考慮風振響應特性的多目標等效靜力風荷載實用分析方法

李玉學 馮勵睿 李海云 田玉基

摘要：針對大跨屋蓋結構風效應分析理論框架中不同環節相應分析方法眾多且未能較好協調統一的問題，以最后環節的等效靜力風荷載求解為目標，提出一種考慮風振響應特性的多目標等效靜力風荷載實用分析方法。基于脈動風振背景響應、共振響應及其耦合項組合結果，利用LRC法基本原理推導構造多目標等效方程的基本向量，實現與脈動風振響應完全協調對應，且能夠再現風振響應特性，采用最小二乘法求解等效方程，得到多目標等效靜力風荷載;引入應變能概念，考慮結構所有節點響應，根據三分量各響應應變能對總響應能變能的貢獻，定義響應分量貢獻系數，據此系數進行大跨屋蓋結構脈動風振響應特性類型判定，在此基礎上，根據風振響應特性類型判定結果，精準構造多目標等效方程并進行最小二乘數值求解，實現多目標等效靜力風荷載的高效實用計算。以北京奧林匹克公園網球中心賽場屋蓋結構為例，進行風振響應特性類型判定，根據判定結果，計算其多目標等效靜力風荷載以及該等效靜力風荷載作用下的結構靜力響應，并與頻域分析所得目標響應進行對比，結果表明：所提方法能夠精準高效計算結構多目標等效靜力風荷載，具有工程應用價值。

關鍵詞：等效靜力風荷載;大跨屋蓋結構;多目標;響應類型;三分量響應

中圖分類號：TU312+.1;TU393.3

文獻標志碼：A

文章編號：10044523（2022）01-014008

DOI： 10.1638 5/j .cnki.issn.10044523.2022.01.015

引 言

風荷載確定、風振響應分析和風效應靜力等效是結構風效應分析理論框架的三個主要環節，針對重要且造型復雜、鈍體形態明顯的大跨屋蓋結構，表面風荷載需要依靠風洞試驗確定[1]。圍繞風振響應分析和風效應靜力等效，國內外學者提出了多種分析方法和處理手段。

對于大跨屋蓋結構風振響應分析，通常借助隨機振動理論進行，形成了直接求得總響應和分量組合求得總響應兩種思路，其中直接求得總響應以模態位移法和模態加速度法為代表，比如，顧明等[2]基于模態位移法編制了大跨屋蓋結構風振響應計算程序;方勇等[3]根據模態加速度法基本原理，推導了大跨屋蓋結構風振響應計算公式;為了提高計算效率，劉彪等[4]引入諧波激勵原理，采用基于風荷載POD分解的Ritz向量代替白由振動模態，計算了深圳國際會展中心標準展廳屋蓋風振響應。分量組合求得總響應以Davenport[5]提出的脈動風振背景響應和共振響應概念為基礎發展而來，由于其能夠較好地反映風荷載作用機理，從而得到了廣泛應用并不斷發展。比如，田玉基等[6]采用背景響應和共振響應的分量組合法計算了國家體育場屋蓋結構位移風振響應。李玉學等[7]基于時域內定義，推導了考慮耦合效應的大跨屋蓋結構風振響應背景分量和共振分量實用組合公式。Su等[8]在基準響應基礎上，引入背景效應系數和共振效應系數，分別考慮脈動風荷載相關性和動力效應影響，得到了結構背景響應和共振響應。

風效應靜力等效是在結構風振響應分析基礎上，根據響應等效原則，給出方便設計人員直接使用的等效靜力風荷載。主要有單目標等效和多目標等效兩種處理手段，其中單目標等效已經趨于成熟，形成了陣風荷載因子法[9]、慣性力法[10-11]以及荷載響應相關法[12-13]等多種分析方法。研究表明，對于風振響應計算需要考慮多階模態參與的大跨屋蓋結構，單目標等效不能較好適用，于是在單目標等效研究基礎上，提出了多目標等效處理方法，比如，Tamura等[14]和段曼等[15]根據不同等效目標得到的多組等效靜力風荷載，分別采用取平均值與取包絡線的處理方法得到多目標等效靜力風荷載。Patruno等[16]和羅楠等[17]分別采用本征表皮模態和本征正交模態作為基本向量構造多目標等效靜力風荷載。Zhou等[18]在對結構響應分組基礎上，采用數值方法得到了各組響應對應的多目標等效靜力風荷載。

