基于自適應多項式擬合的渦流測量校正方法

王 寧， 陳友興， 楊 凌， 金 永

(中北大學信息與通信工程學院，山西 太原 030051)

0 引 言

在能源、化工、航天等行業中，粘貼或噴鍍的非金屬涂層厚度對整個產品的工作性能、穩定性和使用安全都發揮著極其重要的作用[1]。如固體火箭發動機的涂層是發動機裝藥的重要組成部分，太厚或太薄均會影響發動機的正常工作[2]；石油工業中的運輸管道常在其內表面噴涂非金屬涂層防止因腐蝕而發生漏油，過厚或過薄均會造成安全事故[3-6]。因此，在產品使用前或使用過程中，有必要對涂層厚度進行測量，以確保其使用安全。

渦流檢測以不需要耦合劑、操作簡便、結構簡單、實時等優點常用于測量特殊金屬基體內表面的涂層厚度[7-8]。但在實際測量過程中，被測基體表面形狀和探頭與被測基體的距離均會對檢測線圈與基體的電磁耦合產生一定的影響，從而造成測量誤差大。由于常規誤差校正方法中往往采用的高階多項式、高斯函數等擬合方法復雜化會影響實際檢測的效率。因此，研究渦流測厚過程中曲面金屬誤差校正方法簡單化、系統化具有實際工程意義。

文獻[9]為了提高金屬零件表面絕緣涂鍍層厚度測量精度，針對大曲率半徑1 125，3 000 mm的鋁合金試件為研究對象，采用了9階多項式、多峰高斯函數等四種復雜函數分別在每一種曲率下對電流信號與提離距離進行標定，通過優化標定方法，減小了測量誤差。但該方法在一定程度上增加了測量與計算的工作量。文獻[10]通過建立二元三階多項式的擬合模型，研究了磁感應強度與雙層涂層厚度之間的關系。文獻[11]針對厚涂層測量精度較低的問題，以曲率半徑50～80 mm的不銹鋼球面為研究對象，采用了4階多項式、高斯函數等四種擬合函數分別在每一種曲率下對渦流信號與提離距離進行標定，通過優化標定曲線的方法將測量誤差控制在0.09 mm以內。文獻[12]為提高曲面試件的渦流測距精度，在數值模擬的基礎上，研究了曲率對渦流信號的影響，提出了一種基于渦流信號差值的測距修正方法，提高了曲面測距精度。文獻[13]通過建立等效電路模型，得到了測量靈敏度與傳感器參數之間的關系，通過優化傳感器靈敏度實現了對納米銅膜厚度的測量。

上述研究分析了渦流曲面測量的影響因素，并針對優化標定方法和提高精度等方向做出了相應貢獻。在此基礎上，本文從渦流測量值與真實值的關系角度，研究小曲率曲面金屬誤差校正簡單化的方法，分析了曲面曲率半徑對渦流信號的影響，在能夠滿足工程應用0.1 mm測量誤差要求下，提出了自適應參數的二階多項式擬合的校正方法，建立了多項式參數與曲率半徑的關系。最后通過實驗驗證該方法的可行性。

1 曲面涂層測厚原理及影響因素

1.1 管狀內表面涂層厚度測量原理

利用渦流提離效應進行涂層厚度測量的原理如圖1所示。通過渦流探頭到被測基體內表面提離距離x0的大小即可計算出涂層厚度。渦流探頭垂直置于被測基體的上方，R為曲率半徑，d為被測基體的厚度。在測量曲面涂層厚度時易受到被測基體曲率影響，測量誤差會變大。采用渦流探頭EU15以及渦流傳感器eddyNCDT-3300對其內表面涂層進行檢測，選取曲率半徑R=25 mm、35 mm、50 mm、70 mm、90 mm的管狀試件進行實驗驗證，如圖2所示，提離距離范圍0.1～7 mm。渦流信號隨曲面曲率半徑的變化如圖3所示。

圖2 檢測試件

1.2 曲面曲率半徑對渦流信號的影響

圖3所示為改變被測基體的曲率半徑大小，提離1，3，5，7 mm下的測量值隨曲率半徑變化的情況。可以看出，在同一提離下，測量值隨著曲率半徑的增大而減小。圖4為提離1，3，5，7 mm下渦流信號隨曲率半徑變化的測量誤差。

圖3 曲率變化對渦流信號的影響

圖4 渦流信號隨曲率變化的誤差

由圖4可知，在同一提離下，測量誤差隨著曲率半徑的增大而逐漸減小。在同一曲率半徑下，隨著提離增大，測量誤差也在減小。說明曲率半徑、測量值與真實值之間存在一定的關系。

