利用向量方法解決平面幾何問題

彭明清

向量既是幾何對象也是代數(shù)對象，因而成為數(shù)形結(jié)合的橋梁，也成為溝通代數(shù)與幾何的有力工具。利用向量解決平面幾何問題，可以從向量的兩種運(yùn)算——基底運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算人手，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題，然后通過向量的運(yùn)算，研究幾何元素間的關(guān)系。下面從多個角度分析平面幾何中的向量方法。

一、垂直問題

例1 求證：三角形的三條高線交于一點(diǎn)。

證明：如圖l，在△ABC中，AD⊥ BC，BE⊥AC，AD與BE交于點(diǎn)H，連接CH。下面只需證明CH⊥AB即可。

評析：平面幾何中的兩條線段的垂直問題，可轉(zhuǎn)化為平面向量中的兩個向量的數(shù)量積為0來解決。在證明過程中，可利用向量加法的三角形法則（首尾銜接法），將所求向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

二、平行問題

例2 已知直角坐標(biāo)平面上的四個點(diǎn)A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求證四邊形ABCD是等腰梯形。

評析：線段平行問題可轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的向量共線問題來解決。通過向量的運(yùn)算，尋求兩個向量的共線（平行）關(guān)系。

評析：利用向量的基底運(yùn)算，將線段的長度問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題來解決。

評析：利用平面向量基本定理和向量的線性運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵。

評析：解答與角有關(guān)的向量問題，要有意識地建立向量的數(shù)量積關(guān)系，再將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化成向量的模與向量夾角的余弦關(guān)系，這樣可進(jìn)一步研究角的有關(guān)問題。