利用函數教學培養學生數學建模素養的策略

王均芳

（甘肅省通渭縣第二中學，甘肅通渭 743300）

在數學教學中函數屬于一種可以直觀反映事物變量關系的數學模型，所以函數課程十分適用于培養學生的數學建模素養。教師合理利用函數教學優勢將建模思想滲透到數學教改工作中，不但可以活化學生的數學抽象思維，也能使學生一目了然地掌握數學問題中的變量關系，從而增強學生對函數模型的實踐運用能力。為此，教師應該明確利用函數教學培養學生數學建模素養的必要性，同時采取創新的教學舉措同步發展學生的數學建模興趣和能力，以期實現對學生數學建模素養的高效培養。下面我們就對這個目標展開教學策略研討。

一、利用函數教學培養學生數學建模素養的必要性分析

所謂數學建模，就是通過建立數學模型分析和解決實際的數學問題。函數是一種最具代表性的數學模型，在發展學生數學建模素養方面發揮重大作用，值得教師廣泛運用。經過細致的分析研討，我們將利用函數教學培養學生數學建模素養的必要性總結為以下三點：

第一，函數教學是鍛煉學生數學建模素養的主要途徑。函數是數學課程中最常見的數學模型，可以用解析式、圖像以及表格表示，主要用于描述數量變化過程中常量和變量之間的關系，這一點與學生數學建模素養培養需求相適應。基于此，函數教學是鍛煉學生數學建模素養的主要途徑，教師在帶領學生從定量角度探究數學問題時，可以將函數作為主要工具，通過建立、求解函數模型幫助學生發現其中潛在的變量關系，使學生習得科學的建模方法。這些都是學生數學建模素養得到順利培養的重要標志，同時也能發揮函數教學的實際價值。

第二，利用函數教學策劃建模活動，可以增強學生解決實際數學問題的意識和能力。教師培養學生數學建模素養的主要意圖是引導學生對數學知識技能加以運用，鍛煉學生解決實際問題的能力。利用函數教學策劃建模活動可以使學生將實際數學問題中的變量條件和函數模型聯系起來思考，通過簡化假設、建構模型刻畫量與量之間的關系，然后再列出函數模型解析式求出模型結果，利用結果去解答實際數學問題。在這個過程中，學生的數學建模素養、思辨能力、解決問題的能力都會得到顯著強化。

第三，利用函數教學培育學生的數學建模素養，有助于提高數學知識的輸出效率。函數模型和不等式、方程之間聯系極為緊密，教師利用函數教學培養學生的數學建模素養，可以將生活中的函數關系具象地呈現給學生，提升學生的建模意識和模型運用思想，使學生深刻體會到函數模型的意義和價值。這些都有助于提高數學知識的輸出效率，促進學生對函數建模技能的掌握，因此教師應該積極依托函數教學發展學生的數學建模素養。

二、利用函數教學培養學生數學建模素養的策略

（一）分析函數課程和學情，策劃科學的數學建模素養培養方案

要想利用函數教學高效培養學生的數學建模素養，教師必須先落實函數課程和學情分析工作，策劃科學完整的數學建模素養培養方案，最大限度地發揮函數課程的建模教學價值。為此，筆者建議教師從以下三個步驟入手開展學生數學建模素養培養的前期準備工作：

第一，分析整合函數課程資源。教師可以通過備課將數學教學中所涉及的函數課程資源匯集起來，包括與一次函數、二次函數、冪函數、指數函數相關的圖像、性質以及概念，分析每種函數模型在解決數學問題中的優勢和作用。比如，一次函數和二次函數可以用于描述和解決路程問題等等，并將分析結果整理成文字材料作為開展學生數學建模素養培養教學的依據。

第二，分析學生的函數認知和數學建模基礎。教師可以通過日常教學以及和學生的實際交流考查和了解學生對函數知識的掌握情況以及關于數學建模活動的參與經驗。教師采集學情信息完畢后，應該按照不同的能力素質對學情信息分門別類制成表格，比如將邏輯推理能力、繪圖能力、抽象概括能力以及數學表達能力作為考查指標，分析學生的函數認知和綜合能力是否滿足數學建模教學的開展需求，重點明確學生數學建模基礎的長項和弱勢，以便針對性制訂函數建模教學方案。

