一種基于近場動力學的纖維復合材料仿真加速方法研究

周 吉，錢松榮，冉 秀，徐崢勻

(1.貴州大學機械工程學院，貴州 貴陽 550025；2.貴州大學省部共建公共大數據國家重點實驗室，貴州 貴陽 550025)

1 引言(Introduction)

纖維復合材料因具有比重小、比強度高、比模量大和動力學性能優越等特點，廣泛應用于航空航天、土木工程、海洋工程等領域。在以往的研究中，主要使用經典彈性力學來描述復合材料的本構關系，其中有限元方法應用最為廣泛。當SILLING博士在2000 年提出近場動力學理論后，纖維復合材料的近場動力學本構模型很快建立起來。但是，在求解這種近場動力學數值問題時需要耗費大量的計算機資源，耗費時間較多，工作效率低，阻礙了近場動力學的應用速度。

針對這一問題，本文提出一種結合經典彈性力學解析法的近場動力學加速方法。為了驗證該方法的有效性，引入以迭代誤差收斂速度為標準的評價方法，并設計開發相關程序。結果表明，該程序能有效模擬單層纖維度和材料受載荷位移情況；在迭代誤差收斂到 1 × 1 0mm時速度提升1倍，在精度標準要求不高時，收斂速度更明顯；另外，迭代誤差之和最大值相差近一個數量級，加速效果明顯。

2 近場動力學理論(Peridynamics theory)

近場動力學理論有效解決了傳統的局部和非局部理論在不連續問題求解上的缺陷。在近場動力學理論公式中，使用的是位移而不是位移倒數，避免了傳統經典力學理論中在求解時因局部不連續而導致不可微的問題。但鍵型的近場動力學理論在求解塑性問題時會存在一定困難，為解決這個問題，SILLING提出了基于狀態的近場動力學理論。在后續的研究中，學者們發現近場動力學數值求解過程非常適合使用并行化計算方法；將近場動力學與有限元方法耦合，既發揮出有限元在計算上的速度優勢，又應用到近場動力學在裂紋擴展方面的優勢；用熱力學與近場動力學耦合，發現了近場動力學在求解熱力學問題方面的優勢；此外，還建立了纖維復合材料的近場動力學模型，并有效地運用。

圖1 物質點的相互作用關系Fig.1 Interactive relations of the material points

變換之后可得：

根據式(1)進行離散化，使用中心差分公式變化如式(6)所示：

式(1)中的表示第個物質點，而表示第個時間步。中心差分公式可近似擬合積分數值，使積分的求解變得容易。通過中心差分方法，隨著每一時間步的不斷迭代，即可求得物質點的位移情況，進而得到材料物質點變形后的位置。最終，材料變形模型可通過可視化軟件展示出來。由式(6)進行簡單的數學變換可得到如式(7)所示的位移求解方程：

3 纖維復合材料層合板模型(Fiber composite laminate model)

對于復合材料層合板動力學與破壞損傷的機理研究，學者們已提出并發展了很多理論及數值計算方法，其中有限元法最為突出。最早有CHANG等提出二維的纖維增強復合材料層合板損傷模型，并使用該模型進行單層板多種角度纖維的損傷模擬研究。TAN使用折減系數法對受損傷的材料剛度進行折減，實現損傷函數的作用，達到復合材料漸近損傷過程的數值模擬效果。在基于近場動力學的復合材料的力學性能模擬中，不僅在斷裂損傷方面的研究發展迅速，靜態分析方向的研究也快速發展。復合材料層合板模型由多層單層板黏合而成，如圖2所示。

圖2 復合材料層合板模型Fig.2 Composite laminates model

在大多數情況下，單層復合材料不單層使用，而作為層合板材料的基本單元，每一層單層板都有各自的材料屬性和厚度。單層板通常是正交各向異性的，在經典復合材料力學中正交各向異性復合材料單層板的應力應變關系由剛度矩陣表示，如式(8)所示：

其中，為縱向剛度，為橫向剛度，為耦合影響剛度，而則表示剪切模量。在式(9)中列出工程彈性系數如下：

其值大小與縱向彈性模量、橫向彈性模量、泊松比和面內剪切模量有關。其中：

復合材料的鍵型近場動力學本構方程如式(11)所示，是關于纖維方向的函數。與各向同性材料不同，式(5)中的微模量不再是一個固定的與彈性模量有關的固定值，這里= 4(+μ b)。通過改變式(3)中的參數即可得到如式(11)所示的本構模型：

