小學數學教師的統計推理信念研究

董瑤瑤， 劉 堅

(北京師范大學 中國基礎教育質量監測協同創新中心， 北京 100875)

一、研究背景

在大數據時代，人們的生活和職場中充滿著大量的數據。如何運用數據作出理性判斷成為公民必備素養[1]。時代的發展也對學生的素養提出了新的要求。國際經濟合作與發展組織指出：“學生作為未來公民應該熟悉大數據的性質，并能在變化和不確定的情境中做出明智的決策。”[2]對此，統計推理(Statistical Reasoning)的核心內容是在數據處理過程中運用統計做出理性判斷并進行批判性說理，在科學預測(如天氣預報)和理性決策(如疫情風險評估)中發揮著重要的作用，是學生在大數據時代適應未來職場和社會的必備能力。

自21世紀起，美國、新西蘭、日本、新加坡等發達國家的數學課程標準或教學大綱等都對中小學生的統計推理做出了要求。例如，美國于2000年頒布的《學校數學教育的原則和標準》明確要求“學生能基于數據進行推斷和預測”[3]。新加坡2012年頒布的《小學數學教學大綱》要求“學生能使用數據做出明智的決策和預測”[4]。我國《義務教育數學課程標準(2011年版)》明確要求第二學段的學生“能解釋統計結果，根據結果做出簡單的判斷和預測”[5]。隨著新一輪課程標準修訂進程的推進，《義務教育數學課程標準(預審稿)》用“數據意識”代替“數據分析觀念”成為小學數學核心素養。而統計推理的核心是用“數據說話”并自圓其說，是學生數據意識的充分體現。培養學生的統計推理能力，既能發展學生的數據意識，又能促進小學生合情推理能力的提升。

然而，“統計”的課程內容本身就處在小學數學課程中的“弱勢”地位[6]，學生在學校中的統計學習機會有限，有關統計推理的學與教更是數學教師的“盲點”和“難點”所在。已有研究關注了數學教師對數學推理、問題提出的信念[7-8]，但對統計領域的教師信念研究缺乏。數學教師信念涉及數學教師如何認識數學中各素養的內涵，以及如何進行數學的教與學，在教師成長道路上具有認識論層面的指導意義。我國中小學統計教學的推進必然需要教師信念的支持，這樣才能更好地將小學統計教學轉化為課程生產力，從而推動學生統計思維和數據意識的發展。已有許多研究者開展了數學教師信念研究，主流觀點認為數學教師信念包括教師對數學本質、數學教學、學生數學學習的信念[9-12]。其中，數學信念是信念系統中的核心要素并能支持教師教學實踐[13]。

綜上，本研究將從數學教師對數學本質、學生數學學習、數學教學這三個方面來研究小學數學教師的統計推理信念，具體包括教師對統計推理的本質、學生學習、教師教學這三個部分。因此，本研究共有以下三個研究問題：

1.小學數學教師認為統計推理是什么？

2.小學數學教師認為學生如何學習統計推理？

3.小學數學教師認為怎樣進行統計推理教學？

二、研究設計

(一)研究對象

采取目的抽樣法和方便抽樣法，兼顧性別、教齡、職稱和學歷等因素，共選取三位“能促進學生統計素養發展”的小學數學教師作為個案研究對象。三位教師的基本信息如表1所示。

表1 研究對象的基本信息

(二)資料收集方法

在國際教師信念研究中，訪談法是最普遍的資料收集方法[14]。因此，本研究采用半結構化訪談的方法對教師進行一對一的在線訪談，并對訪談過程進行錄音。以訪談提綱中的問題為訪談內容的主軸，再隨著研究對象的回應繼續追問，以深入收集研究對象的信息。其中，借鑒了Xennfontos和Andrews，以及宋乃慶等人的研究[15-16]，本研究的訪談提綱圍繞教師對統計推理的本質、學生學習、教師教學的認識這三個部分展開，共有5個訪談問題。

