學期，學生經歷了求和、倍、面積、搭配等多個模型的學習，對乘法概念已經相當熟悉，這時就可以設計多個模型辨析的綜合練習：下面哪些數學問題能夠用算式24×3 來解決？（1）三（1）班買了3 個足球，每個足球24 元。買足球一共花了多少錢？（2）聰聰今年24 歲，爺爺今年的年齡是聰聰的3 倍，爺爺今年多少歲？（3）明明畫了一個長24厘米、寬3厘米的長方形。這個長方形的面積是多少平方厘米？（4）三（2）班有24 本不同的科普書，3 本漫畫書。每次只能借一本科普書和一本漫畫書，一共有多少種不同的借書方法？四個小題分別對應了求和模型、倍的模型、面積模型和搭配模型。

上述習題均圍繞乘法概念模型展開，由于不同學習階段對概念模型內涵要求不同，概念表征的維度也就發生了變化，習題的寬度自然也不盡相同。

2.構建關鍵能力評價指標分析框架，實現習題內容維度的系統性

要實現教、學、評一致性，就需要構建關鍵能力評價指標體系。運算能力是一項關鍵數學能力，能力指標體系主要包括正確運算、理解算理、方法合理3個評價維度和9個二級指標。其中正確運算維度包含運算結果的正確性、運算程序的規范性、運算速度的標準性3 個二級指標；理解算理維度包含算理表述的正確性、算理表征的層次性、算理遷移的通用性3 個二級指標；方法合理維度包含運算方法的多樣性、運算過程的簡潔性、運算方法的創新性3 個二級指標。對照運算能力評價指標分析框架，“100 以內不退位減法”的練習就可以對標設計（如表1）。

表1

每個具體的教學內容，都指向一定的關鍵能力。如果明確了數學關鍵能力，構建了相應的能力評價指標體系，并以此作為練習設計的依據，練習就具備了較強的系統性，也實現了教、學、評一致性。

二、了解認知水平，確定習題認知水平的層級

同一個概念，可以設計不同認知水平的習題。依據顧泠沅教授的認知水平理論，習題認知水平可以劃分為四個水平層級：水平一，操作性記憶水平；水平二，概念性記憶水平；水平三，說明性理解水平；水平四，探究性理解水平。比如，“平均數”概念，根據學生的認知水平可以設計以下四題：

（1）某小組6 名學生的身高分別為139 cm、140 cm、135 cm、138 cm、139 cm、137 cm。求小組的平均身高。

（2）判斷正誤：學校排球隊隊員的平均身高是160 cm，有的隊員身高會超過160 cm，有的隊員身高不到160 cm。

（3）聰聰和明明都是四（1）班的學生，他們班在排座位時，個子矮的學生坐前面，個子高的學生坐后面。聰聰計算出第一排學生的平均身高是130 cm，明明計算出第一列學生的平均身高是135 cm。你覺得哪一個數更接近全班學生的平均身高？為什么？

（4）有甲、乙、丙、丁四個數，每次去掉一個數，求出其余三個數的平均數，這樣算了4次，得到57、76、89、98 四個數。甲、乙、丙、丁四個數的平均數是多少？

上述四題分別考查直接利用平均數計算方法求出一組數據的平均數，平均的意義，根據平均數概念的內涵進行不同方向的解釋說明，開放拓展共四個層面，分別對應操作性記憶水平、概念性記憶水平、說明性理解水平和探究性理解水平四個水平。

在習題認知水平劃分時，可以根據學生的學習表現、行為關鍵詞加以識別，作為確認習題認知水平的操作要領，具體可參照表2。

表2

習題認知水平劃分一般包括三個步驟：（1）結合教學內容，確定行為關鍵詞；（2）擬定學生行為描述；（3）對照學生行為描述尋找對應的習題。

以人教版教材三年級下冊“面積和面積單位”內容為例，例題對應的“做一做”和練習十四部分習題劃分如表3所示。

表3

續表

需要指出的是，有些習題可以作為不同認知水平來訓練，具體水平取決于教師的認識與應用。如人教版教材練習十四第5 題“在橫線上填寫合適的單位名稱”中的“黑板長4（ ）”，如果教師只是機械化地告知學生“看到長就填寫長度單位”就變成概念性記憶水平了，而讓學生說明為什么填“米”這個單位，則是說明性理解水平。

三、明確選編要領，把握習題認知升級的節點

學習者需要經歷不同認知水平習題的訓練。因此，低認知水平的習題本身并非壞題，只是習題訓練不能總在低認知水平層面打轉。選擇和編制習題時，需要明確認知水平的設計要領，把握認知升級節點，從而實現有序升級。

1.低認知水平習題設計，需要減少簡單機械的記憶，加強變式，重視對核心知識和活動經驗的復現

概念性記憶水平的習題訓練是有必要的，但需要減少簡單機械的、非本質的概念性記憶考查。比如，判斷題“含有未知數的式子就是方程”，就是考查學生能否復述“含有未知數的等式就是方程”這個定義。而這個定義本身就是形式化的，不能反映方程的本質，這樣的記憶就沒有必要，相關的判斷題也就無實際意義。

相反，部分核心知識和必要的活動經驗表象是需要強化的。比如，數位順序表、十進制計數法都是核心知識，需要理解和有意義記憶。又如，“一個2 分硬幣約重 1g”“1 分鐘有多長”“一拃約 20 厘米”等常見單位參照物、身體尺的表象，需要學生在實踐活動中逐步感知，以形成較好的量感。另外，當地人口數、標志性建筑面積等，都需要學生加以了解，這部分生活常識也是數學實踐性習題必不可少的一部分。

2.高認知水平習題設計，需要還原情境的現實性，加強題目呈現的多元性，降低題目的結構化；注重結論探索的過程性與開放性、結論應用的實踐性與創造性

習題從低認知水平向高認知水平升級，需要在現實情境還原、呈現方式多元、結論探索過程性與開放性、實際應用等方面下功夫。

比如，將題目“一袋方便面現在的質量是120克，比增量前多25%。你知道增量前是多少克嗎？”中的“比增量前多25%”調整為“增量25%，加量不加價”，以生活中的廣告語對現實情境加以還原，就能降低數學結構化成分，但需要學生把生活語言抽象為數學語言。

呈現方式多元，需要加強圖文結合、對話的呈現方式，需要加強多條信息、多幅圖示信息的切換，重在訓練學生對關鍵信息的提取、條件與問題的分析選擇。結論探索過程性與開放性，常見于公式推導、概念習得過程和原理解釋，如“描述三角形面積公式推導過程”“為什么草原上蒙古包底面是圓形的”“為什么合格率不會超過100%”等。實際應用主要表現為實踐性活動，如利用身體尺測量籃球場一圈的長度，通常會涉及方案策劃、策略優化等。

當然，高認知水平習題還包括題組觀察、規律發現和結論開放等類型。如，聰聰家距離學校400米，明明家距離學校700 米，聰聰家距離明明家多少米？這就需要考慮兩家是否在同一直線上，或是同一直線上的兩家是在學校兩側還是同側等多種情形，從而考查學生有序分析問題的能力。

總之，習題是教、學、評一致性的重要載體。教學中，日常作業批改與試題評價反饋，除了關注對錯與得分，更需要重視認知水平分析。基于認知水平分析的習題選擇與編制，是一線教師開展習題研究、實現減負提質的可行路徑。