上述研究成果豐富和完善了大跨屋蓋結構風效應分析理論，然而，由于不同環節相應分析方法之間未能較好協調統一，在具體方法選取和操作應用上還沒有形成一脈相承，環環相扣的嚴密體系，設計人員面對眾多分析處理方法常常感覺無從下手，給工程應用帶來諸多不便，由于方法選取不當，或者造成計算資源浪費，或者使得計算精度不足。

因此，本文以大跨屋蓋結構風效應分析理論框架中的最后環節，即等效靜力風荷載求解為目標，基于脈動風振背景響應、共振響應及其耦合項組合（下文稱為三分量完全組合）分析結果，根據LRC法基本原理分別推導構造多目標等效方程的背景分量、共振分量及其耦合項分量，實現與脈動風振響應各分量的完全協調對應，采用最小二乘法求解等效方程，得到兼顧多響應目標的等效靜力風荷載，此等效靜力風荷載作用下的結構靜力響應在數值上最接近實際目標響應。以此為基礎，引入應變能概念，根據三分量各響應應變能對總響應應變能的貢獻，對結構脈動風振響應特性進行分類，針對不同響應特性類型結構，建立高效、實用的多目標等效靜力風荷載分析體系。

1 三分量目標響應等效靜力風荷載

1.1 脈動風振響應三分量

式（3）為脈動風振響應三分量完全組合結果，其中前兩項分別為背景分量和共振分量，第三項為背景、共振耦合項分量。

1.2 等效靜力風荷載三分量組合

由式（3）可見，結構某一自由度i上的總脈動風振響應包括背景響應、共振響應及其耦合項三部分，按照風效應靜力等效的概念[5]，與上述脈動風振響應完全對應的等效靜力風荷載也由三部分組成，即：

2 基于最小二乘法的多目標等效靜力

風荷載

式（5）表示的三分量等效靜力風荷載，能夠保證結構第i自由度上靜力響應與脈動風振響應極值相等，如前所述，對于大跨屋蓋結構，需要兼顧多個目標響應等效，因此，本節以脈動風振響應三分量等效靜力風荷載為基本向量，構造多目標等效靜力風荷載方程，并采用最小二乘法對其求解，以得到多目標等效靜力風荷載，主要過程為：gzslib202204041713

（1）以式（5）表示的三分量等效靜力風荷載為基本向量，構造多目標等效靜力風荷載表達式：

（2）根據多目標等效靜力風荷載作用下結構靜力響應與目標響應極值相等構造等效方程組，并采用最小二乘原理數值求解等效方程組得到組合系數Ci。

式（15）表示的多目標等效靜力風荷載，能夠保證在該等效靜力風荷載作用下，結構靜力響應與等效目標的實際動力響應極值誤差最小。

3 多目標等效靜力風荷載實用分析方法

由第2節基于最小二乘法的多目標等效靜力風荷載求解過程可見，該方法的優點在于有效兼顧了結構多個目標響應極值，且構造多目標等效靜力風荷載的基本向量Feq，j與結構脈動風振響應三分量直接完全協調對應，具有明確的物理意義。另外，從線性代數向量線性表示原理來看，若選取的基本向量Feq，j合理，則目標響應向量Xq×1在這些基本向量Feq，j上的投影值會很大，這樣只需少數幾個基本向量Feq，j就可以有效表示多目標等效靜力風荷載Feq。對于復雜多樣的大跨屋蓋結構，其脈動風振響應特性差別較大，即脈動風荷載作用下，背景響應、共振響應及其耦合項三分量對結構總響應貢獻程度不同，若能據此分別選取相應的基本向量Feq，j，將會提高多目標等效靜力風荷載的計算效率。