2 多項式擬合校正方法

設擬合多項式為：

式中：a0、a1、···、ak——待定多項式參數；

k——擬合多項式的最高次數；

x——測量值；

y——真實值。

為更直觀表示測量值與真實值的函數關系，測量值在文中具體用表示，真實值用表示。

將式（1)表示為矩陣的形式，可得到：

表示為矩陣形式，如下：

系數矩陣A即可由公式（3）計算得出，通過對測量值與真實值進行擬合運算，相比于二階多項式，四階、九階多項式及高斯函數的運算量較大，其多項式參數多且復雜度高。

為更好分析擬合方法的好壞，對四種擬合曲線的擬合指標和方差（SSE）、均方根（RMSE）、確定系數（R-square）進行分析。其中和方差（SSE）越接近0，說明模型選擇擬合更好，數據預測也越成功。均方根（RMSE），也叫擬合標準差，表示原始數據相對于擬合曲線的偏離程度，越接近0，誤差越小。確定系數（R-square）近似于1時，表明方程的變量對y的解釋能力越強，函數模型對數據擬合越好。趨勢線最可靠[14]。

通過比較高斯函數、二階、四階及九階多項式的擬合指標，具體對比結果在表1中給出。

表1 四種擬合方法對比結果

由表1中數據可知，高斯函數擬合指標不理想，而二階與四階、九階多項式相比，各項擬合指標均較接近。進一步分析了4種擬合方法的誤差如圖5所示，可以看出，高斯函數擬合誤差較大，二階與四階、九階的擬合誤差相近。

圖5 四種擬合方法的誤差

綜上，為了降低參數復雜度，在滿足測量誤差的要求下，本文采用二階多項式的擬合方法，其表達式為：

其中h和H分別表示不同曲率半徑下的真實值和測量值。

為了驗證采用二階多項式擬合方法的效果，如圖6所示，對曲率半徑R=25 mm擬合前后的測量誤差進行了分析。

圖6 擬合前后誤差

從圖6可以看出，未擬合時的最大測量誤差為0.058 mm，擬合后的最大測量誤差為0.042 mm。所以采用二階多項式擬合比未擬合的誤差要小。

由此可得，采用二階多項式擬合后不僅減小了誤差，而且降低了參數復雜度。所以，首先對曲率半徑R=25 mm時的測量值與真實值進行擬合，其結果如圖7所示。

圖7 擬合結果

從圖7可知，二階多項式擬合曲線各點幾乎分布在曲線上，其擬合曲線與原始數據吻合性很好，偏差最小，同理可得到其余四種曲率半徑下的真實值與測量值的擬合曲線。

3 多項式的自適應參數求解

3.1 自適應參數求解

在降低參數復雜度的基礎上，進一步將得到的二階多項式參數系統化，在滿足適用性及測量誤差的要求下，通過自適應參數求解，建立多項式參數與曲率半徑的關系。

在不同系數矩陣A中ak（k=0, 1, 2）的值會隨著曲率半徑不同而變化，如果按某一個確定的自適應關系f，對于任意半徑R，在A中 都有唯一的參數a與之相適應，其自適應關系可表示為：

以本文的5種曲率半徑為例，由式(4)分別得到5種曲率半徑下的測量值與真實值的表達式。由于多項式參數隨曲率半徑變化，即參數a0、a1、a2分別為5種曲率半徑下對應的5個不同數值。問題轉變為分別求參數a0、a1、a2與曲率半徑R的函數。

在考慮系數復雜度的情況下，首先以參數a0為因變量，曲率半徑為自變量，優先采用二階多項式對其進行擬合，得到相應的參數a0-曲率半徑R擬合函數，由于參數a0與曲率半徑R的二階擬合效果不理想，而采用的三階擬合效果較好，由此得到了參數a0與曲率半徑R的自適應關系：

同理分別得到參數a1、a2與半徑的自適應關系：

由式(6)～(8)便系統性地建立了各多項式參數與曲率半徑的表達式。

將式(6)～(8)代入式(4)即可計算出不同曲率下的實際值。首先計算了曲率半徑R=25 mm下的實際值，并與真實值作對比，其結果如圖8所示。從圖8可以看出，計算的實際值與真實值吻合度很高。

圖8 計算的實際值與真實值比較

3.2 實驗結果與分析

進一步對比通過該方法計算的不同曲率下的實際值與真實值的誤差，結果見圖9。由圖可得，不同曲率下計算得到的實際值與真實值的最大誤差在-0.015～0.015 mm范圍內。通過代入后的式(4)不僅可以計算出5種曲率下的實際值，而且計算的實際值與真實值相近，表明該方法具有一定的可行性。

圖9 不同曲率下實際值的誤差

4 結束語

本文針對管狀基體渦流測量中因曲率的影響而導致的測量誤差，在常規校正方法中往往采用的高斯函數、高階多項式等擬合方法復雜化的問題，研究了曲面曲率半徑對渦流信號的影響，提出了基于自適應參數的二階多項式擬合校正方法，通過自適應參數求解，建立了多項式參數與曲率半徑的關系。結果表明，相比于直接利用高斯函數、高階多項式等復雜函數進行校正的傳統手段，該方法建立的關系式所計算的實際值與真實值的最大誤差在-0.015～0.015 mm范圍內，降低了參數復雜度，具有一定的通用性與可行性。

綜上所述，通過基于自適應參數的二階多項式擬合方法建立的函數關系，簡化了實際操作流程，使其更方便有效地應用于工程實際中。