科學設計真實應用情境，充分發揮學生主體性

邵愛國

真實應用情景是指問題背景是現實問題，需要解決的問題是生活問題而不是直接的數學問題。《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出，數學課程的目標在于讓學生能用數學的眼光去分析世界。因此通過設計真實應用情境，在問題的解決過程中理解知識的應用本質，提高學生的數學建模等核心素養。

一題多變的變式設計將章節知識融于一個“問題串”中，把相關知識最大限度的整合，學生通過自主探究變式題組，主動建構知識網絡。另外通過改變同一個問題的條件與結論，避免了因使用多個不同背景的題目而在審題上浪費時間，從而提高了效率，收到“一網打盡”的復習效果。

隨機事件的概率與分布列比較抽象，是學習的難點。下面，以本節課的教學為例，談談如何科學設計真實應用情景，充分發揮學生的主體性，幫助學生主動建構知識網絡，發展數學核心素養。

一、教學內容分析

《概率統計》作為高中數學應用部分之一，是與現實生活聯系最密切的內容，是培養學生數學抽象、邏輯推理、數學建模、數據分析等能力的最重要應用載體。首先古典概型是概率問題的基礎。其次以分布列為核心，將排列組合、期望、方差等串在一起。本節課通過真實問題情境變式探究把相關知識進行整合，引導學生主動建構整體性的“認知框架”。

教學重點：理解概率分布列的本質，辨別超幾何分布與二項分布，掌握分布列應用的一般步驟。

二、學生學情診斷

學生具備的知識及心理基礎：排列組合，古典概型，分布列，超幾何分布，二項分布。

學生直觀認知與準確理解以及靈活運用之間的矛盾：古典概型和概率分布列的理解僅僅停留在感性認識的層面上; 超幾何分布與二項分布之間的關系含混不清;在應用數學知識解決實際問題時，缺乏建模能力，缺乏從實際問題中抽象出數學本質的能力。

教學難點：理解分布列的本質，識別不同的分布列類型。

三、教學目標分析

1.知識與技能

①理解古典概型與離散型隨機變量的分布列的概念;

②會用古典概型求離散型隨機變量的分布列;

③會用超幾何分布和二項分布解決實際問題。

2.過程與方法

通過真實應用情境的變式探究，能夠理解分布列的本質，辨別超幾何分布與二項分布。

3.情感、態度與價值觀

①了解分布列的實際意義;

②通過分布列的應用，理解事物間的相互轉化、對立統一的辯證關系。

四、教學策略分析

在“教師是主導，學生是主體”理念指導下，教學設計主要采用自主探究式教學方法，即“真實情境—變式探究—反思升華”，注重“引、探、 歸”的結合。采用真實情境激發興趣，通過真實問題的變式探究培養應用意識，通過反思歸納幫助學生建構知識體系。

教學方法：

啟發式教學：始終從問題出發，層層設疑，引導學生在不斷思考中獲取知識。

教學流程：創設情境—變式探究—有效建構—觸摸高考

五、教學過程設計

1.創設情境

某商場為了促進顧客消費，決定周末舉行消費滿額抽獎活動，在一個不透明的箱子里裝了材質大小形狀完全相同的1個白球，2個黑球和4個紅球，每球有一個區別于其他球的編號，從中隨機摸出一個球，以摸到球的不同顏色作為一、二、三等獎標準，要使得中一等獎的概率最小，應定為什么顏色？如果一次抽取兩個球，若兩個球都是紅球為一等獎，求中一等獎的概率？你還可以設計怎樣的中獎規則，能夠使中一等獎的概率不超過1/9？

設計意圖及預設：問題背景真實，學生熟悉易理解，前兩個問題難度小，學生可以通過口答加深對古典概型的理解，第三個問題開放，讓同學們感受命題過程，同時把學生的設計作為變式探究，激發興趣。

