“三角函數的概念”教學實錄

李曉珊，田 穎

（石家莊市第二中學，河北 石家莊 050000）

三角函數是一種重要的基本初等函數，用來刻畫周期變化現象。基于學生已有的學習函數的經驗，通過類比，探索學習三角函數時的研究路徑。基于此，本節課是在函數一般概念的基礎上，分層次、分角度循序漸進地讓學生理解任意角三角函數的定義。

本節課的第一個思考點是讓學生尋求合適的量來刻畫單位圓上運動的點的位置變化。這個思考點的設置有兩個優點：一是從周期運動的背景中生成問題，從數學史的發展來看，任意角三角函數與圓周運動有直接關系，這種設計合理且不失一般性；二是學生刻畫位置的方式往往采取角和坐標兩種方式，這是體現數形關系的入口。

任意角三角函數的概念的教學過程中，首先明晰角的弧度數與點的橫（縱）坐標之間的對應關系為函數關系，直接給出正弦函數、余弦函數的概念。之后，又抓住“對應關系”，并讓學生探究銳角三角函數和任意角三角函數的關系，進而進一步理解三角函數定義。

理解好“對應關系”，是學生學習三角函數定義時的一個難點，因為這與學生已有的經驗不同，這種差異造成了學生的認知障礙。為了突破這個難點，課堂采取比較、分析的方式是較為合適的。引領學生再認識前面學過的基本初等函數的對應關系，發現其解析式都有明確的運算含義。在此基礎上，進一步理解三角函數中的對應關系不以“代數運算”為媒介，是“a與y，a與x，a與的直接對應”。雖然a、x、y都是實數，但實際上是“幾何元素間的對應”。

銳角三角函數和任意角三角函數的關系的研究，是借助某例題中求的三角函數值引出的，設計非常巧妙。由于的三角函數值在初中已非常熟悉，有些學生直接寫出的正弦值、余弦值和正切值，有些學生通過找到終邊與單位圓交點的坐標求得的三角函數值，兩種做法自然地引發思考：初中學習的銳角三角函數和任意角三角函數之間有什么聯系和區別？結合數學史讓學生了解兩者產生的背景不同，功能性質不同。在此過程中不僅明確了銳角三角函數和任意角三角函數之間的聯系和區別，也進一步滲透了三角函數與周期運動的聯系。

課本中任意角的三角函數的定義是“單位圓定義法”，即角的終邊與單位圓交點的縱坐標、橫坐標分別對應角的正弦值和余弦值。由于當角確定時，正弦值、余弦值也隨之確定，那么已知角的終邊上任意一點的坐標時，如何求出該角的三角函數值呢？這個問題的探究，一方面可以借助平面幾何中三角形相似的知識進一步落實“單位圓定義法”，另一方面這實質上是任意角的三角函數的“終邊定義法”。

具體教學設計見下：

一、教學內容和內容解析

（一）內容

單位圓上點的運動規律；三角函數的概念；與銳角三角函數的聯系與區別。

（二）內容解析

一直以來，人們習慣于把三角函數看作銳角三角函數的推廣，而事實上，銳角三角函數的研究對象是三角形，是三角形中邊與角的定量關系（三角比）的反映。而任意角三角函數的現實背景是周期性的變化現象，是“周而復始”變化規律的數學刻畫。如果以銳角三角函數為基礎進行推廣，那么三角函數概念發生發展過程的完整性將受到破壞。因此，整體上，任意角三角函數知識體系的建立，應與其它基本初等函數類似，強調以周期變化現象為背景，構建從抽象研究對象（即定義三角函數概念）到研究它的圖象、性質再到實際應用的過程，與銳角三角函數的聯系可以在給出任意角三角函數定義后再進行探究。

