基于銜接教學的一元二次不等式含參數討論

曹彬

摘要：一元二次不等式的解法是初高中數學銜接課程中的重要內容之一，其中含參數討論是學生普遍認為困難的，容易產生邏輯思維混亂和解題心理不佳的情況.本文探索解決一元二次不等式含參數討論的一般步驟，通過四個問題：是否是二次不等式？對應函數圖象開口如何？對應方程是否有根？根的大小如何？指引學生完成討論，并形成規范的解題思路，而且這種思路推廣到解決含參數分式不等式、絕對值不等式依然適用.

關鍵詞：銜接教學;一元二次不等式;解題思路

中圖分類號：G632文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）09-0011-02

關于x的一元二次不等式ax+bx+c>0（a≠0）的解法是初高中數學銜接課程中的重要內容之一，而含參數一元二次不等式解集討論是這一節中同學們普遍感到困難的部分，這類題融合了分類討論和數形結合思想，考查直觀想象、數學運算等能力.同學們做這類題時，容易出現方向不明、思路不清、敘述不對、討論不全等問題.柏佳楠老師通過調查研究，發現同學們在討論含參數一元二次不等式的解集時出現解題過程邏輯混亂以及解題心理不佳等情況，也提出了一些切實可行的解決策略，但沒有提出討論的具體步驟.

對于剛剛升入高中的學生，怎么討論含參數一元二次不等式的解集呢？當然，不等式ax+bx+c>0不一定是一元二次不等式，顯然這一步是討論過程中的第一步.若滿足a≠0，求一元二次不等式的解集的常用步驟是：解對應一元二次方程的根;畫對應一元二次函數的圖像;寫一元二次不等式的解（其實這也是求其他類型不等式的常用步驟）.根據上述步驟，在討論含參數一元二次不等式的解集時，心里默默地詢問自己如下四個問題，問題解答過程就是分類討論過程，這四個問題是：①是否是二次不等式？②對應函數圖象開口如何？③對應方程是否有根？④根的大小如何？推動繼續分類討論的理由就是答案的“不確定”.接下來展示一下解題過程.

1 解題過程

例1已知a為常數，解關于x的不等式：ax-2（a-1）x-4≤0.

解析①是否是二次不等式？答：不一定，需要討論a是否為0.

當a=0時，原不等式化為2x-4≤0，此時解集為{x|x≤2}.

當a≠0時，②對應函數圖象開口如何？答：不確定，需要討論a的正負.

原不等式轉化為：（ax+2）（x-2）≤0

若a>0時，

③對應方程是否有根？答：有.

對應方程的根為2，-2/a，

④根的大小如何？答：2>-2/a

因為-2/a<0<2，

所以此時不等式的解集為：{x|-2/a≤x≤2}

若a<0時，對應方程的根為2，-2/a，

④根的大小如何？答：此時要討論a與-1的大小.

令2>-2/a，可得a<-1

當a<-1時，不等式的解集為：{x|x≤-2/a或x≥2}

當a=-1時，不等式的解集為：{x|x=2}

當a>-1時，不等式的解集為：{x|x≤2或x≥-2/a}

綜上所述略過.

2 方法推廣

解決一道題的目的是為了解決一類題.在初高中數學銜接教學階段，還會遇到含參數分式不等式、絕對值不等式，上述解題思路還能用嗎？其實，稍作變化仍然適用.

例2解關于x的不等式ax+1/（x-1）（x+2）<0.

解析原不等式等價于（ax+1）（x-1）（x+2）<0

①是否是三次不等式？答：不一定，需要討論a是否為0.

當a=0時，不等式轉化為：（x-1）（x+2）<0

所以解集為：{x|-2<x<1}

當a≠0時，

②對應函數圖象如何？答：采用“數軸穿根法”畫函數的簡圖，圖象與a的正負有關.

當a>0時

③對應方程是否有根？答：有.

對應方程的根為-1/a，-2，1

④根的大小如何？答：此時要討論-1/a，-2，1的大小.

若0<a<1/2時，-1/a<-2<1，解集為：{x|x<-1/a或-2<x<1}，

若a=1/2時，-1/a=-2<1，解集為：{x|x<1且x≠-2}，若a>1/2時，-2<-1/a<1，解集為：{x|x<-2或-1/a<x<1}，當a<0時的討論過程類似.

例3解關于x的不等式|2x-1|≤ax（a>0）.

解析①是否能拆開絕對值符號？答：能，ax的正負不影響解集.

原不等式等價于-ax≤2x-1≤ax.

即等價于不等式組（a+2）x≥1（a-2）x≥-1

②是否是一次不等式組？答：不一定，需要討論a是否為2.

當a=2時，不等式組的解集為{x|x≥1/4}

當a≠2時

③對應函數圖象如何？答：一次函數.

若a>2時，④每個方程是否有根？答：有，分別是1a+2和-1a-2.

⑤根的大小如何？答：1/ a+2>-1/a-2.

解集為{x|x≥1/a+2}

若0<a<2，解集為{x|1/a+2≤x≤-1/a-2}.

此題的解法很多，最好的方法是數形結合法.

天下難事必作于易，通過問題形式，將分類討論的過程結構化、步驟化，防止在討論過程中漏掉必要的步驟，或者避免在討論過程中思維凌亂，這也是解決其他分類討論問題常用的方法.

參考文獻：

[1]柏佳楠.高中生一元二次不等式解題錯誤現狀的調查研究[D].上海：上海師范大學，2021.

[2] 余樹寶.關注“三高”優化教學——以“含參數的一元二次不等式的求解”教學為例[J].中學教研（數學），2021（03）：10-13.

責任編輯：李璟