(三)資料分析方法

結合Gustavo等人和杜宵豐等人在數學教師信念研究中的資料分析方法[17-18]，本研究將基于教師信念的理論框架進行資料分析，主要包括以下四個步驟：(1)對每位教師的訪談文本進行逐一分析，判斷和篩選教師信念(信念是指“個體對命題真實或虛假的判斷”)的部分。(2)根據“統計推理本質信念、統計推理學習信念、統計推理教學信念”這三個主題，將訪談資料初步分類為A、B、C三類。(3)在A、B、C三類資料的基礎上，以教師談論不同的、有意義的話題為界限，運用逐詞編碼、逐句編碼和逐個事件編碼等方式將文本切割成更小的段落，并以此形成分析單位，由阿拉伯數字依次編號，如A-1表示數學信念下的第1個分析單位。(4)將具有相似性質或共同含義的分析單位合并，或將多重意義的分析單位切割，逐漸形成類別并命名。這個過程相當于在A、B、C這三個一級維度下進一步劃分二級維度。

三、研究結果

(一)教師關于統計推理本質的信念

三位被訪談的教師表示很少接觸“統計推理”一詞，但結合統計教學經驗和對數學課程標準中“數據分析觀念”的認識，三位教師均嘗試解讀統計推理的內涵并給出了相關案例。

D老師疑惑這個詞是不是指“數據推斷”，并認為統計推理是“通過一組或幾組數據進行全面多角度的分析，描述數據的信息，進而做出推斷”。以“身高預測”這一問題為例，D老師進一步說明了她對統計推理的理解：“比如預測身高這個例子，11歲的孩子可以收集自己之前的身高數據，然后讓他預測12歲時的身高是多少？通過觀察自身已有的身高數據，嘗試做出折線統計圖，并在此基礎上進行身高預測。或者知道更多同學的身高變化趨勢，了解更多的同齡人身高，在多組數據的對比中來推理和預測。”

L老師先從推理的定義入手解讀統計推理的內涵，她認為推理是指“對未知的猜測”，而統計推理是指“對數據進行收集和分析后，對未發生的事情進行估計、預判、合理的預測”。進一步地，L老師以“天氣預報”為例來說明統計推理的內涵：“比如我們可以考慮風向、云層因素的影響，通過大數據進行統計推理，從而預測未來的天氣。”

C老師結合已有文獻，認為統計推理可以定義為“人們用統計觀點進行推理并能理解統計信息的方式”。同時，他還認為統計推理包括從樣本推斷總體，并從這個視角出發舉例：“如為了解全國住戶對電視機的需要量，就根據收入的多少等情況把住戶分成若干類(若干層次)，從每類中隨機抽出一定數量的住戶作為樣本進行調查，將所得需求量的結果，應用統計學中的計算方法推算出全國的需求量。”

(二)教師關于統計推理學習的信念

首先，三位教師均從學生視角出發，肯定了統計推理對學生學習和發展的意義。D老師和C老師從統計學習視角來理解統計推理的意義。如D老師指出：“統計推理可以培養學生的數據意識和對數據隨機性的體會，能讓學生體會到解決身邊的問題是有價值的。”L老師則更多從社會的角度思考統計推理的學習價值：“現在處于數據時代，淘寶會基于個人喜好，根據大數據進行推送，學習統計推理能幫助學生更好地融入社會，并學會‘用數據去說話’。”

對于學生在學習統計推理時可能存在的困惑，三位教師從不同方面表達了觀點。D老師認為學生是否真的能用“數據說話”是會存在困難的，有的孩子更容易聯系生活實際來“說道理”。D老師還指出，“學生在實際的數據收集過程中會遇到困難。比如我們做統計推理時需要擴大樣本范圍，對于學生來說，收集自己班數據或許是容易的，但是調查其他班、其他年級就相對較難了。”L老師認為數據本身的質量會影響學生的統計推理，她指出：“我認為學生進行統計推理時，會受到數據范圍和數據來源的干擾。”C老師則認為“學生往往對事件發生的可能性不能夠進行判斷”。但實際上，C老師一定程度上混淆了“概率”和“統計”的區別。概率學習是“自上而下”的，往往有一個理論值；而“統計學習”是“自下而上”的，是從數據出發不斷得到可靠結論的過程。

