動力可靠度約束下基于概率測度變換一全局收斂移動漸近線法的結構優化設計

楊家樹 陳建兵

摘要：基于動力可靠度的結構優化是實現隨機動力系統優化設計的重要途徑。針對設計變量為系統中部分隨機變量分布均值的情形，提H{了一種基于動力可靠度的結構優化設計方法。在該方法中，通過概率密度演化理論實現了結構動力可靠度的高效分析。在此基礎上，結合概率測度變換，可以在不增加任何確定性結構分析的前提下，實現動力可靠度對設計變量的靈敏度分析。進而，通過將上述概率密度演化一測度變換方法嵌入全局收斂移動漸近線法，實現了基于動力可靠度的結構優化設計問題的高效求解。數值算例的結果表明，所提方法可以顯著降低結構分析次數，具有較高的效率與穩健性。

關鍵詞：隨機動力系統;可靠性優化設計;概率密度演化;概率測度變換;動力可靠度

中圖分類號：TU318+.1;TU352.1

文獻標志碼：A

文章編號：10044523（2022）01-0072-10

DOI： 10.1638 5/j .cnki.issn.10044523.2022.01.008

引 言

隨機因素廣泛存在于真實的T程結構系統中[1]。只有定量地考慮隨機因素的影響，才能得到合理或優化的結構設計方案[2-3]。經過數十年的發展，確定性的結構優化設計方法已經日臻成熟。為了進一步促進結構優化設計在實際T程設計中的應用，推動工程結構設計向更加合理化、白動化與智慧化發展，基于可靠度的結構優化設計已經成為國內外學者廣泛關注的研究熱點[4]。

近十余年來，學者們對此開展了卓有成效的研究，發展了一系列方法，包括序列近似規劃方法[5-7]、序列優化與可靠性評估方法[8]和單循環方法[9]等。這些方法往往基于一次可靠度方法，因此難以處理極限狀態函數非線性較強的可靠度優化問題，特別是非線性動力系統基于可靠度的結構優化問題。

對土木工程結構而言，地震等災害性動力作用在設計中往往起到主導作用。因此，考慮動力作用下基于可靠度的結構優化設計十分必要。然而，到目前為止，基于動力可靠度的結構優化設計的研究遠遠滯后于基于靜力可靠度的結構優化設計研究。一個重要原因是，與靜力可靠度分析相比，動力可靠度分析的難度更高[10]。

近年來，在基于動力可靠度的結構優化設計領域，已提出了一些基于隨機模擬方法，例如基于Markov鏈Monte Carlo模擬的方法[11-12]、線搜索方法[13]以及可行方向內點法[14]等。但受限于隨機模擬方法巨大的工作量及其隨機收斂性質，這些方法的效率和穩健性仍有待進一步提高。

概率密度演化理論（PDEM）的發展為結構動力可靠度的高效分析提供了一條途徑[15-16]。最近，與概率測度變換（COM）的結合[17]則進一步為高效的靈敏度分析創造了條件。概率密度演化一測度變換（ PDEM-COM）方法的引入可以顯著地提高結構動力可靠度及其靈敏度分析的效率[18]。本文進一步將概率密度演化一測度變換方法拓展到設計變量與部分隨機變量耦合情況下具有動力可靠度約束的結構優化問題中。在此基礎上，結合全局收斂的移動漸近線法（GCMMA），可實現上述結構優化問題的求解。算例分析表明，本文提出的方法具有較高的效率與良好的穩健性。

1 基于動力可靠度的結構優化問題

基于動力可靠度的結構優化問題可定義為如下考慮動力可靠度約束的優化問題[14]：

事實上，采用式（4）所示的對數形式的可靠度約束一方面可以避免失效概率較小帶來的數值誤差，另一方面也可以降低函數的非線性，便于構造高精度的近似形式[13]。因此，本文中的結構動力可靠度約束均按照式（4）定義。需要指出，為了便于工程應用，采用可靠性指標構造可靠度約束是另一種較為常見的方式[19]。

2 全局收斂移動漸近線法

盡管遺傳算法和粒子群算法等啟發式優化算法具有全局尋優能力，但是這類優化算法在尋優過程中一般需要大量的函數調用。對基于可靠度的結構優化設計問題而言，采用遺傳算法或粒子群算法求解往往需要成百上千次的結構可靠度分析。因而采用遺傳算法或粒子群算法求解實際工程結構的可靠性優化設計問題的計算工作量非常龐大。因此，一階優化方法仍然是結構優化和基于可靠度的結構優化中常用的方法。

