軸承-轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力學(xué)及非線性特征的識(shí)別分析

都昌兵，舒 毅，邱清俊

（長(zhǎng)沙航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410124）

軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是代表一類廣泛工程應(yīng)用背景的復(fù)雜機(jī)械的關(guān)鍵部分。大量的理論研究和仿真計(jì)算表明，軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在某些故障狀態(tài)（如局部碰摩、軸裂紋、支承松動(dòng)等）和一定的參數(shù)條件下其非線性油（氣）膜力會(huì)表現(xiàn)出豐富的振動(dòng)現(xiàn)象[1]。對(duì)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性振動(dòng)特性，雖然已經(jīng)在各種各樣的背景下展開(kāi)了廣泛的研究，但目前這些研究側(cè)重于理論分析、仿真計(jì)算以及混沌通道的考察，試驗(yàn)研究相對(duì)較少；研究靜態(tài)非線性振動(dòng)現(xiàn)象的較多，研究動(dòng)態(tài)非線性振動(dòng)的較少；單一故障的研究較多而耦合故障的研究較少。從工程的角度出發(fā)，人們更關(guān)心的問(wèn)題是：（1）軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在什么條件下會(huì)產(chǎn)生非線性振動(dòng)？（2）如何根據(jù)觀測(cè)結(jié)果識(shí)別軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性振動(dòng)？這些問(wèn)題的研究對(duì)于人們更準(zhǔn)確地理解和分析軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中發(fā)生的復(fù)雜振動(dòng)現(xiàn)象、掌握非線性振動(dòng)發(fā)生規(guī)律、指導(dǎo)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和使用、抑制其不良振動(dòng)以及準(zhǔn)確診斷碰摩等故障有重要的學(xué)術(shù)意義和應(yīng)用價(jià)值[2]。

在氣膜振蕩和碰摩等非線性因素的影響下，軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)將會(huì)線性失穩(wěn)，進(jìn)入非線性的穩(wěn)定和不穩(wěn)定工作狀態(tài)。

1 非線性動(dòng)力學(xué)原理

1.1 非線性動(dòng)力系統(tǒng)一般方程表達(dá)式

一般可用多參數(shù)有限維二階常微分方程組來(lái)描述軸承-轉(zhuǎn)子的非線性動(dòng)力系統(tǒng)，表達(dá)式為：

式中時(shí)間t≥0，頻率ω是實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)系統(tǒng)參數(shù)（ω∈R），未知量是m維矢量q，是由軸剛度、軸承氣（油）膜力等所產(chǎn)生的系統(tǒng)內(nèi)力矢量，系統(tǒng)的外激勵(lì)力矢量是。

引入狀態(tài)變量：

則非線性動(dòng)力系統(tǒng)在狀態(tài)空間中的表達(dá)式可描述為：

其中：

若F中不顯含時(shí)間t，

且滿足 ，那么式（1.2）可簡(jiǎn)化為：

那么此時(shí)的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力系統(tǒng)式（1.3）為自治系統(tǒng)。

若F中顯含時(shí)間t，且是T周期函數(shù)，即滿足則（1.3）式簡(jiǎn)化為：

那么稱此時(shí)的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力系統(tǒng)式（1.4）為非自治系統(tǒng)。

1.2 非線性動(dòng)力系統(tǒng)平衡點(diǎn)解的Hopf分岔理論

根據(jù)分岔時(shí)產(chǎn)生的周期解的情況不同，可分為超臨界Hopf分岔和亞臨界Hopf分岔兩種[3]。

（1）若 ，系統(tǒng)由平衡點(diǎn)解 分岔出一個(gè)穩(wěn)態(tài)的周期解 ，并且當(dāng) ，周期解，則稱之為超臨界Hopf分岔[4]。

分岔特征：周期解的產(chǎn)生是漸變的，隨ω的變化，系統(tǒng)不出現(xiàn)“跳躍遲滯”現(xiàn)象（如圖1a）。

（2）若 時(shí)，系統(tǒng)由平衡點(diǎn)解 分岔出一個(gè)不穩(wěn)定的周期解 ，并且當(dāng) 時(shí)周期解 ，則稱之為亞臨界Hopf分岔[4]。

分岔特征：周期解的產(chǎn)生是突變的，隨ω的變化，系統(tǒng)出現(xiàn)“跳躍遲滯”現(xiàn)象，這是由于不穩(wěn)定的周期解外往往還存在一個(gè)穩(wěn)定的周期解（如圖1b）。