(三)教師關于統計推理教學的信念

結合統計推理的教學策略和可能面臨的教學挑戰，三位教師各自表達了不同的觀點。

D老師認為，統計推理的教學需要讓學生經歷完整的數據處理過程：“首先，要創設情境，從學生熟悉的素材出發，喚醒他們的已有經驗；其次，讓學生經歷數據的收集、整理和分析過程。因為課時受限，學生往往難以在一堂課中經歷整個統計過程，因此可以充分利用課前課后的時間，也可以讓學生分成小組去做課題、做調查或做訪談等。”D老師認為自身對統計推理的內涵理解還比較淺顯，因此開展實際教學將會面臨較大的挑戰：“我自身對統計推理的認識不多，研究少，經驗就少，懂得也少。”

和D老師類似，L老師也強調了統計推理的教學需要創設貼近學生生活的現實情境，由此激發學生的統計學習動機。同時，L老師的觀點也同D老師一樣，認為統計推理的教學需要讓學生經歷統計的全過程。此外，L老師特別地提到：“要引導學生用統計的眼光看問題，讓他們思考——統計有什么用？當然，要去觀察數據的規律，對數據進行分析。”對于統計推理教學的難點，L老師認為目前主要存在技術上的困境：“我們要如何獲得較大量的數據呢？如何讓學生快速收集和匯總數據呢？這些很大程度上需要依賴于信息技術手段。”

C老師對統計推理教學策略有更全面的認識，同前兩位老師一致，他強調了創設真實情境和經歷統計全過程的重要性，并指出“要注重學生以合作的方式來共同解決統計問題，并逐步滲透‘大數據’背景下的教學思路”。但是C老師也提出了自己的困惑：“現在還沒能真正把握統計推理教學的重點突破口在哪里。”對此，統計推理的教學對C老師來說也具有較大挑戰。

四、討論與建議

(一)統計推理是什么

教師對數學本質的認識很大程度上關乎著他們的數學教學和對學生數學學習的認識。本研究所訪談的三位小學數學教師對統計推理內涵的解讀包含“統計”和“推理”這兩個視角，且認為統計推理往往指向做出推斷和預測。如有的從“統計”視角出發，認為統計推理包含“數據推斷”或“樣本推斷總體”。也有的從“推理”視角出發，將統計推理指向對已有數據的推理。總的來說，三位老師對統計推理內涵的直觀判斷較為準確，基本指出了統計推理的本質所在。

然而，對統計推理內涵的解讀往往需要兼顧這兩個視角。一般情況下，統計推理可以界定為“學生能運用已有數據對統計中的不確定性問題做出合理推測的推理過程”，它既需突出統計的“不確定性”(包括對不確定問題的推斷和預測)，同時，統計推理又是一個推理過程，往往包含“推測數據之外信息”“運用數據解釋推測”“反思推測不確定性”這三個認知要素。結合圖爾敏論證模型，可進一步解讀統計推理的本質和各要素之間的關系(見圖1)。其中，“Data(數據)”和“Warrants(論據)”指向“運用數據解釋推測”這一要素，需要學生結合情境、個人經驗，歸納或類比已有數據以形成數據證據。“Claim(論斷)”指向“推測數據之外信息”，是學生運用數據證據所做的論斷。“Qualifier(限定)”和“Rebuttal(條件)”均指向“反思推測不確定性”，需要學生用不確定性語言作為限定詞來表達推測，并考慮數據的隨機性來思考推測適用的條件或者情境，通過進一步反思證據強度來分析推測不確定性并嘗試提高推測的可靠性。