移動漸近線法（ MMA）[20]是結構優化中常用的一種序列近似規劃方法。該方法將原始優化問題的目標函數和約束函數近似展開，得到一系列具有顯式代數形式的子優化問題，而這些子優化問題的解組成的序列將收斂到原始優化問題的解。在此基礎上，Svanberg從函數的保守凸可分近似（CCSA）思想出發，提出了具有全局收斂性的移動漸近線法（以下簡稱GCMMA）[21]。

在GCMMA中，將非線性函數F（z）（可以是優化問題（1）中的目標函數、標準約束函數或動力可靠度約束函數）近似表示為[21]：

通過在內層循環中調控參數p（k v）GCMMA要求子優化問題比式（1）所示的原始優化問題更加保守。因此，GCMMA的全局收斂性可以在理論上得到保證[21]。此外，由于GCMMA中的子優化問題均比原始優化問題更加保守，任何子優化問題的最優解都是原始問題的可行解。這意味著即使優化過程在收斂前終止，該方法仍然可以獲得較初始解更優的可行解，這一性質對于復雜結構的優化設計是十分有利的[23]。此外，相較于Chen等[18]引使用的序列近似規劃方法，GCMMA可以更充分地利用優化循環的中間信息以調控子優化問題的保守程度。因此，可以預期，GCMMA將具有更高的效率。

本文即采用GCMMA求解基于動力可靠度的結構優化問題，其中的子優化問題均采用原一對偶內點算法[22]進行求解。

由式（5）～（8）可知，在GCMMA中，動力可靠度約束函數的近似展開需要結構首次超越破壞可靠度或失效概率關于設計變量的靈敏度信息。下文將引入概率密度演化一測度變換方法（ PDEM-COM）以提高結構首次超越破壞可靠度及其靈敏度分析的計算效率。

3 基于概率密度演化一測度變換的

結構動力可靠度及其靈敏度分析

3.1 概率密度演化理論

不失一般性，考慮隨機動力系統：

通過求解式（12），可以獲得聯合概率密度函數pZo（z，θ，t;x），進而由數值積分，可得到物理量Z的概率密度函數pz（z，t x）。

除對少數簡單系統可得到解析解外[25]，上述廣義概率密度演化方程一般需要通過數值方式進行求解。該求解過程一般涉及概率空間剖分與代表點集選取、每一代表點處的確定性結構反應分析、每一代表點處廣義概率密度演化方程的求解以及數值積分等步驟，其具體數值求解細節可參考相關文獻[16]，[26-27]，此外，概率密度演化理論對極限狀態函數的形式沒有額外限制，因此適用于復雜結構系統的隨機反應和動力可靠度分析[28]。

3.2 結構動力可靠度及其靈敏度分析

基于概率密度演化理論的首次超越破壞可靠度分析可以通過吸收邊界條件[16.29]、等價極值分布[16.30]和物理綜合法[31]等途徑實現。本文所采用的是基于等價極值分布的結構首次超越破壞可靠度分析方法。

式（3）所示的首次超越破壞可靠度可以等價地表示為：

相應的結構失效概率為PFl（x，T）=1Rl（x，T）。以上過程的具體數值求解步驟可見文獻[16，26，30]。

如前所述，復雜結構的首次超越破壞可靠度分析一般需要通過廣義概率密度演化方程的數值求解來實現。因此，首次超越破壞可靠度或失效概率對設計變量的靈敏度難以通過解析方式獲得。一種可行的途徑是采用有限差分方法（FDM）估計結構失效概率對設計變量的靈敏度。例如，采用中心差分可得：

值得注意的是，上述過程要求設計變量是隨機變量的均值，但對隨機變量并無限制或要求。換句話說，基于概率密度演化一測度變換的靈敏度分析過程中允許存在不依賴于設計變量的隨機變量。此外，靈敏度分析過程采用了與可靠度分析相同的代表點，僅需進行賦得概率的更新，無需重新進行確定性結構分析，這使得與靈敏度分析相關的計算量大大降低。因此，本文提出的方法特別適用于結構分析計算成本較高的復雜結構基于動力可靠度的優化設計。

在上述可靠度與靈敏度分析過程中，概率測度變換僅僅在一個優化循環內使用。經驗表明，在優化迭代的后期，設計變量和目標函數的變化一般較小。為了進一步提高計算效率，可以引入循環間的概率測度變換以實現首次超越破壞可靠度和靈敏度分析。在本文中，若當前優化循環中每個設計變量的變化均小于當前值的10%，則下一循環中的結構失效概率PFl（x（k+1）T）及其靈敏度也都根據當前循環中的代表點及其確定性分析結果由概率測度變換計算得到。