圖1 平衡點(diǎn)解的Hopf分岔

2 非線性特征的識(shí)別

在高轉(zhuǎn)速下，當(dāng)轉(zhuǎn)子振動(dòng)較大，偏心率較高時(shí)容易發(fā)生氣膜振蕩現(xiàn)象。當(dāng)發(fā)生氣膜振蕩時(shí)轉(zhuǎn)子振幅增加，容易產(chǎn)生碰摩等故障[5]。而識(shí)別出氣膜振蕩可以盡早采取控制措施，從而擺脫氣膜振蕩進(jìn)而避免碰摩故障的發(fā)生。但是氣膜振蕩由于其突發(fā)性使得我們往往不容易預(yù)防，在試驗(yàn)中可以通過(guò)嘗試改變控制方式來(lái)退出氣膜振蕩[6]。本文就一次穩(wěn)定試驗(yàn)中出現(xiàn)的典型氣膜振蕩現(xiàn)象進(jìn)行了識(shí)別分析。結(jié)合圖2，試驗(yàn)總結(jié)如下：在0～926 s之間是轉(zhuǎn)子的升速階段，其中300 s之前轉(zhuǎn)子升速較快，300 s之后轉(zhuǎn)子升速很慢。當(dāng)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速達(dá)到42000 rpm時(shí)，再提高動(dòng)力渦輪流量，轉(zhuǎn)速反而下降，振幅增大，隨后發(fā)生了碰摩。

圖2 轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化曲線和轉(zhuǎn)子尾端水平振動(dòng)振幅隨時(shí)間變化曲線

2.1 時(shí)域波形分析

觀察650 s附近的時(shí)域波形圖可以看出，在647 s時(shí)時(shí)域波形還是穩(wěn)定的，如圖3，但在1 s之后波形開(kāi)始發(fā)生變化，到649 s時(shí)波形特征如圖4。觀察從650 s到926 s碰摩前的時(shí)域波形，由于氣膜振蕩一直存在，波形圖特征都與圖5相似。

圖3 氣膜振蕩未發(fā)生時(shí)的時(shí)域波形

圖4 氣膜振蕩開(kāi)始發(fā)生時(shí)的時(shí)域波形

圖5 氣膜振蕩發(fā)生時(shí)的時(shí)域波形

2.2 傅立葉分析

圖3、圖4和圖5的時(shí)域波形圖對(duì)應(yīng)的頻譜圖為圖6、圖7和圖8。從圖6、圖7和圖8中可以看出半速渦動(dòng)頻率的振幅增長(zhǎng)變化，根據(jù)圖6、圖7和圖8提供的時(shí)域信息，半速渦動(dòng)頻率的振幅增長(zhǎng)迅速，很快振幅就和工頻相當(dāng)。觀察從650 s到926 s碰摩前的頻譜圖，由于氣膜振蕩一直存在，頻譜圖特征都與圖8相似。

圖6 氣膜振蕩未發(fā)生時(shí)的FFT圖（647.670～647.730 s）

圖7 氣膜振蕩開(kāi)始發(fā)生時(shí)的FFT圖(649.770～649.830 s)

圖8 氣膜振蕩發(fā)生時(shí)的FFT圖(650.350～650.400 s)