2.變式探究

變式一、設計抽獎規則為一次從中抽取3個球，以抽取到的紅球數對應不同的中獎等級，一共可以設為幾個獎項？怎樣對應能夠使得中一等獎的概率最小？設計中獎規則使得中一二三等獎和不中獎的概率依次增大，并使得獎金額分別為100元，50元，20元，0元。求一次抽獎，商家需支付的平均獎金額。

設計意圖及預設：第1問是離散型隨機變量的理解，第2問要解決問題，必須把所有概率都求出來并進行比較，揭示了概率分布列的本質。第3問幫學生理解分布列的應用本質。

反饋評價：遞進的問題設置，揭示古典概型和超幾何分布的關系。通過解決實際問題培養應用意識。

變式二、題干不變，摸球方式為：1.依次從中摸出3個球。2.每次從中摸出1個球，摸出后放回去，連續摸球3次。作為商家更愿意采用哪種方式？

變式三、袋中有材質大小形狀完全相同的1個白球，2個黑球和 n（n≥2）個紅球，一次從中抽取2個球，記抽到的紅球數不少于2個為中獎，獎金為50元，否則為不中獎獎金為0元。為了使得100個人抽獎的平均中獎金額不超過2500元，請問商家最多應在袋中放多少個紅球？

設計意圖及預設：變式二通過變換摸球方式，讓學生體會依次“無放回”摸球與“有放回”摸球求概率的不同，辨別超幾何分布與二項分布。變式三，通過設計實驗，加深理解獨立重復試驗的特征，每次摸球概率值相等。

反饋評價：通過小組討論，自主探究，使認識更加深刻，知識脈絡更加明了，從而更加深刻理解超幾何分布所要滿足的概率條件是古典概型（不放回的摸球），二項分布滿足的概率條件是獨立重復試驗（有放回的摸球或者每次試驗概率不變）。

3.有效建構

① 概率分布列是一次實驗中的所有隨機變量的概率函數表示。

② 超幾何分布與二項分布的區別與聯系。

③ 古典概型→離散型概率分布列（超幾何分布/二項分布）概率應用問題

④求離散型隨機變量分布列的解題流程。

4.觸摸高考

（2021年北京卷18）為加快新冠肺炎檢測效率，某檢測機構采取“k合1檢測法”，即將k個人的拭子樣本合并檢測，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的：若為陽性，則還需要對本組的每個人再做檢測。現有100人，已知其中2人感染病毒。

（1）（i）若采用“10合1檢測法”，且兩名患者在同一組，求總檢測次數;

（ⅱ）已知10人分成一組，分10組，兩名感染患者在同一組的概率為1/11，定義隨機變量X為總檢測次數，求檢測次數X的分布列和數學期望E（X）。

（2）若采用“5合1檢測法”，檢測次數Y的期望為E（Y），試比較? E（X）和E（X）的大小（直接寫出結果）。

設計意圖及預設：學以致用，通過高考題的訓練進一步鞏固知識方法，加強應用意識。

六、教學設計反思

1.設計真實情境，培養應用意識

本節課從解決真實情境問題出發，從實際應用角度提出問題并引導學生解決，通過把實際問題轉化為概率問題的訓練，培養學生的應用意識。

2.變式探究 整體設計 優化知識網絡的建構

本節課通過變式探究問題的設計，做到探中抽知，串知成鏈，動態生成，從而達到有效建構的目的。

3.自主探究 積極反思 培養學生探究精神

本節課通過實際問題，引導學生自主探究并總結規律，應該充分發揮學生的主觀能動性，引導學生參與到問題的設計中，不斷經歷問題提出、解決、反思，使學生清楚地領會到思維的全過程。使學生在享受探究合作、尋求答案的快樂活動中培養探究精神。

【本文系2021年度廣東省教育科學研究院中小學數學教學研究專項課題“構建‘以學生為主體’的高中數學課堂的研究與實踐”（課題編號：GDJY-2021-M089）研究成果之一】

責任編輯 黃博彥