4 數值算例

4.1 兩層彈性框架結構優化設計

為了驗證本文方法的有效性，首先考察圖1所示的兩層彈性框架結構在地震動作用下基于可靠度的優化設計問題。

假定框架結構層間抗側剛度K1和K2為服從正態分布的隨機變量，以其均值x1和x2為設計變量。結構層集中質量分別為m1= 1.80×10 5 kg和m2=1.20×10 5 kg，層高為h=3.6 m，模態阻尼比為ξ=0.03。結構承受的地震加速度為El Centro地震動南北方向加速度記錄與東西方向加速度記錄的歸一

當框架結構中任意一層的層間最大位移超過層高的1/250時，認為結構失效。因此結構的失效概率可定義為：式中 T為地震動持時，Zr為結構第r層層間位移反應。以最小化結構總剛度作為優化目標，同時，根據T程經驗，要求結構底層剛度不小于上層剛度以避免不利受力狀態。由此，優化問題可以定義為：

在本例中，給定失效概率閾值pFh=0.01。這里，采用0.01作為失效概率閾值僅僅是為了說明方法的有效性。對于實際問題，可按照相關規范的規定確定目標失效概率或目標可靠性指標。

以xAl=（1.00，1.00）為初始點，采用不同的可靠度和靈敏度分析方法結合GCMMA對優化問題（24）進行求解，最終的優化結果和計算成本對比如表2所示。PDEM-COM-FDM即本文所提出的方法，采用概率密度演化一測度變換方法與有限差分計算結構的動力可靠度及其靈敏度。PDEM-FDM表示采用概率密度演化理論計算結構動力可靠度并采用有限差分直接估計其靈敏度的方法。在本例中，以上兩種方法中采用的代表點數量為500。MCS-FDM-1 和MCS-FDM-2均表示采用Monte Carlo模擬方法計算結構動力可靠度并以有限差分估計其靈敏度的方法。所不同的是，MCS-FDM-I中采用的隨機樣本數量為10000，而MCS-FDM-2中采用的隨機樣本數量為20000。

由于MCS-FDM-1中單次Monte Carlo模擬采用的樣本數量不足，得到的靈敏度誤差較大，甚至可能發生靈敏度符號錯誤的情況，在本算例中算法未能達到收斂。從表中對比可見，本文提出的方法可以顯著降低優化過程中確定性結構分析的次數，進而提高基于動力可靠度的結構優化設計問題的求解效率。

分別以xAl=（1.00，1.00），xB1=（1.20，1.00）和xc1=（1.00，0.80）作為初始點，采用本文所提出的方法對式（24）所示優化問題進行求解，目標函數和結構失效概率的迭代過程分別如圖2和3所示。從中可見，三種情況下本文所提出的方法都可以在少數幾次迭代后達到收斂，且采用不同初始點所獲得的最終目標函數值十分接近。因此，本文提出的方法不僅具有較高的效率，而且對初始設計的選擇具有較強的穩健性。

從圖3可以發現，本文方法得到的所有中間設計點對應的失效概率均小于給定的閾值0.01（可靠度0.99），這意味著所有的中間設計均為可行設計。前文已指出，這一性質對復雜結構的優化設計具有重要意義。此外，采用不同初始點所獲得的最終設計對應的結構動力可靠度約束均處于有效狀態。這表明，若在優化過程中不施加合理的可靠度要求，則可能導致優化設計得到的結構的可靠度水平較低。進一步地，若將式（24）的優化問題中的可靠性約束直接替換為最大層間位移約束，同時所有隨機變量均取其均值，則優化算法給出的最終設計為xD=（ 0.515，0.304），相應的結構失效概率高達61.3%?？梢?，若在結構優化設計中合理地設定可靠性約束，可以在一定程度上提高優化后的結構抵抗參數擾動和不確定性的能力。

為了進一步說明本文所提方法的效率與精度，采用遺傳算法（GA）對上述優化結果進行校核。這里，遺傳算法的種群規模為50，最大進化代數為100，結構可靠性分析采用概率密度演化理論，代表點數量為500。表3為本文方法與遺傳算法得到的最終設計的對比?？梢园l現，當采用不同初始點時，本文方法得到的最終設計量和最終目標函數值與遺傳算法的結果均十分接近。然而，遺傳算法需要的結構分析次數以及總計算時間都要遠高于本文所提出的方法。