一般地，概念的形成應按“事實——概念”的路徑，即學生要經歷“背景——定義——表示——應用”的過程。

二、目標和目標解析

（一）目標

1.通過實際問題，使學生認識到定義具有周期性的函數的必要性。

2.經歷抽象出三角函數定義的過程，理解任意角三角函數的概念，發展數學抽象的素養。

3.能利用定義，求出特殊角的三角函數值，并從中體會數形結合思想。

（二）目標解析

實現以下三點以達成目標：

1.學習任何函數都要了解其現實背景，學生要知道三角函數是刻畫現實世界中周期性變化規律的數學模型，勻速圓周運動是體現周期性變化現象的典型代表。

2.課堂上首先由生活中的周期現象引入，再從中選取圓周運動，不失一般性，關注單位圓上點的運動，從而抽象出了研究的問題：單位圓O上的點P以A為起點作逆時針方向旋轉，建立一個數學模型，以刻畫點P的位置變化，

3.學生能找到用什么量來刻畫單位圓上點的運動，并能分析出這些量的相互關系，最后抽象出三角函數的定義，并能夠利用定義求出給定角的三角函數值。

（三）教學重點、難點

重點：借助單位圓上點的圓周運動理解任意角的正弦、余弦的定義；能根據定義求特殊角的三角函數值。

難點：尋找到刻畫單位圓上點作圓周運動的變量，并抽象概括出函數。

三、教學問題診斷分析

（一）學生已有認知基礎

三角函數概念的學習，學生的認知基礎是函數的一般概念以及研究冪函數、指數函數和對數函數的經驗。本章起始關于任意角和弧度制的學習也為學生學習任意角的三角函數奠定了基礎。另外還有圓的有關知識。這些認知準備對于分析“周而復始”變化現象中涉及的量及其關系和認識其中的對應關系并給出定義等都能起到思路引領作用。

（二）學生學習中的困難

前面學習的基本初等函數，解析式都有明確的運算含義，在三角函數中，對應關系不以“代數運算”為媒介，是“a與y，a與x，a與的直接對應”。雖然a、x、y都是實數，但實際上是“幾何元素間的對應”。因此三角函數中的對應關系，與學生的已有經驗距離較大，因此產生了學習的難點：分析哪些量刻畫單位圓上點的運動，理解三角函數中自變量與函數值是如何對應的及其定義方式。

（三）教學策略分析

為了破除學生在對應關系認識上的定勢，幫助他們搞清三角函數的三要素，應該根據一般函數概念引導下的下位學習的特點，先讓學生明確“給定一個角，如何得到其終邊與單位圓交點的橫、縱坐標”的操作過程，然后再下定義。這樣可以自然引入三角函數的定義，并且還可以使學生又一次認識到一般函數概念的本質。具體操作時，可以設計任務，先讓學生完成“給定一個特殊角，求它的終邊與單位圓交點的坐標”，例如，當a=時，讓學生找出相應點P的坐標，并體會到點P的坐標的唯一確定性；教師借助信息技術來展示，讓學生觀察，給定任意一個角a∈R，其終邊與單位圓的交點坐標是否唯一，從而為理解三角函數的對應關系奠定基礎。利用信息技術可以幫助學生更好地理解三角函數的本質。

四、教學條件支持

為了準確把握定義，學生首先要直觀感受到角的終邊與單位圓交點的坐標隨角的變化而變化，需要利用信息技術建立任意角、角的終邊與單位圓的交點這兩個幾何量之間的關聯，進而再關注到角的弧度數與交點橫、縱坐標值這兩組代數量之間的對應關系。教學中，可以動態改變角a的終邊OP（P為終邊與單位圓的交點）的位置，引導學生觀察OP位置的變化所引起的點P坐標的變化規律，感受三角函數的本質，同時感受終邊相同的角具有相同的三角函數值，以及各三角函數在各象限中符號的變化情況。

五、教學實錄

（一）創設情境

教師展示課件中的圖片，讓學生感受到生活中有很多循環往復、周而復始的變化現象，而我們知道的指數函數、對數函數等都不能刻畫這種運動變化。

設計意圖：讓學生初步感受周期現象，激發學習興趣。

（二）分析具體問題，歸納共同特征，給出三角函數的概念

問題：單位圓O上的點P以A點為起點做逆時針方向旋轉，如何刻畫點P的位置變化？

生1：可以用∠AOP（記為a）的大小變化來刻畫點P的位置變化.