3.1 結構脈動風振響應特性類型判定

基于脈動風振響應三分量應變能貢獻程度，判定其脈動風振響應特性類型。

3.1.1 背景分量應變能

根據式（2），脈動風荷載在背景響應分量上做功可以表示為：

3.1.4 結構脈動風振響應特性類型判定結果

結構脈動風振總響應應變能由背景、共振及其耦合項響應應變能三部分組成，定義各響應分量的貢獻系數ηk，據此綜合判定結構脈動風振響應特性類型。

3.2不同類型結構多目標等效靜力風荷載

3.1節中將大跨屋蓋結構脈動風振響應特性劃分為I～Ⅵ類，結合1.2節的分析，分別給出其多目標等效靜力風荷載實用分析方法。

對于I類弱耦合柔性結構，共振響應分量占主導地位，背景響應及其背景、共振耦合項可以忽略不計，據此，式（12）構造多目標等效靜力風荷載的基本向量只需包括共振分量，即Feq，j=Feq，r，j，同時，式（14）中目標極值響應也只需包括共振分量，即x=grσx，r，j將其代人方程（13），求解組合系數的最小二乘解cj，由式（15）得到其多目標等效靜力風荷載。

Ⅱ～Ⅵ類結構也只需對Feq，j和xj進行相應的處理，具體如表2所示，其余過程同I類結構。

4 本文所提方法主要分析步驟

本文所提考慮脈動風振響應特性的大跨屋蓋結構多目標等效靜力風荷載實用分析方法，主要步驟包括：

（1）首先對大跨屋蓋結構進行動力特性分析以及剛性模型測壓試驗，分別得到結構模態信息以及結構表面風荷載信息，包括各階模態自振頻率、模態分布、阻尼比以及風荷載方差、功率譜等。

（2）根據步驟（l）所得結構動力特性參數和風荷載參數，分別由式（17），（19）和（21）計算得到各響應分量應變能Wb，Wr和Wbr，并代人式（22）計算各響應分量的貢獻系數ηb，ηr和ηbr同時確定其誤差限εb，εr和εbr，由此誤差限及表1綜合判定結構脈動風振響應特性類型。

（3）根據步驟（2）大跨屋蓋結構脈動風振響應特性類型判定結果，由表2選定多目標等效方程（13）中參數Feq，j和xj的組成形式，據此分別由式（7），（9）和（II）計算需要的等效靜力風荷載分量Feq，b，j，Feq，r，j，和Feq，br，j，同時由式（3）計算需要的目標響應σx，b，j，σx，r，j，和σx，br，j，。

（4）將步驟（3）組合得到的Feq，j和x，分別代人方程（13），采用最小二乘法對其求解得到組合系數cj，然后代人式（15）得到相應的多目標等效靜力風荷載Feq。

5 算例分析

根據本文所提考慮脈動風振響應特性的大跨屋蓋結構多目標等效靜力風荷載實用分析方法，以北京奧林匹克公園網球中心賽場屋蓋結構為例，對其脈動風振響應特性進行判定，根據判定結果計算其多目標等效靜力風荷載，并對所得多目標等效靜力風荷載作用下結構靜力響應與目標響應進行對比，以檢驗所提方法的有效性。

5.1 工程概況

北京奧林匹克公園網球中心賽場屋蓋由12個“z”形單元組成，形成如“蓮花”的環形結構，底部平臺高6.0 m，直徑79.7 m，結構新穎，造型獨特，如圖1所示。“z”形屋蓋單元挑蓬最高點標高23.0 m，懸挑長度21.6 m，為方便排水，設置約3°的傾角。該屋蓋體型特殊，鈍體三維繞流特性顯著，屬于重要且復雜的風敏感結構，需借助風洞試驗獲取結構風效應分析所需的風荷載。

5.2 模型風洞試驗及結構動力特性分析

屋蓋模型風洞試驗在北京大學力學與工程科學系低速風洞中進行，試驗模型按照1：120進行縮尺設計，采用有機玻璃和ABS板制成，具有足夠的強度和剛度，滿足測壓試驗要求。根據結構對稱性，在第3，4單元上、下表面共布置156個測點，每個測點采樣點數為3900，采樣頻率為400 Hz，試驗模擬地面粗糙度為B類，來流風速剖面和湍流度剖面如圖2所示（圖中Z和Zr分別表示高度和參考點高度;V和Vg分別表示風速和參考點風速;Iu表示湍流度）。測試風向角范圍為0°--360°，每隔7.5°采集數據1次，定義正北方向為0°風向角，順時針增大，其中屋蓋風洞試驗模型、單元編號、測壓點布置及風向角定義如圖3所示。

