利用向量法求空間角

王麗艷

摘要：近年來，立體幾何中的空間角問題已成為各大考試中的“常客”，而向量法是解決立體幾何問題的常用方法。向量法避免引入繁雜的輔助線，是學生使用較多的方法。但學生在用向量法求解空間角問題時，易混淆空間角與向量所成角的關系。本人帶領學生進行一輪復習，利用一節課時間，復習空間角知識，鞏固與加深學生對空間角與向量所成角關系的理解，并能解決相關題目。以下是本人授課中講解線面角與向量所成角關系的教學片段。

關鍵詞：向量法，空間角，線面角

一、知識講授

首先帶領學生回顧相關知識點：兩向量數量積公式、兩向量夾角公式、平面法向量的概念、線面角θ的范圍（請學生回答，此處詳細的公式及概念省略）

α思考：設平面α的一個法向量為，則<，>與線面角θ的關系？（教師用幻燈片放映所用課件）。

教師問：對于圖1，θ的余角與<，>的關系？

學生1答：相等，滿足關系式cos.

教師追問：請你簡單說說二者為什么滿足這個關系？

學生1答：因為向量有方向，向量的夾角要求兩個向量平移到有共同的起點位置，當兩個向量位置如圖1時，既滿足θ的余角與<，>相等。

教師問：非常好，那么哪位同學可以說說圖2中，θ的余角與<，>的關系？

學生2答：互補，滿足關系式

教師問：那么可以得出線面角與向量所成角之間的關系嗎？

學生3答：由誘導公式得到線面角與向量角的關系式：sinθ=

教師：這幾位同學掌握的都非常好，大家要理解并熟記這個公式，同學們在求解線面角時角問題時，應注意到方向向量與法向量夾角余弦值的絕對值與線面角的正弦值相等，如果要求線面角的余弦值需要用求解，大家務必牢記，在以后做題中不要混淆兩角關系，下面我們看一道求線面角的問題。

二、相關例題

如圖，在四邊形ABCD中，BC=CD，BC⊥CD，AD⊥BD，以BD為折痕把△ABD折起，使點A到達點P的位置，且PC⊥BC.若M為PB的中點，二面角P-BC-D等于60°，求直線PC與平面MCD所成角的正弦值.

教師分析：求解直線與平面所成的角步驟： 1.建系，將點、向量坐標化;2.求出直線的方向向量、平面的法向量;3.求向量的夾角，根據sinθ=得出所求（該題的解答過程由學生書寫，教師投影并進行講評，強調重要步驟）。

解：∵PC⊥BC，CD⊥BC，∴∠PCD是二面角P-BC-D的平面角，即∠PCD=60°.在Rt△PCD中PD=CDtan60°=3CD.取BD中點O，連OM，OC.∵BC=CD，BC⊥CD，∴OC⊥BD.由題知OM為△PBD的中位線，∴OM∥PD.

又由PD⊥面BCD（易證），∴OM⊥面BCD，∴OM⊥BD，OM⊥OC，即OM，OC，BD兩兩垂直，以O為原點，OC，OD，OM所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.

設OB=1，則P（0，1，），C（1，0，0），D（0，1，0），M（0，0，），則，，.設平面MCD的一個法向量為，由得取，得

設線PC與面MCD所成角為θ，故線PC與面MCD所成角的正弦值為.

三、歸納總結

向量法是高中數學教學中的重要內容，是解決立體幾何問題法的重要方法。學生在解決立體幾何問題時，若題目可以建系，學生會首先考慮建立坐標系來解題。通過本節課師生的討論與研究，鞏固學生對空間角與向量所成角的關系的認識，降低思維高度，化繁為簡，快速解題。

參考文獻：

[1]高永琪.用向量法求空間角[J].考試周刊，2009（06）：69-70.

[2]張宏儷.聚焦立體幾何中空間角的求解[J].高中數理化，2021（23）：13-15.

[3]劉春燕.向量法求空間角與距離[J].讀寫算（數學教育研究），2010（31）：98-99.