4 數值計算加速方法與仿真分析(Acceleration method of numerical calculation and simulation analysis)

4.1 加速方法與評價方法

在進行復合材料單層板的數值仿真過程中，計算速度對計算機性能的要求較高，計算效率低，為了解決這個問題，提出一種先進行解析法求解，后進行近場動力學計算實現微調的方法。解析法的物質點初始分布位置如式(13)所示，公式中的 u與公式(7)中的值一樣，表示第個物質點的位移量，僅軸方向有初始位移。

4.2 程序實現

圖3 求解程序設計流程圖Fig.3 Flow chart of solution programming design

4.3 基體材料的準靜態問題求解

圖4 基體材料仿真模型與結果Fig.4 Matrix material simulation model and results

4.4 復合材料的準靜態問題求解

復合材料單層板的材料參數來自文獻[13]，纖維方向即縱向彈性模量= 142.1GPa,橫向彈性模量= 8.73GPa,密度= 1,580kg/m，泊松比= 0.33，面內剪切模量= 4.49GPa。實現單一變量受力加載情況與基體材料一樣，如圖5(a)所示。

對于單層復合材料，當達到第7,000時間步時，即= 0.7μs時，所有物質點的迭代收斂誤差和為 3.2161 ×10，此時各向同性的基體材料的位移分布情況如圖5(b)所示。在結果中可以看出，單一材料的物質點沿軸方向呈線性分布，而復合材料的物質點呈非線性分布。

圖5 復合材料單層板仿真模型與結果Fig.5 Composite laminates simulation model and results

4.5 加速效果分析

分別對纖維角度為0°、30°、45°、60°和90°的單層板模型進行計算分析，從0時間步到6,000時間步的誤差曲線如圖6所示。由于-60°、-45°、-30°分別與60°、45°、30°的迭代誤差曲線相似，這里不再列出-60°、-45°和-30°的曲線圖。

如圖6(a)所示，0°纖維方向在1,500時間步，加速后的迭代誤差逐漸平穩，未加速計算模型的迭代誤差在3,000時間步后才逐漸穩定，計算效率加快1倍。通過觀察發現，各種角度的迭代誤差加速效果非常明顯，最大值之差為9×10；另一方面，90°纖維的單層板迭代誤差曲線較其他角度波動劇烈，這是因為當纖維角度為90°時，受力方向的鍵主要為基體鍵，而基體鍵的彈性模量較小，導致式(5)中的微模量變小，引起式(3)中的近場力變小，加速度變小，對阻尼的影響變小。為了展示不同角度纖維方向在不同時間步的變化效果，列出從1,000時間步到6,000時間步的誤差值，如表1所示，間隔為1,000時間步。可以看出，當1,000時間步時迭代誤差的大小相差一個數量級，隨著時間步的不斷增加，逐漸收斂。

圖6 不同纖維方向單層復合材料迭代誤差收斂曲線圖Fig.6 Iterative error convergence curves of single-layer composites with different fiber directions

表1 不同纖維方向單層板各時間步迭代誤差Tab.1 Iterative error of each time step of single-layer plate with different fiber directions

(續表)

5 結論(Conclusion)

本文提出一種基于近場動力學的纖維復合材料仿真加速方法，在數值理論的基礎上，設計開發仿真程序，實現數據的可視化，引入迭代誤差收斂速率來評價該方法的有效性。通過4.4部分的計算模型，驗證了本文的仿真程序能有效模擬單層纖維復合材料的位移，與各向同性的基體材料的位移結果不同，纖維復合材料的位移結果是非線性的。在4.5部分，對0°、30°、45°、60°和90°的復合材料單層板進行有效性分析，已展示出迭代誤差收斂曲線圖。結果表明，在迭代誤差收斂達到 1 × 1 0mm時速度提升1倍，在精度標準要求不高時，迭代收斂速度提升更為明顯。同時，列出0°、30°、45°、60°、90°、-30°、-45°和-60°的復合材料單層板分別在1,000、2,000、3,000、4,000、5,000和6,000時間步的迭代誤差之和的值，結果表明，迭代誤差最大值相差近一個數量級，加速效果明顯。但此加速方法目前僅適用于準靜態或靜態問題求解，在動態問題求解方面的適用性還有待驗證。綜合分析實驗結果，針對單層纖維復合材料求解準靜態問題的加速方法是有效的。