第三，策劃設計基于培養學生數學建模素養的函數教學導學案。教師應該根據函數課程特性以及學情基礎設計數學建模素養培育導學案。比如，教師在確定數學建模導學案的主體內容和結構時，可以把函數教學劃分為問題導入、簡化假設、合作探究求解、歸納建模方法、函數建模拓展運用五個環節，同時結合應用電子白板、“互聯網+”數據庫等信息化設備和資源，從而為利用函數教學培養學生數學建模素養落實先決條件。

（二）創設生活化問題情境，激發學生的數學建模興趣

在利用函數教學培養學生數學建模素養過程中，教師應該從學生熟悉的生活經驗出發，通過創設生活化問題情境的方式引出建模研究內容。這樣一來可以激發學生的數學建模興趣，二來也能幫助學生建立對函數模型的具象認識，從而確保數學建模素養培養教學的順利開展。具體的教學步驟如下：

第一，基于日常生活設計函數問題情境。教師應該截取一個生活片段設計問題情境。比如，教師可以根據生活中汽車行駛速度和油耗的數據信息設問：“同學們，你們知道汽車行駛速度和油耗之間的關系嗎？保持怎樣的行駛速度汽車才能更省油呢？”在這個情境中，教師可以為學生提供3～5 分鐘自由討論的時間，啟發學生從函數的角度思考上述問題，初步激活學生的函數模型建構思維。

第二，利用多媒體設備展示原始數據圖。教師在創設問題情境階段向學生出示的是數據信息。接下來，教師應該利用多媒體設備將原始數據轉化為圖表形式呈現給學生，比如平面直角坐標圖等，將問題情境中具體的數量條件運用字母和數字標注在坐標圖上，然后鼓勵學生分析問題條件，嘗試在演算紙上畫出簡易的平面直角坐標系并描出各點位置，引導學生體會由形到數和由數到形的數學建模思想，使學生順利將生活問題轉變為數學問題。

（三）引導學生合理假設，初步建立數學函數模型

利用函數教學培養學生數學建模素養導學案中的第二個環節，就是引導學生針對問題情境做出合理的假設或猜想，初步建立數學函數模型。相關的教學步驟如下：

第一，教師應該指導學生在先前畫出的平面直角坐標系上運用平滑的曲線把已經確定好的各點位置連接起來，這樣一個完整的函數散點圖就完成了。接下來，教師繼續提出問題：“同學們，散點圖畫好了，那么之前的問題是否能用函數模型來解決呢？請大家觀察散點圖，結合問題情境中的數量條件，預測和假設解決問題的函數類型。”學生經過對圖像曲線的觀察和思考，一致認為函數模型可以用于解決先前的問題，但是對于預估采用哪種函數模型仍然存在較大的爭議。

第二，學生在函數模型的假設和預測階段普遍存在不確定性。大部分學生認為問題情境的原始數據圖以及散點圖和二次函數型、冪函數型、對數型以及指數型函數都具有相似之處。基于以上情況，教師不必急于揭曉答案，而要引導學生將所有猜想到的函數模型構建出來，以便學生在后續探究中找出最優的解題函數模型。

（四）組織學生小組合作探究，利用函數模型解決問題

在利用函數教學培育學生數學建模素養的過程中，學生對采用哪種函數模型進行解題持不同意見，這是教師開展小組合作探究的絕佳契機。教師可以讓學生根據自身的建模猜想劃分為若干小組，利用函數模型解決問題，比一比哪個小組的解題效率最高，評判出最佳的函數模型。這樣，學生的數學建模素養、合作探究能力以及思考辨析能力都能得到良好發展。具體的探究步驟和內容如下：

第一，各組學生合作求解所預估的函數模型。教師可以啟發學生將問題數量條件和原始數據點代入函數模型解答中，引導學生應用待定系數法先列出函數模型解析式，再求出猜想函數模型的結果。在此過程中，教師可以應用電子白板投屏展示幾個初等函數圖像，讓學生在求解函數模型時能夠綜合考慮實際問題的條件以及原始數據信息和模型曲線的擬合效果。這樣，學生的數學建模能力、模型求解能力和圖像數據分析能力都能得到鍛煉。

