GM(1,1)殘差處理模型的變形預測實踐與分析★

翟 敏，常國霞

(中國建筑材料工業地質勘查中心山西總隊,山西 太原 030031)

1 概述

建筑工程項目在施工建設階段的變形監測是保障工程安全順利進行的必要手段,是安全措施決策分析的必要依據,其往往延續至項目運營階段[1]。在觀測得到變形數據后的數據分析階段中,變形預測是其中的一項重要內容;它是依據現有數據以及相關資料,對后期未發生的或可能發生的變形進行預測。經過實踐以及科學研究,目前變形預測的方法已經有很多種。而灰色系統理論中的GM(1,1)模型具有小樣本、貧信息建模的特點[2-3],變形數據具有灰色數據特征,因此其在變形預測領域的應用已經得到較大推廣。其中王凱倫等[4]采用灰色GM(1,1)模型,根據山東某礦區地表移動觀測站實測資料,對開采沉陷預測精度進行了分析研究;邱利軍等[5-6]采用改進的GM(1,1)模型對基坑沉降數據以及大壩變形數據進行了預測分析研究;丁萬濤等[7]、王新勝等[8]則針對隧道圍巖變形,采用灰色模型進行了分析研究;姚穎康等[9]針對滑坡變形采用改進GM(1,1)模型進行預測,取得比傳統模型好的效果。本文采用實際工程項目中某建筑物主體沉降監測數據為分析依據,建立均值GM(1,1)模型、殘差GM(1,1)模型以及坐標變換模型進行變形預測,并對預測結果進行了對比分析,得到坐標變換模型預測效果較好的結論。認為對相似工程的模型選取及實踐具有一定參考價值。

2 均值GM(1,1)模型原理及殘差處理

2.1 均值GM(1,1)模型

設序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),其中,x(0)(k)≥0,k=1,2,…,n;X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)),X(1)為X(0)的1-AGO序列,計算公式為:

(1)

其中,k=1,2,…,n。

設Z(1)=(z(1)(2),z(1)(3),…,z(1)(n)),其中:

(2)

x(0)(k)+az(1)(k)=b

(3)

稱式(3)為均值GM(1,1)模型。

(4)

其中：

(5)

(6)

稱式(6)為均值GM(1,1)模型的白化微分方程,也稱影子方程。

均值GM(1,1)模型的時間響應函數為:

(7)

若k≤n為模擬,若k>n為預測。累減還原式為:

(8)

而對應的X(0)的時間響應函數是:

(9)

2.2 殘差GM(1,1)模型

殘差GM(1,1)模型是以GM(1,1)模型的殘差序列再次建立GM(1,1)模型以進行修正的方法。

設ε(0)=(ε(0)(1),ε(0)(2),…,ε(0)(n)),其中:

(10)

式(10)為X(1)的殘差序列。

若存在ki使得:

1)?k≥ki時,殘差序列符號一致。

2)n-ki≥4。

則包含ε(0)(ki)及其之后序列的序列段可用于建模。

當k≤n時,是對擬合序列的修正;反之,則是對預測序列的修正。需要注意,若殘差序列不滿足符號一致的要求,可采用文獻[5]中的加常數的方法進行序列變換后,建模預測,最后將預測結果反向還原即可。

2.3 坐標變換修正殘差

文獻[6]認為,GM(1,1)模型在擬合段末期,擬合一次累加數據與實測數據的一次累加值出現相近、相交或相離的趨勢,致使后期預測數據出現偏差;因此,提出采用坐標變換的方法,修正預測值以減弱殘差影響。

首先以建模序列的一次累加序列最末項與一次累加序列的擬合值最末項計算平移量:

(11)

其目的是使得縱向平移后的一次累加序列已知值與擬合值在最末項重合。然后得到平移后的時間響應函數為:

(12)

然后計算旋轉角度,為:

(13)

即以一次累加序列的擬合值與已知值的最后兩項構成的直線計算夾角作為旋轉角。

在計算完旋轉角度后,即可利用下式對預測數據序列進行旋轉變換:

(14)

其中,(x0,y0)為對應建模序列最末項對應的一次累加序列已知值；(x,y)為對應一次累加序列預測值的橫縱數值；(x′,y′)為對應變換后的橫縱數值。

最后,在變換后點序列相鄰點構成直線或直線延長線上計算對應橫向數值的縱向值作為一次累加序列的預測值。公式為:

(15)

3 工程實例應用及比較分析

選用某建筑物主體沉降觀測2號點實測9期數據為依據,采用前7期數據建立均值GM(1,1)模型,然后以殘差模型和坐標變換兩種改進形式對殘差進行處理,以后2期數據進行驗證。其實測數據如表1所示。

表1 實測變形數據序列

采用C#語言編程對均值GM(1,1)模型以及兩種改進進行實現后,建模預測,得到后2期數據的預測結果如表2所示,預測結果的相對誤差如表3所示。

表2 不同模型預測結果 mm

表3 不同模型預測值的相對誤差 %

通過分析表2與表3可知,均值GM(1,1)模型預測精度較低,而殘差GM(1,1)模型相較于均值GM(1,1)模型的預測精度有所提高,而坐標變換改進模型的預測精度最高。從實例看,在第8期,坐標變換模型預測值幾乎與實測值重合(其中涉及小數點后位數取舍),而第9期數據預測值相對誤差為-3.98%,絕對誤差為-0.68 mm。而均值GM(1,1)模型以及殘差GM(1,1)模型的預測精度是不能接受的。需要說明,在殘差序列建模過程中,由于殘差序列不滿足建模要求,采用了殘差序列加常數1后的序列進行建模,且采用的是加常數后滿足要求的第2期至第7期數據,對預測結果進行反向還原得到修正值。

預測期的預測數據與實測數據比較如圖1所示。

從圖1可知,殘差模型和坐標變換模型均是將預測值向實測的校正,但校正值的大小決定因素不同。前者取決于GM(1,1)模型的預測值,而后者取決于模型的平移量和旋轉角。從圖1也可以發現,一次累加的旋轉在累計沉降的預測值中有所體現。且在圖上可以看出,坐標變換模型相較于均值GM(1,1)模型以及殘差模型,預測精度優勢明顯。

4 結語

在建筑工程施工階段,變形監測是保障工程安全進行的必要手段。本文以沉降變形監測實測沉降數據序列為基礎,選取監測點9期實測沉降數據進行預測實踐應用分析,選擇前7期建立不同模型,后2期進行對比驗證,在程序實現相關模型的基礎上對預測結果進行對比分析,認為坐標變換模型的預測結果達到了較好的預測效果,與實測累計沉降量相 近,其可以作為相似工程的預測選用方法,對相關實踐工作具有一定參考價值。