為了獲取屋蓋結構動力特性信息，建立了結構有限元模型，并進行動力特性分析，根據分析結果，提取屋蓋結構前100階模態信息，包括模態分布和白振頻率，圖4為屋蓋結構前100階白振頻率，可見，該屋蓋結構白振頻率分布密集，風振響應分析需要考慮多階模態參振。gzslib202204041713

5.3 結構脈動風振響應特性類型判定及風振響應

計算

如5.2節所述，該屋蓋結構風振響應分析需要考慮多階模態參振，據此，從結構動力特性分析提取的前100階模態中選取第1，2，4，3，6階等共17階為主要參振模態，其中主要參振模態選取方法參見文獻[19]。

按照本文所提方法，考慮所選取的17階主要參振模態，利用0°風向角時屋蓋模型風洞測壓試驗數據，由式（17），（19）和（21），計算得到背景、共振及其耦合項響應分量應變能Wb，Wr和Wbr，并將其代人式（22）計算得到相應的響應分量貢獻系數ηb，ηr和ηbr分別為0.416，0.543和0.041，誤差限εb，εr和εbr均取0.05，由表1判定該屋蓋結構脈動風振響應特性類型為V類，即結構風效應分析只需考慮背景分量和共振分量。

根據該屋蓋結構脈動風振響應特性類型判定結果，基于隨機振動理論，在頻域內由背景響應和共振響應組合得到了脈動風荷載作用下結構豎向位移響應極值，如圖5所示。

由圖5可見，所選定0°風向角下，該屋蓋結構每個單元上的位移響應極值均由懸挑端（內環位置）向邊緣區域（外環位置）逐漸減小，其中處于尾流區域的6，7和8號單元挑棚懸挑端處位移響應極值較其他單元更大（來流方向及單元編號如圖3所示），最大值達到9 mm，因此，選取結構內環位置處位移響應極值較大的節點為目標響應控制節點，進行該屋蓋結構多目標等效靜力風荷載計算。

5.4 結構多目標等效靜力風荷載計算結果分析

根據圖5屋蓋結構脈動風振豎向位移響應極值分析結果，選取結構內環位置處48個典型節點為目標響應控制節點（典型控制節點位置及編號見圖6），采用本文所提多目標等效靜力風荷載計算方法，得到與此目標響應極值等效的多目標等效靜力風荷載，如圖7所示。

根據圖7所示多目標等效靜力風荷載求解結果，采用靜力方法計算了該多目標等效靜力風荷載作用下結構靜力響應，同時與基于隨機振動理論的頻域分析結果（目標響應）進行對比，選取屋蓋結構內環位置處48個典型節點的對比結果如圖8所示。

由圖8可見，根據本文方法所得多目標等效靜力風荷載計算的結構靜力響應與頻域分析所得目標響應總體吻合較好，也有個別響應絕對值較小的節點其誤差稍大，比如31號節點，誤差為6.35%（以頻域所得目標響應為標準），考慮到這些節點響應絕對值相對較小，對結構抗風設計不起控制作用，因此，可以認為本文所得多目標等效靜力風荷載能夠滿足工程應用要求。

6 結 論

本文針對大跨屋蓋結構風效應分析理論框架中不同環節相應分析方法眾多且未能較好協調統一的問題，以最后環節的等效靜力風荷載求解為目標，提出了考慮風振響應特性的多目標等效靜力風荷載實用分析方法，主要結論有：

（1）基于脈動風振背景響應、共振響應及其耦合項組合結果，利用LRC法基本原理推導所得構造多目標等效方程的基本向量，不僅能夠實現與脈動風振響應完全協調對應，而且能夠再現風振響應特性，物理意義明確，采用最小二乘法求解等效方程，能夠得到兼顧多個目標響應的等效靜力風荷載。

（2）引入應變能概念，考慮結構所有節點響應，根據三分量各響應應變能對總響應應變能的貢獻，定義響應分量貢獻系數，據此系數可以對大跨屋蓋結構風振響應特性類型進行判定。在此基礎上，考慮風振響應特性類型，可以實現對多目標等效靜力風荷載的高效實用分析。

（3）采用本文所提方法，對北京奧林匹克公園網球中心賽場屋蓋結構脈動風振響應特性類型進行判定，根據判定結果，計算其等效靜力風荷載以及該等效靜力風荷載作用下的結構靜力響應，并與頻域分析所得目標響應進行對比，結果表明二者總體吻合較好，能夠滿足工程應用要求。

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