第二，各組學生展示函數模型求解答案，評選最佳函數模型。教師可以先讓各小組呈現模型求解成果，并闡述選擇該函數型作為解題模型的理由以及解題思路。學生一邊闡述，教師一邊應用電子筆在電子白板上把相關概要快速整理記錄下來，將其作為后續的分析和評判依據。各組學生展示和闡述完畢后，教師重新出示原始問題的數據散點圖，讓學生思考一個問題：“對于散點圖中沒有表現出的剩余點位來講，哪個函數模型解析式適用性更高且結果誤差最小，比如針對工廠產品生產銷量預測問題，哪個函數模型求出的結果最接近客觀實際。”最后，教師就可以讓各小組帶著這些問題展開探討，引導學生通過運用定量分析和定性分析法共同評選出最優的解題函數模型，同時讓學生嘗試從數和形兩個角度評價每種函數模型在解決具體問題中的優勢或劣勢，將數學建模經驗回扣到實際問題中，得出最終的問題探究結論，從而加深學生對函數模型種類、應用場景的了解和認識，提升學生的數學建模素養。

（五）繪制思維導圖歸納建模過程，促進學生數學建模方法的掌握

在經歷了運用函數模型解決實際問題的過程之后，學生腦海中接收到的知識點和建模技能較為雜亂，這時教師應該通過繪制思維導圖的方式帶領學生梳理和歸納建模解題過程，促進學生對一般數學建模方法以及函數模型辨析技巧的掌握，從而增強學生數學建模素養的發展效果。具體的導圖繪制方法如下：

首先，教師可以在電子白板上出示樹狀或者洋蔥型思維導圖模板，然后引導學生回顧應用函數模型解決實際問題的過程，并將最關鍵的幾個建模步驟簡略地寫在演算紙上。接下來，教師可以通過問答形式帶領學生共同補充思維導圖中的空白部分。拿樹狀思維導圖來講，教師可以手指導圖的主干部位向學生提問：“同學們，這個位置是本課研究的實際問題，你們還記得嗎？”學生非常踴躍的復述了相關問題，教師應用電子筆進行記錄和填充，緊接著出示和問題對應的原始數據圖，針對樹狀思維導圖的其他分支部位繼續向學生提問：“那么同學們是否能夠歸納，將實際問題轉化為數學問題的方法和過程以及預估和擬定函數模型、解析式、求解的過程？”這個問題稍顯復雜，教師可以讓學生分組討論，并把討論結果補充到思維導圖的分支結構中。這樣，利用函數模型解決實際問題的一般步驟就非常直觀地呈現在學生眼前，促使學生的數學建模素養以及歸納總結能力得到進一步發展。

（六）開展函數應用類練習，培養學生的數學建模素養

利用函數教學提升學生的數學建模素養，追求的是引領學生對函數模型甄別、模型建構技能的學以致用。為此，在歸納建模方法環節結束后，教師應該跟進并組織學生開展函數應用類練習，鞏固提高學生數學建模素養、函數模型實踐力的培養效果。在具體的教學操作上，教師應該設計和函數教學研究內容類似的生活應用問題，比如設定一個產品促銷情境，為學生提供產品銷售單價、固定成本、日均銷售量等數據信息，然后鼓勵學生應用函數模型對問題數據做出表示和分析，探究如何調整產品定價才能實現促銷利潤最大化。在學生練習的過程中，教師可以啟發學生根據不同函數模型的解題優劣勢，甄別采用最佳的函數模型，引導學生先建立函數模型，再列出解析式求出結果，最后把結果代入促銷情境中，檢驗函數模型所求出的結果是否合乎實際問題的客觀條件，如果符合就是可用結果，如果不符合教師應該和學生共同探究，找出并改正建模和解題過程中的錯誤環節，從而在實踐運用和反思中驅動學生數學建模素養的完善。

三、結語

綜上所述，函數教學是培養學生數學建模素養的重要平臺和途徑。教師合理利用函數教學既可以鍛煉學生應用函數模型解決實際問題的能力，也可以加速學生對函數知識的領會和吸收。因此，教師應該落實函數課程和學情分析工作，精心策劃數學建模素養培養導學案，創設生活化問題情境，按部就班地帶領學生建立函數模型、探究最佳的模型解題思路，同時通過歸納函數模型建構過程、開展函數應用練習等活動，全面培育和強化學生的數學建模素養。