軸對稱凸域的包含測度

趙江甫，劉海

（1.福建江夏學(xué)院數(shù)理教研部，福建 福州 350108；2.華中師范大學(xué)國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心，湖北 武漢 430079）

設(shè)K為平面上的有界閉凸域，N為長度為l的線段，N在K內(nèi)的運(yùn)動(dòng)測度為凸域K的包含測度。包含測度是積分幾何中的重要課題之一，應(yīng)用極其廣泛。在統(tǒng)計(jì)分析中，包含測度可以對π 進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算；在幾何概率中，包含測度不僅可以解決探針?biāo)阉鲉栴}，而且可以為蒲豐（Buffon）投針問題及其Laplace 推廣與動(dòng)態(tài)推廣［1］等研究提供實(shí)用快捷的工具；在積分幾何中，包含測度可用于adwiger 包含問題、等周不等式的證明，還可通過運(yùn)用一系列運(yùn)動(dòng)測度公式，解決更多幾何問題。

包含測度的求解方法主要有3 種。一是由USPENSKY［2］提出的截面面積求解法。此方法計(jì)算煩瑣，且線段長度受限制，較適合對稱性強(qiáng)的簡單凸域，如矩形域。二是分割法，將已知包含測度的凸域分割為新的凸域，從而求得新凸域的包含測度。如將正六邊形分割為6 個(gè)全等的軸對稱四邊形，用正六邊形域的包含測度求得四邊形域的包含測度［3］。此方法計(jì)算量相對較小，適用范圍亦較小。三是由任德麟［4］提出的限弦函數(shù)法，采用廣義支持函數(shù)、限弦函數(shù)等給出平面凸域的包含測度一般公式。此方法更簡潔，適用性更強(qiáng)，但未給出公式中所涉及的廣義支持函數(shù)和限弦函數(shù)，求解這2 個(gè)函數(shù)是關(guān)鍵和難點(diǎn)。

已有研究采用限弦函數(shù)法解決了正六邊形域、三角形域、正方形的外平行集、平行四邊形域、圓域、半圓域、四分之一圓域、橢圓域、半橢圓域的包含測度問題［5-15］，但仍有很多凸域，如正五邊形域、任意四邊形域、任意正多邊形域等的包含測度問題未得到解決，且已有研究成果大多是針對中心對稱圖形域的，對軸對稱圖形域的研究較少。基于此，本文以等腰梯形域?yàn)槔芯枯S對稱凸域的包含測度。雖然文獻(xiàn)［3］采用分割法給出了等腰梯形域包含測度的計(jì)算公式，但有限制條件“等腰梯形的高不超過梯形的最短底邊長”，且沒有具體結(jié)果。本文嘗試取消該限制條件，給出等腰梯形域包含測度的具體結(jié)果。

1 預(yù)備知識(shí)

對于軸對稱凸域，可充分利用其對稱性，將對稱軸作為坐標(biāo)軸，以減少計(jì)算量。

2 等腰梯形域的廣義支持函數(shù)與最大弦長函數(shù)

3 等腰梯形域的限弦函數(shù)

圖1 當(dāng)θ+φ0 ＜時(shí)σM（φ）的圖像Fig.1 Image of σM（φ）when θ+φ0 ＜

圖2 當(dāng)h ≤2b sin θ ≤≤2b 時(shí)σM（φ）的圖像Fig.2 Image of σM（φ）when h ≤2b sin θ ≤≤2b

圖3 當(dāng)2b sin θ ≤h ≤2b ≤時(shí)σM（φ）的圖像Fig.3 Image of σM（φ）when 2b sin θ ≤h ≤2b ≤

圖4 當(dāng)h ≤2b sin θ ≤2b ≤時(shí)σM（φ）的圖像Fig.4 Image of σM（φ）when h ≤2b sin θ ≤2b ≤

圖5 當(dāng)2b sin θ ≤2b ≤h ≤時(shí)σM（φ）的圖像Fig.5 Image of σM（φ）when 2b sin θ ≤2b ≤h ≤

4 等腰梯形域的包含測度m（l）

圖6 當(dāng)≥2a時(shí)p（σ，φ）的定義域示意Fig.6 Diagram of domain of p（σ，φ）when ≥2a

① 當(dāng)0 ≤l＜h時(shí)，

圖7 當(dāng)＜2a 時(shí)p（σ，φ）的定義域示意Fig.7 Diagram of domain of p（σ，φ）when ＜2a

圖8 當(dāng)a2+h2 ≤b2，h ≥2a 時(shí)p（σ，φ）的定義域示意Fig.8 Diagram of domain of p（σ，φ）when a2+h2 ≤b2，h ≥2a

4 結(jié) 論

以等腰梯形域?yàn)槔懻摿溯S對稱凸域的包含測度問題，其他軸對稱凸域，如正五邊形域可類似討論。給出了等腰梯形域的廣義支持函數(shù)與限弦函數(shù)的求解過程，同時(shí)給出了當(dāng)a2+h2≤b2時(shí)等腰梯形域的包含測度的具體結(jié)果（a2+h2＞b2時(shí)方法類似），且取消了“等腰梯形的高不超過梯形的最短底邊長”這一限制條件。可利用這一結(jié)果，進(jìn)一步推廣Buffon 投針問題，求出小針與等腰梯形網(wǎng)格相遇的概率。另外，等腰梯形域的廣義支持函數(shù)與限弦函數(shù)不僅可以解決包含測度問題，還可以解決等腰梯形域上的弦長分布問題，從而將應(yīng)用領(lǐng)域推廣至化學(xué)、材料學(xué)、物理等［16-18］。