結構-NFVD-TTMDI的控制性能

趙祥異 李春祥 曹黎媛

摘要：為了更好地發揮串并聯調諧質量阻尼器慣容器（ Tuned Tandem Mass Dampers-Inerters，TTMDI）的優勢，進一步提高其有效性和魯棒性，使其能夠廣泛地應用于實際工程中，提出了連接阻尼器為非線性液體黏滯阻尼器的串并聯調諧質量阻尼器慣容器（ Nonlinear Fluid Viscous DamperTuned Tandem Mass Dampers Inerters，NFVDTTMDI）。在頻域內推導出結構NFVDTTMDI系統的動力放大系數半解析解，進而定義了NFVDTTMDI系統的最優化準則。采用迭代法進行等效線性化并使用FMINCON算法進行尋優，研究了不同阻尼指數v對NFVDTTMDI系統最優參數、減振有效性以及魯棒性和質量塊沖程的影響，并在時域內進行了驗證。數值結果表明，相較于線性TTMDI，NFVD-TTMDI不僅具有相似的較高控制性能，而且當u

關鍵詞：振動控制;調諧質量阻尼器;非線性液體黏滯阻尼器;慣質;等效線性化

中圖分類號：TB535;TU311.3

文獻標志碼：A

文章編號：10044523（ 2022）01-005509

DOI： 10.1638 5/j .cnki.issn.10044523.2022.01.006

引 言

調諧質量阻尼器（ Tuned Mass Damper，TMD）是一種附加在主結構上的被動減振裝置，其研究已有上百年歷史。TMD的減振原理是：通過準確調整TMD系統的頻率與阻尼參數，將主結構振動系統的能量轉移到TMD并由其耗散，從而抑制主結構振動響應。目前，TMD已經在世界范圍內廣泛應用于柔性和低阻尼結構，如大跨度橋梁[1-2]和高層建筑[3]。

在TMD的基礎上，許多學者針對新型TMD及其減振性能開展了研究。汪志昊等[4]提出擺式TMD頻率調節方法，可以實現TMD頻率的雙向調節;羅一帆等[5]研究了電磁集能式調諧質量阻尼器的結構振動控制優化參數及其減振性能。為了進一步提高TMD的有效性和魯棒性，多個TMD調諧控制的方法被研究提出[6-10]。而在Smith[11]提出慣質（Inerter，也稱慣容）的概念后學者們開展了各種帶有慣質的耗能減振裝置研究，如調諧黏滯質量阻尼器（ Tuned Viscous Mass Damper.TVMD）[12]、調諧慣容器阻尼器（ Tuned Inerter Damper，TID）[13]、調諧質量阻尼器慣容器（ Tuned Mass Damper Inerter，TMDI）[14]、串并聯調諧質量阻尼器慣容器（ TunedTandem Mass Dampers-Inerters. TTMDI）[15]。在上述研究中，連接阻尼器均假定為線性，但目前黏滯阻尼器市場以非線性黏滯阻尼器為主流，一般而言，非線性黏滯阻尼器的減振效果較線性黏滯阻尼器的更好，而且制作簡易更為經濟[16]。因此非線性黏滯阻尼器被許多學者進一步研究并應用到實際中[17，19];Huang等[20]提出了連接阻尼器為非線性液體黏滯阻尼器的TVMD，發現其可以獲得和線性TVMD相當的控制效果，并能顯著減少所需阻尼系數。

本文在此基礎上提出了連接阻尼器為非線性液體黏滯阻尼器的串并聯調諧質量阻尼器慣容器，研究了阻尼指數分別為0.2，0.5，1.0，1.5，2.0情況下的控制性能。針對非線性黏滯阻尼器，采用迭代法進行等效線性化尋找等效阻尼比。在迭代的過程中與優化同時進行，最終得到裝置的最優參數和對應主結構響應。