生2：可以以圓心O為原點，以OA所在直線為橫軸建立坐標系，然后用點P的坐標來刻畫點的位置變化.

師：（追問）既然角a和點P的坐標都可以刻畫點P的位置變化，那么a與點P的坐標之間有什么關系.

生：通過幾個特殊角發現，當a確定時，點P的坐標是唯一確定的.

師：（教師通過幾何畫板演示）發現對于任意的角a，點P的橫坐標x、縱坐標y都是唯一確定的，教師提煉呈現概念，得出三角函數的定義，并引導學生體會三角函數的這種對應與以往的函數有所不同，不是通過運算建立的對應，是自變量a與函數值之間的直接對應，然后引導學生探討函數的定義域。

設計意圖：引導學生自己發現用函數的模型刻畫點P的變化規律的必要性與合理性，并得到由單位圓定義的三角函數概念。

（三）任意角三角函數的初步應用

師生活動：先由學生發言，再總結出從定義出發求三角函數值的基本步驟，并得出答案。

設計意圖：明確用定義求三角函數值的基本步驟，進而進一步理解定義的內涵。并希望學生發現三角函數和初中學習的銳角三角函數之間似乎有某種聯系，自然引出下一環節的思考問題。

（四）任意角三角函數與銳角三角函數的聯系與區別

師：通過例1，你有什么感悟和體會？

師：那我們來探究一下：

如圖，設x∈（0，），把按銳角三角函數定義求得的銳角x的正弦記為z1，并把按本節三角函數定義求得的x的正弦記為y1，z1與y1相等嗎？對于余弦、正切也有相同的結論嗎？

生：通過小組討論，由學生展示結論，發現求得的值是一致的。

設計意圖：使學生體會在求銳角的三角函數值時，利用銳角三角函數與利用任意角三角函數是一致的。教師再介紹，實際上它們是有區別的，它們的研究對象不同，表現的性質也不同，任意角三角函數與圓周運動有直接關系，是研究現實世界中周而復始變化現象最有表現力的函數；而銳角三角函數的目的在于解三角形和三角計算，更側重于度量。

（五）進一步應用定義，體會由角的終邊上任意一點也可以算出三角函數值

例2.如圖，設a是一個任意角，它的終邊上任意一點P（不與原點O重合）的坐標為（x，y），點P與原點的距離為r.

生：獨立思考后小組討論，得出結果，并找學生獨立展示。

設計意圖：通過本例使學生認識到，知道角的終邊上任意一點，就可以求出三個三角函數值，這與利用單位圓上的點的坐標定義三角函數是等價的。

（六）小結、提升

教師總結三角函數概念的形成過程，是在一般函數概念下的特殊化，但不以代數運算為媒介，是a與x、y、的直接對應，定義來源于圓周運動，它能清楚地反映出周而復始的變化規律。然后啟發學生利用定義及圓的幾何特征，課下思考有關三角函數的更多內容。

設計意圖：再次回顧三角函數定義的過程，體會這是函數的“下位概念”，并啟發學生思考，為后面同角三角函數關系、誘導公式以及三角函數性質的學習做鋪墊。

在高中數學課程中，三角函數的內容安排在必修課程“主題二 函數”中，與“函數的概念與性質”“指數函數與對數函數”“函數的應用”視為一個整體。本章學習的認知基礎主要是幾何中圓的性質，以及前面建立的函數的一般概念。研究三角函數要利用單位圓這一工具，單位圓直觀的幾何特征可以幫助學生更好地理解三角函數的概念，這一過程有利于直觀想象素養的發展。三角函數作為重要的描述周期現象的數學模型，與其他學科有緊密聯系，可以發展學生的數學建模素養，因此，通過本章的學習，可以提升數學學科核心素養。