用常規(guī)思維解決非常規(guī)問題

盧紅衛(wèi)

(江蘇省張家港市外國語學(xué)校 215600)

2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試第7題看似形式復(fù)雜，實(shí)則用簡潔的常規(guī)思路即可解決.

題目

a

,

a

,…,

a

為1,2,…,21的排列，滿足|

a

-

a

|≥|

a

-

a

|≥|

a

-

a

|≥…≥|

a

-

a

|，這樣的排列的個數(shù)為

.

思路1 特殊開路，歸納猜想.

a

,

a

,…,

a

為1,2,…,5的排列，滿足|

a

-

a

|≥|

a

-

a

|≥|

a

-

a

|≥|

a

-

a

|這樣的排列的個數(shù)

N

=1+2+2+2+1.

a

,

a

,…,

a

為1,2,…,7的排列，滿足|

a

-

a

|≥|

a

-

a

|≥…≥|

a

-

a

|≥|

a

-

a

|這樣的排列的個數(shù)

N

=1+2+2+2+2+2+1.歸納猜想：

a

,

a

,…,

a

為1,2,…,21的排列，滿足|

a

-

a

|≥|

a

-

a

|≥|

a

-

a

|≥…≥|

a

-

a

|這樣的排列的個數(shù)

N

=1+2+ 2+…+2+2+2+…+2+1=3 070.

思路2 利用數(shù)軸，一一羅列.

數(shù)軸上標(biāo)號為

i

(

i

=1,2,3,…,20,21)的點(diǎn)記為

P

，共有21個點(diǎn)，

a

,

a

,…,

a

分布在這21個點(diǎn)，|

a

-

a

|表示數(shù)軸上兩點(diǎn)距離.當(dāng)

a

在

P

處，則

a

(

i

=1,2,…,20)在

P

+1處，這樣的排列數(shù)為

N

=1.當(dāng)

a

在

P

處，則

a

,

a

在離

P

距離為1的

P

,

P

兩點(diǎn)，

a

(

i

=3,4,…,20)在

P

+1處，這樣的排列數(shù)為

N

=2.當(dāng)

a

在

P

處，則

a

,

a

在離

P

距離為1的

P

,

P

兩點(diǎn)，

a

,

a

在離

P

距離為2的

P

,

P

兩點(diǎn)，

a

(

i

=5,6,…,20)在

P

+1處，這樣的排列數(shù)為

N

=2.

……

當(dāng)

a

在

P

處，則

a

,

a

在離

P

距離為1的

P

,

P

兩點(diǎn)，

a

,

a

在離

P

距離為2的

P

,

P

兩點(diǎn)，……，

a

,

a

在離

P

距離為10的

P

,

P

兩點(diǎn)，這樣的排列數(shù)為

N

=2.當(dāng)

a

在

P

處，則

a

,

a

在離

P

距離為1的

P

,

P

兩點(diǎn)，

a

,

a

在離

P

距離為2的

P

,

P

兩點(diǎn)，……，

a

,

a

在離

P

距離為9的

P

,

P

兩點(diǎn)，

a

在

P

，

a

在

P

，這樣的排列數(shù)為

N

=2.

……

當(dāng)

a

在

P

處，則

a

(

i

=1,2,3,…,20)依次分布在

P

21-處，這樣的排列數(shù)為

N

=1.

綜上，

思路3 尋找規(guī)律，合理分類.

因?yàn)?p>a

為特殊元素，抓住

a

進(jìn)行分類討論，又根據(jù)對稱性，不難發(fā)現(xiàn)：

a

=1和

a

=21時，|

a

-

a

|的所有取值情況是一樣的，

a

=2和

a

=20時，|

a

-

a

|的所有取值情況是一樣的，

a

=

i

和

a

=22-

i

，

i

∈{1,2,…,10}時，|

a

-

a

|的所有取值情況是一樣的.設(shè)

a

=

k

，

k

∈{1,2,…,10,11}，對

i

=1,2,…,

k

-1，有

a

2-1,

a

2為

k

-

i

,

k

+

i

的排列(若

k

=1，沒有這樣的

i

)，且

a

=

j

+1(2

k

-1≤

j

≤20)(若

k

=11，則沒有這樣的

j

)，因此

評析

思路1通過特殊化思想的運(yùn)用，先思考兩次數(shù)字較少的情形，很容易得到相應(yīng)的排列數(shù)，再通過歸納猜想，就很容易得到此題的正確答案.思路2很好地利用了數(shù)軸這個有力工具，在黑板上直觀呈現(xiàn)，排好