圖1 基于圖爾敏論證模型的統計推理內涵解析

(二)統計推理怎么學

對學生統計推理學習價值和困惑的認識是數學教師進行有效統計推理教學的基礎。結合三位老師的訪談結果，統計推理的學習被認為兼具統計學習價值和社會價值。此外，了解學生統計推理的學習困惑對教師來說也至關重要。本研究通過對三位優秀的小學數學教師的訪談發現，小學生或許會在“如何更好地收集數據”“如何用數據說話”方面存在困惑，這也是小學生學習統計推理的重難點所在。下面將針對這兩個問題展開討論。

一方面，在統計推理中，數據的“量”和“質”很大程度上影響著學生能得出怎樣的結論。“數據收集”涉及數據的來源，需要學生對統計目的、樣本選擇和抽樣方式有所思考。與數學課程中“數與代數”“圖形與幾何”領域不同的是，統計所得結論往往具有或然性。這也就意味著，統計推理需要對結論進行反思，這時又會回到原有的統計目的上——現有數據多大程度上能夠達成統計目的？為了提高結論的可靠性，還可以收集哪些數據？由此可見，“如何更好地收集數據”這一問題應貫穿于統計推理的始終。

另一方面，“如何用數據說話”往往是在解釋統計推理所得結論時發生的，認識學生“用數據說話”的“進階過程”有助于教師引導學生突破統計推理學習難點。基于已有研究，小學生最初主要基于個人經驗得出“個人假設”，所以他們可能會忽略不支持其個人假設的相關證據，這也是小學生“用數據說話”時的初級水平。進一步地，學生才會關注到局部的數據特征，如個別極端值(如“最小值、最大值”)、數據出現的頻次(如“大多數”)，以及更具相似性的數據。更高水平的學生則能關注到數據整體特征，如集中程度、整體趨勢、規律模式等[19]，或者是對數據進行數量化的表征[20]，如運用百分數、平均數等統計量數作為數據證據來說話。

(三)統計推理怎么教

在認識了統計推理“是什么”“怎么學”的基礎上，數學教師對統計推理“怎么教”才會更有把握。對于統計推理的教學問題，三位小學數學教師主要提出了“創設真實情境”“經歷統計過程”“引入信息技術”等多樣化的教學策略，但同時也普遍認為統計推理的教學對小學數學教師而言將會是較大的挑戰。下面將結合三位教師提出的統計推理教學策略展開深入討論。

1.創設真實情境

選擇一個真實的現實情境是統計推理的前提[21]。情境要素驅動著統計問題，一個有吸引力的真實情境可以激發學生的統計學習興趣和動機，驅使著他們探究統計問題。當小學生面對難以理解的情境時，他們會難以基于數據做出結論。而面對熟悉的、容易理解的情境時，他們的結論是根據數據的特征或關鍵特征得出的。因此，基于學生熟悉的、可理解的、有吸引力的現實情境來進行統計推理教學，讓學生“有話可說”，是非常有必要的。

2.經歷統計過程

和“數據分析觀念”的培養一致，統計推理教學也應注重學生對描述數據、整理數據、表征數據、分析數據等統計全過程的經歷。通過“自下而上”的“數據驅動”的過程，讓學生在數據的收集、整理、分析過程中不斷得出更上位的結論。同時，學生對統計過程的經歷應是一個循環的過程，往往不是“一次性”的，而是需要不斷回到某一環節進行迭代的過程。

3.引入信息技術

在統計推理教學中融入信息技術可提高教學的效率，有助于學生的計算、制圖和數據模擬試驗[22]。許多國家的教師已將信息技術充分融入中小學統計教學和統計推理教學中，最為常見的技術工具為TinkerPlots(見圖2)。

圖2 TinkerPlots軟件的界面示意圖

TinkerPlots是一種創新的數據分析、數據可視化和概率建模工具，旨在為4～9年級學生的統計推理提供數據和技術支持[23]。當教師將TinkerPlots嵌入至統計推理教學中時，煩瑣的“數據收集”“數據表征”環節將實施得更加高效，學生可以在簡單友好的界面中獲得想要的數據，也可通過TinkerPlots中的繪圖工具快速繪制出點狀圖、扇形統計圖等，從而更直觀地表征數據。▲