2.3 軸心軌跡分析

圖9、圖10、圖11、圖12是系統(tǒng)進(jìn)入氣膜振蕩時(shí)軸心軌跡的變化。圖9反映的是在進(jìn)入氣膜振蕩之前，轉(zhuǎn)子軸心軌跡是以穩(wěn)定的周期1狀態(tài)運(yùn)行。在649 s時(shí),軸心軌跡呈現(xiàn)擬周期的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。要進(jìn)入擬周期，按照非線性動(dòng)力學(xué)的理論，這時(shí)一定會(huì)有分岔現(xiàn)象，也就是軸心軌跡一定會(huì)有周期2的出現(xiàn)，之后才會(huì)進(jìn)入擬周期，但是由于轉(zhuǎn)速過(guò)高而沒(méi)有看見(jiàn)周期2，當(dāng)在926 s發(fā)生碰摩后，轉(zhuǎn)速下降到37000 rpm附近，從軸心軌跡圖中能看見(jiàn)周期2（圖13）。周期2的出現(xiàn)表明運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)了另一個(gè)非同頻振動(dòng)頻率，該擾動(dòng)頻率為軸承的渦動(dòng)頻率。該頻率擾動(dòng)導(dǎo)致系統(tǒng)偏離平衡點(diǎn)周期1，系統(tǒng)出現(xiàn)線性失穩(wěn)的現(xiàn)象。線性失穩(wěn)發(fā)生后，系統(tǒng)會(huì)重新進(jìn)入新的非線性平衡點(diǎn)，有可能是新的極限環(huán)，也有可能進(jìn)入混沌或者擬周期狀態(tài)。圖10和圖11反映的就是系統(tǒng)走向新的平衡點(diǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的擬周期狀態(tài)，圖12可以認(rèn)為是系統(tǒng)進(jìn)入最終的平衡點(diǎn)多周期或混沌狀態(tài)的軸心軌跡。觀察從650 s到926 s碰摩前的軸心軌跡，由于氣膜振蕩一直存在，軸心軌跡特征都與圖12相似。

圖9 氣膜振蕩前的穩(wěn)定軸心軌跡（轉(zhuǎn)速40124 rpm,時(shí)間647 s附近）

圖10 氣膜振蕩初期的軸心軌跡（轉(zhuǎn)速40214 rpm,時(shí)間649 s附近）

圖11 氣膜振蕩加劇的軸心軌跡 （轉(zhuǎn)速40254 rpm,時(shí)間650 s附近）

圖12 氣膜振蕩嚴(yán)重時(shí)的軸心軌跡（轉(zhuǎn)速40523 rpm,時(shí)間650 s附近）

圖13 碰摩時(shí)的軸心軌跡（轉(zhuǎn)速37153 rpm,時(shí)間926 s附近）

從能量的觀點(diǎn)看，軸心軌跡包圍的面積越大，氣膜所具有的能量也就越大，轉(zhuǎn)子的軸心軌跡從圖9、圖10、圖11，到圖12的變化可以看出，發(fā)生氣膜振蕩時(shí)軸心軌跡包圍的面積越來(lái)越大，氣膜也具有越來(lái)越大的能量值，當(dāng)然不是無(wú)止境地增長(zhǎng)。在不改變外界能量輸入時(shí)，作為一種系統(tǒng)的自激振蕩行為，氣膜振蕩具有自激振蕩的一切特征，因?yàn)樽约ふ袷幨且环N非線性的穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)，所以氣膜振蕩也會(huì)是一種非線性的穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)，必然是有界的，也就是軸心軌跡包圍面積不會(huì)無(wú)限增長(zhǎng)。試驗(yàn)中，軸心軌跡增長(zhǎng)到圖12的狀態(tài)就穩(wěn)定下來(lái)了，之后系統(tǒng)可以一直在氣膜振蕩下穩(wěn)定運(yùn)行。由于在926 s碰摩之前開(kāi)大了動(dòng)力渦輪，增加了系統(tǒng)輸入能量才發(fā)生了碰摩故障，軸心軌跡如圖13。

3 結(jié)論

通過(guò)對(duì)軸承-轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模以及試驗(yàn)分析，分析了碰摩的動(dòng)態(tài)過(guò)程，識(shí)別出由于氣膜失穩(wěn)導(dǎo)致的碰摩故障，得到碰摩故障的非線性路徑。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在進(jìn)入擬周期或混沌狀態(tài)時(shí)，振動(dòng)的振幅不會(huì)無(wú)止境地增長(zhǎng)，而是有界的，只要不改變系統(tǒng)的輸入能量，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可以在發(fā)生氣膜振蕩的情況下繼續(xù)穩(wěn)定運(yùn)行，只是轉(zhuǎn)速不再上升，而是圍繞一定的轉(zhuǎn)速振蕩。

對(duì)軸承-轉(zhuǎn)子非線性動(dòng)力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模并求解可以用來(lái)討論系統(tǒng)的非線性路徑。但是在實(shí)際中，由于流體潤(rùn)滑的非線性偏微分方程——雷諾方程，難以取得精確的解析解，使得軸承系統(tǒng)支承力的求解還不夠完善，這樣即使建模討論，也與實(shí)際問(wèn)題有很大的差距[7]。因此，通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)行為非常重要。然而，本文提出的非線性分析方法只能給出定性結(jié)果，定量結(jié)論還待進(jìn)一步研究。