空間幾何題中常見問題處理策略

孫桂芳

摘要：空間幾何體是高考的必考內(nèi)容，而且全國卷中一般不出現(xiàn)在壓軸題中，但是反觀我們學生的做題情況則是很糟糕，能把這道題拿到滿分的同學更是少之又少。所以，我們要探討如何提高這道題的有效得分的策略，也要找到有效的辦法避免學生在細節(jié)的地方失分。

關(guān)鍵詞：幾何法 向量法 已知條件 線面角 面面角

空間幾何體是全國高考卷中大題的必考題，一般是在大題中第18題或者是第19題的位置。這道題，每個考生都信心滿滿，覺得自己肯定能把這道題拿下，但是我們在改卷的過程中發(fā)現(xiàn)，能得滿分的同學非常少，能把這道題寫得明明白白、清清楚楚的同學更是少之又少。我印象比較深刻的是，老師們在每次考試改卷都時都害怕抽到空間幾何題，因為這道題學生的書寫過程真的是讓人哭笑不得，無論它給的條件是什么，學生都能得出要證明的結(jié)果，更有甚者直接把所有的已知條件有一個大括號一寫，推出了最后要證明的結(jié)論。還有就是建立的空間直角坐標系不同，則點的坐標就不同，法向量等也不盡相同，所以這道題的改卷是改一張，做一次，次次不同。鑒于上面出現(xiàn)的問題，我們要采用怎樣的策略，讓學生把題目寫明白，爭取拿到更好的分數(shù)呢？下面我結(jié)合自己的經(jīng)歷談談自己的看法。

一、靈活應有幾何法和向量法

就近三年的全國高考卷來看，空間幾何題一般分為兩個小問，第一問一般是解決點共面、線線、線面、面面的平行和垂直問題，第二問更多的是解決線面角和面面角問題。建議學生第一問盡量用幾何法解決，第二問再用向量法解決。理由如下：

（1）幾何法和向量法比較來看，幾何的思維比較難，計算簡單，向量法的思維相對來說比較簡單，但是計算難度較大。而且有些題目第一問用向量法是不方便解決的，比如說點的共面問題。

（2）能夠提高自己的有效得分。從高考改卷來看，如果第一問就用向量法解決問題，那么在第二問就不在給建系、點的坐標的分數(shù)。如果第一問用的是幾何法，第二問用的向量法，那么第一問得分外，第二問還有建系、點的坐標的步驟得分，這無疑增加了考生的有效得分，并且兼顧了幾何法和向量法。

二、如何處理題目中的已知條件

（1）題目中出現(xiàn)線面垂直、線面平行、面面平行、面面垂直，那么肯定要用到上面這些已知條件的性質(zhì)定理。

（2）某動點在某條直線上，那么動點的坐標不能簡單的設(shè)動點P的坐標為（x，y，z），而應該在進一步利用向量共線，把動點P的坐標用一個未知數(shù)來表示。例：點A的坐標是（1，2，3），點B的坐標是（4，5，6），動點P在線段AB上，（AB） ?=（3，3，3），（AP） ?=（x-1，y-2，z-3），設(shè)（AP） ?=t（AB） ?，有{█（x-1=3t@y-2=3t@z-3=3t）┤，則點P的坐標可用一個未知數(shù)表示為P（1+3t，2+3t，3+3t）.同理，若動點P在某個面內(nèi)，則點P坐標可以利用平面向量基本定理用兩個未知數(shù)來表示。

（3）空間幾何體中如果有未知的線段，而這條線段未知影響后面題目的計算。那么，結(jié)合第二點，利用已知條件中的線線角、線面角、面面角結(jié)合方程思想可以求出未知線段的長度。2021年的高考題中的19題就是上面的這種情況。

三、線面角、面面角如何避免最后的結(jié)果出錯

（1）線面角最容易出錯的地方就是以下兩點：一是法向量與直線的方向向量所成的角并不是線面角，這兩個角是互余的。有效的解決辦法是sinθ=|cos?n ?，m ? ? |一步寫完，不要分成兩步。（其中θ是線面角，n ?是平面的法向量，m ?是直線的方向向量。）二是兩向量夾角的范圍是[0，π]，線面角的范圍是[0，，π/2]，角范圍的不對等該如何處理呢？像上面一樣，平面的法向量和直線的方向向量的余弦值加上絕對值符號就可有效的解決該問題。

（2）用向量法解決兩面角問題如何確定最后的結(jié)果是要正數(shù)還是負數(shù)呢？我覺得有兩個方案可以解決。一是通過圖形來看兩面角是鈍角還是銳角，若是鈍角則二面角的余弦值為負，若是銳角則二面角的余弦值為正，這種方法的不嚴謹，但是簡單方便，可能會出錯。第二種方案是看法向量，讓一個法向量指向二面角的內(nèi)部，一個法向量指向二面角的外部，此時法向量所成夾角的余弦值與二面角所成的余弦值剛好相等。問題又來了，在幾何圖形中如何判斷內(nèi)外呢？答案是通過豎坐標來看，若豎坐標為正，則法向量的方向是斜向上的，若豎坐標為負，則法向量的方向是斜向下的。

四、如何防止學生亂寫和丟失關(guān)鍵步驟

這里要說的是，我們一直鼓勵學生盡可能的寫。防止學生亂寫并不是要讓學生不寫，好降低我們改卷的難度和減輕我們的工作量。而是要讓學生清楚要怎么寫。

我覺得一道幾何題寫得清楚明白的標準是：你的每一步都要有依據(jù)，不能憑空想象亂寫，自己創(chuàng)造性的整出你自己專屬的定理。判定定理和性質(zhì)定理在應用的過程中條件要完整，用因為所以書寫時關(guān)鍵的條件一定要在，用“}”來寫的話每個條件不能有拉下的。另外一個標準就是你寫出來的東西是讓別人看的，如果一個不會這道題的解答過程，他是不是能看懂，如果能看懂，那么基本上是成功的了。

總之，空間幾何題是高考中的必考題，也不是壓軸題，通過學生和老師的通力合作，應該是能夠完整的把這個題做出來的。我也相信，我們的努力也將會有回報。

參考文獻：

1人民教育出版課程教材研究所編著.普通高中課程標準試驗教科書數(shù)學必修5A版[M].北京：人民教育出版社，2007.