1 結構-TTMDI系統的動力方程

單白由度結構-NFVD-TTMDI在簡諧激勵下的力學模型如圖1所示。TTMDI包括兩個質量塊：TMD1和TMD2，它們通過各白的慣容器連接到地面;同時，在TMD1和TMD2之間設置一個連接阻尼器，該策略可以有效降低兩個質量塊的沖程大小，并且可以使系統的控制有效性進一步提高，此外設置連接阻尼器后會令c1和f2的阻尼系數為0，簡化了系統，使得其更易于在實際T程中實現[15]。為便于與線性阻尼器區分，兩個質量塊之間的非線性液體黏滯阻尼器用紅色表示。單白由度結構-TTMDI在簡諧激勵作用下的運動微分方程可以表示為：

通過公式（8）～（10）可以分別推導出從簡諧激勵到結構-TTMDI系統主結構、TMDI和TMD2的相對位移傳遞函數：

2 非線性液體黏滯阻尼器的研究方法

非線性液體黏滯阻尼器的阻尼力通常可以用以下方程來描述：式中 cd表示非線性阻尼器的阻尼系數，v表示阻尼指數，變化范圍在0--2之間。v=0時表示摩擦阻尼器;而v=1時表示線性黏滯阻尼器，TTMDI即是NFVD-TTMDI在v=1.0時的特殊情況。

對于含有非線性黏滯阻尼器的系統，一般的研究方法是將非線性阻尼力轉化為線性表達式，然后以線性系統的形式分析阻尼力。通過耗能相等定理[21]，簡諧激勵下非線性阻尼力可以用含等效阻尼系數Ce的線性阻尼力代替，Ce的一般表達式為[20]：

公式（20）表明，TTMDI的等效阻尼比取決于諧波激勵的幅值、頻率和未知的Rd。在這種情況下，Huang等[20]提出了迭代法來確定每一給定激勵下的等效阻尼比和相應的Rd。圖2顯示了上述迭代方案的逐級流程圖。值得一提的是，優化可以和迭代過程同時進行，即使用優化算法結合迭代方法來尋找最優參數。

3 數值分析

為對NFVD-TTMDI系統的參數f1，f2，ξ1，ξ2，Cd，η1進行優化，定義目標函數（即優化準則）為：

R=min .max.Rs s.t.Llb≤L≤Lub

（21）式中 L=[f1 f2 ξ1 ξ2 Cd η1]，Llb為參數取值下界，Lub為參數取值上界。目標函數式（21）表示：首先，得到目標函數（公式（13））中位移動力放大系數Ra的最大值，再在參數范圍內，使最大的Rs最小化。目標函數代表了NFVD-TTMDI的減振有效性，目標函數值越小則有效性越高，優化算法通過該目標函數白動尋優得到裝置的最優參數值。

數值模擬中，設定主結構的質量為ms=40 t，剛度為ka=2139.6 kN，因此白然頻率為fn=1.164 Hz。簡諧荷載的幅值P0=6000 N，激勵頻率的范圍為Ofa～2fn。考慮目標函數式的復雜性，在MATLAB軟件平臺上采用多元約束優化算法（FMINCON函數）進行優化，優化參數及其范圍如表1所示。

3.1 控制有效性

圖3為在不同阻尼指數v和不同總質量比μ的情況下，NFVD-TTMDI主結構在頻率范圍內的最大DMF（ min.max.Rs）隨總慣容質量比μI變化趨勢。從圖中可以看出NFVD-TTMDI的有效性對阻尼指數并不敏感，隨著阻尼指數的增大，有效性略有提升，表明NFVD-TTMDI在阻尼指數大于1.0時可以實現比線性TTMDI更好的控制效果。此外，當μI值一定時，不同阻尼指數下NFVD-TTMDI系統的有效性都會隨著μI的增大而提高，其主要原因在于慣容器增加了虛擬質量于控制系統中，極大地提高了其有效慣性質量，從而獲得高效的控制效果。值得注意的是，當μI超過0.02時，增大μ對NFVD-TTMDI系統的控制效果的提升不再明顯，而增大μI仍可以有效提高裝置的控制效果。因此，適當的慣容質量可以使NFVD-TTMDI保持較高減振效果的同時，進一步減小質量塊對質量的需求，從而達到控制系統輕質化。