4.2 帶阻尼器的10層框架結構優化設計

采用本文所提出的方法求解圖4所示的10層框架結構在地震動作用下基于動力可靠度的優化設計問題。為計算分析方便，忽略梁柱構件的軸向變形，將結構簡化為具有10個白由度的層間剪切模型。結構底層層高為4.0 m，其余層高均為3.6 m，模態阻尼比為ξ=0.05。結構層集中質量分別為m1=m2=3.4×10 5kg， m3=m4=m5=3.2×10 5 kg，m6=m7=m8=2.8×10 5 kg和m9=m10=2.6×10 5 kg。假定框架結構層間抗側剛度Ki，i=1，2，…，10為服從正態分布的隨機變量，以其均值xi，i=1，2，…，10為設計變量。

該結構承受與上例相同的地震動輸入，即所輸入地震動加速度時程由式（22）表示。為了降低地震動作用下的結構反應，分別在結構第一層和第五層安裝摩擦型耗能構件，其恢復力為：為了考慮耗能構件力學性能的隨機性，假定結構第一層和第五層所布置的耗能構件初始剛度Kn和KI2為隨機變量。該優化問題中所涉及的隨機變量的分布類型和參數如表4所示。

耗能構件的典型恢復力曲線如圖5所示，可見耗能構件已表現出很強的非線性與耗能性質，從而實現減震效果。

一般情況下，可認為結構成本與結構總剛度成正比[35]。因此，優化目標可取為最小化結構總剛度。當任一層間位移超過0.015 m時即認為結構失效。同時，要求較高樓層的剛度總不小于較低樓層的剛度，并給定層間剛度的上限與下限，則優化問題可以表示為：式中 T為地震動持時，Zr為結構第r層層間位移反應。如前所述，對于實際問題，目標失效概率或目標可靠性指標可按照規范的相關規定確定。

在本例中，共有14個隨機變量，其中10個隨機變量的均值為設計變量。

分別以表5中的xA2，xB2和xC2作為初始點，采用本文所提出的方法求解式（28）所示的優化問題。在本例中，概率密度演化一測度變換分析中采用的代表點數量為600。目標函數值隨優化迭代次數的變化情況如圖6所示。可以看到，本文所提出的方法經過7次左右的迭代可達到收斂。值得注意的是，目標函數的下降主要發生在優化過程的前幾次迭代中。這意味著即使很少的優化迭代步也將顯著改善結構的性能。

表6為采用不同初始點獲得的最優目標函數值以及優化過程中進行的結構分析次數。由于動力可靠度分析以及靈敏度分析過程中存在數值誤差，不同初始點對應的最優目標函數值略有不同。雖然如此，最優目標函數值的相對差別僅為2.5%左右，完全在工程上可接受的范圍內。這說明，本文所提出的方法對初始設計的選擇具有較高的魯棒性。

若采用MCS-FDM-2進行可靠度分析和靈敏度分析，式（28）所示優化問題的求解過程中涉及的結構分析次數將超過1000000次（估計值），而本文所提出的方法所需結構分析次數僅有MCS-FDM-2的不足1%?？梢姡疚奶岢龅姆椒梢詷O大地降低結構優化過程中的結構分析次數，從而顯著提高基于可靠度的結構優化問題的求解效率。

5 討論和結論

針對設計變量與部分隨機變量耦合情況下具有動力可靠度約束的結構優化設計問題，結合概率密度演化一測度變換（ PDEM-COM）方法與全局收斂漸近線法（GCMMA），提出了一類新的求解框架。數值算例表明，本文所提出的方法具有較高的效率。具體結論如下：

（1）當設計變量為系統中部分隨機變量的均值時，概率密度演化一測度變換方法可以重復利用代表點處的結構分析結果，從而在不引入新的結構分析的前提下，實現首次超越破壞可靠度對設計變量的靈敏度估計。因此，本方法可以顯著提高基于動力可靠度的結構優化設計問題的求解效率。

（2）算例的結果表明，本文提出的方法可以在少數幾次迭代后達到收斂?？梢灶A期，在本文所考慮的設計變量的數量范圍內，算法可以在10次迭代內達到收斂，相應的可靠性分析次數不超過20次。此外，CJCMMA通過內層循環對中間設計點的可行性進行調整，從而保證了本方法得到的中間設計均為較初始設計更好的可行設計。

（3）由于概率密度演化理論適用于線性與非線性結構的隨機反應分析，本文提出的方法可用于地震動作用下線性和非線性結構基于可靠度的優化設計。

鑒于本文方法僅適用于設計變量與所有隨機變量或部分隨機變量耦合的動力可靠性優化設計，如何將上述概率密度演化一測度變換方法擴展到設計變量含有確定性物理量的可靠性優化設計之中，是需要進一步開展的研究工作。此外，在未來的工作中，有望將本文基本思想推廣到具有動力可靠度約束的結構拓撲優化設計之中。

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