a

的位置后，讓學(xué)生動手操作排

a

的位置，隨著

a

的變化，學(xué)生很容易得出相應(yīng)的排列數(shù).思路3是在思路2的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)了

a

=

i

和

a

=22-

i

，

i

∈{1,2,…,10}時，|

a

-

a

|的所有取值情況是一樣的，因?yàn)榇嬖趯ΨQ性，所以設(shè)

a

=

k

，只需考慮

k

∈{1,2,…,10,11}的情形.數(shù)軸上的操作已經(jīng)讓學(xué)生明白其基本原理，學(xué)生嘗試總結(jié)，教師通過適當(dāng)輔助，完成

a

2-1,

a

2為

k

-

i

,

k

+

i

的排列(若

k

=1，沒有這樣的

i

)，且

a

=

j

+1(2

k

-1≤

j

≤20)(若

k

=11，則沒有這樣的

j

)這樣的規(guī)律總結(jié).整個思維過程順暢，簡潔易懂，學(xué)生對解決此類問題所用的研究思路有了深刻感悟.緊接著，筆者給出了以下題目讓學(xué)生練習(xí)：已知數(shù)列

a

=2(

k

=1,2,3,…,

n

)，則所有可能的乘積

a

a

(1≤

i

≤

j

≤

n

)的和等于

.

課堂上學(xué)生很快給出了如下兩種思路：

思路1 列舉找通項.

以上求和抓通項，2(2+ 2+1+…+2)=2[(2+2+…+2)-(2+ 2+…+2-1)]=2(2+1-2)=2++1-22，于是

思路2 利用數(shù)表，直觀呈現(xiàn).

a1a1a1a2a1a3a1a4a1a5…a1ana2a1a2a2a2a3a2a4a2a5…a2ana3a1a3a2a3a3a3a4a3a5…a3ana4a1a4a2a4a3a4a4a4a5…a4ana5a1a5a2a5a3a5a4a5a5…a5an…………………ana1ana2ana3ana4ana5…anan

容易得到以上數(shù)表各項和為再將以上數(shù)表分解成左、中、右三個部分(圖1).由對稱性可知，圖1中左和右兩部分各項之和相等，圖1中間部分的各項之和為圖1右邊部分的各項之和為

圖1

圖1中間和右邊的各項之和即為所求

評析

練習(xí)與例題看似不相關(guān)的兩個問題，實(shí)則所用的思想方法類似，都是通過特值開路、一一羅列后探求規(guī)律.而數(shù)軸、數(shù)表都是教材上常見的工具，通過這些直觀工具的運(yùn)用，在動手操作的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.練習(xí)思路1先是取

i

=1，羅列

a

a

(1≤

j

≤

n

)所有項的和，再取

i

=2，羅列

a

a

(2≤

j

≤

n

)所有項的和，接著找出通項為2(2+2+1+…+2)，化簡通項得2++1-22，最后為兩個等比數(shù)列求和.競賽題的思路2利用數(shù)軸，練習(xí)的思路2則利用數(shù)表直觀呈現(xiàn)，學(xué)生通過觀察可將數(shù)表分解為三個部分，由對稱性知左右兩部分各項和相等，中間和右邊各項和即為所求.

若缺少學(xué)生動手操作和數(shù)表呈現(xiàn)，直接給出以下答案解法：學(xué)生必定陷入深深的焦慮，教學(xué)效果可想而知.

如何提升優(yōu)秀學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，面對復(fù)雜問題，突破思維壁壘，是值得我們思考的問題.數(shù)學(xué)競賽題復(fù)雜多變，怎樣在錯綜復(fù)雜中尋找到最佳路線，需要的是巧做、化繁為簡，利用常規(guī)思維方法來思考并解決復(fù)雜問題.學(xué)生通過動手操作，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)規(guī)律，克服畏難情緒，增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心，從而提高學(xué)習(xí)效率，形成優(yōu)秀的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).