3.2 最優頻率比和最優阻尼系數

本節研究NFVD-TTMDI系統最優頻率比和最優阻尼系數，表2給出了對于不同μ和v值，NFVD-TTMDI系統最優頻率比和最優阻尼系數隨μ1的變化趨勢。從表中可以看出：當μ值一定時NFVD-TTMDI系統中最優頻率比f1和f2隨著μI增大而增大。此外還能看出不同阻尼指數下的f1幾乎相等，而f2略有差異，在v=0.2時最小，在v=2.0時最大。由此可得出結論，NFVD-TTMDI系統的最優頻率比對阻尼指數v不是很敏感，其中f2會隨著阻尼指數的增大而略微增大。

另一方面，在NFVD-TTMDI系統中，TMDI和TMD2的最優阻尼系數均為零。主要原因是TMDI和TMD2所需求的阻尼都通過連接阻尼來實現。換而言之，連接阻尼代替TMDI和TMD2中的阻尼消耗了來白結構的能量，從而使得NFVD-TTMDI達到最優狀態，因此利用該特性可以很好地簡化系統。此外，NFVD-TTMDI系統所需的總阻尼系數隨μI的增大而增大，隨著μ減小而減小。不同阻尼指數情況下，所需阻尼系數隨著阻尼指數的增大而增大。并且隨著μI的增大，v< 1.0時最優阻尼系數增長趨勢明顯小于v≥1.0時的情況。由此可以得出結論：v< 1.0的NFVD-TTMDI系統可以顯著降低所需阻尼系數，更容易實現，也更加經濟。

3.3 質量塊沖程

為了分析阻尼指數v對NFVD-TTMDI系統中質量塊沖程的影響，定義TMDI和TMD2最大DMF（max.R1和max.R2）作為質量塊沖程的評價準則。圖4給出了對于不同μ和不同v值，NFVD-TT-MDI系統中質量塊的沖程隨μI的變化趨勢。由圖可知：由于附加慣容器的作用，NFVD-TTMDI系統質量塊沖程隨著μI的增大而顯著減小;與此同時，NFVD-TTMDI系統中TMD1和TMD2質量塊沖程幾乎相等，分布比較均勻。NFVD-TTMDI中質量塊沖程對阻尼指數v也不敏感，質量塊TMDI和TMD2沖程隨著阻尼指數的增大都略有增大。v

3.4 魯棒性分析

由于結構特性的改變或對結構性質的認識不準確，NFVD-TTMDI系統可能會隨著時間的推移而“失諧”。為此，對結構進行攝動，考慮對結構質量、剛度和阻尼的原始值分別均勻地縮放來評估NFVD - TTMDI的魯棒性，縮放比例為80%-120%。為了便于比較，定義魯棒性評價指標[20]：

LBX=（Rmax Rminmax） /Rminmax

（22）式中 Rminmax為原結構參數為msb kso，Cso情況下優化得到的主結構最小DMF。Rmax為僅改變主結構參數而NFVD-TTMDI裝置參數不變情況下求得的主結構DMF。即用攝動后主體結構的最大DMF值相對于其最優值的增量來衡量外界條件發生變化時控制系統有效性的降低程度[20]。主結構參數攝動

LBX越小，有效性降低程度越小，即NFVD-TTMDI對結構攝動的魯棒性越強。圖5給出了μI= 0.05，μ=0.005，0.01，0.02時，不同v情況下LBX隨ratio的變化趨勢。由圖5可知：對于質量攝動和剛度攝動，縮放程度越小，LBX越小。然而對于阻尼攝動，LBX隨著ratio的增大而減小。這是因為對阻尼來說，增大ratio相當于增加了結構阻尼，從而提高了結構的控制有效性。整體看來，結構對阻尼攝動的魯棒性最強，例如當μ=0.01，ratio]=0.8時，對應質量、剛度、阻尼變化的LBX分別為：56.84% .27.62% .6.52%（v=0.2）; 72.76% ，43.36%，5.62%（v=0.5）;93.71%，69.65%，3.21%（v=1.0）;100.500/. 88.540/. 4.340/（v=1.5）;114.820/.106.330/，5.120/（u-2.0）。可以看出阻尼攝動下，LBX對阻尼指數u的變化不明顯，而u對質量攝動和剛度攝動影響顯著，且NFVD-TTMDI對質量和剛度攝動的魯棒性會隨著阻尼指數的減小而增強。

為了驗證NFVD-TTMDI系統頻帶寬特性，圖6給出了μ=0.01，μI= 0.05時，無控、不同阻尼指數NFVD-TTMDI控制下結構頻率響應曲線。縱坐標DMF.Rs表示主結構動力放大系數隨激勵頻率比β（0～2）的變化情況。為了更好地量化頻響控制特性，圖6局部放大窗口中注釋了抑制頻帶寬[22]（Sup_pression Bandwidth，SB）：控制系統控制下結構優于無控結構的頻率范圍。由圖可知：隨著v的增大，SB增大，這意味著NFVD-TTMDI可以在更大的共振頻率范圍內有效降低結構響應，從而對外部輸入激勵頻率變化具有更好的魯棒性;并且隨著v的增大，頻響函數曲線變低且更平緩，進一步驗證了圖3中最大DMF即有效性隨u的變化規律。

3.5 時程分析

本節在時域內驗證NFVD-TTMDI的特性，單白由度結構-NFVD-TTMDI系統的動力方程的矩陣形式為[23]：

圖7展示了μ=0.01，μI= 0.05時，圖1所示系統在簡諧激勵P（ t）= 6000sin（t）sf作用下結構的位移響應時程曲線。模型參數和前文中一致，并利用在頻域下得到的裝置優化參數進行時域驗證。由圖可知：NFVD-TTMDI能有效地降低無控結構的位移響應。在振動初始，阻尼器剛開始起調諧作用，振動不穩定，在3s時 v=0.2，0.5，1.0，1.5，2.0時對應的主結構峰值位移響應分別為11.4，11.7，11.8，12.2，12.7 mm，意味著v<1.0時，非線性黏滯阻尼器能較快地起調諧作用，從而抑制結構振動。3s之后位移響應趨于穩定，v=0.2，0.5，1.0，1.5，2.0時主結構位移響應分為11.9，11.7，11.3，11.0和10.8 mm，說明振動穩定時阻尼指數越大，NFVD-TTMDI對結構的振動控制效果越好，與頻域中的分析保持了一致。

4 結 論

本文提出了單白由度結構-NFVD-TTMDI系統。并推導出系統的動力放大系數半解析解，基于定義的目標函數，使用Fmincon算法在頻域內研究了NFVD-TTMDI的減振性能，并通過離散化狀態方程在時域內進行驗證。得到如下的主要結論：

（1） NFVD-TTMDI可以實現與TTMDI相當甚至更好的控制效果，有效性會隨著阻尼指數的增大而略微提高。

（2） NFVD-TTMDI和線性TTMDI同樣僅通過連接阻尼消耗從結構中傳來的能量，且在 v< 1.0時能有效降低所需阻尼系數，并且更好地抑制質量塊沖程，有著更容易實現和更經濟的優點。

（3）當結構攝動時，NFVD-TTMDI系統在v<1.0時可顯著提高系統的魯棒性。

（4）結構剛開始振動時，NFVD-TTMDI系統在v<1.0的情況下可以更快起到調諧作用，而當振動趨于穩定后，振動控制效果會隨著阻尼指數的增大而提高。

綜合考慮，NFVD-TTMDI可以獲得與線性TTMDI十分相近的控制效果，但是可以在v<1.0時提高結構魯棒性和降低所需阻尼系數，這些優勢使得其在實際工程中更加經濟有效。最后要說明的是研究NFVD-TTMDI連接單白由度結構，是為將裝置應用在多白由度結構中打下理論基礎，在之后的研究中會在多白由度結構中連接NFVD-TTMDI并添加風譜進行驗證計算。根據實際工程應用，應將TMDI和TMD2設置在橫向位移最大的樓層，一般是在最頂層。NFVD-TTMDI中各白的慣容器可通過設計足夠大的板開口連接到結構的頂層以下一層或幾層，通過不同的樓層跨度來研究裝置的特性變化。可以預見的是慣容器跨越樓層數越多，由于較大的加速度增量，NFVD-TTMDI在減少結構振動方面的效率就越高。

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