例說運動學圖像問題的分析與求解

■江蘇省鎮江第一中學 李更磊 白利燕

運動學圖像問題不僅考查同學們對基本概念和基本規律的理解與應用,而且對同學們的讀圖、識圖、畫圖、用圖的能力也提出了較高的要求。同學們在遇到運動學圖像問題時,需要認真觀察圖像,挖掘出圖像描述的物理現象和物理過程,找到研究對象遵循的物理規律,建立各個物理量之間的定量關系,靈活運用數學知識完成物理問題的求解。下面選取兩類典型的運動學圖像問題進行分析與求解,以期能為同學們的復習備考助力。

一、橫軸表示時間的圖像

橫軸表示時間的圖像描述的是縱軸物理量隨時間變化的規律,常見的橫軸表示時間的圖像包括x-t圖像、v-t圖像和a-t圖像等。

1.x-t圖像:描述的是做直線運動的物體的位移x隨時間t變化的規律。觀察x-t圖像可以知道做直線運動的物體在某一時刻所處的位置,以及物體在這一位置處的速度和加速度。若x-t圖像是一條平行于橫軸的直線,則表示物體處于靜止狀態,物體的速度和加速度均為零;若x-t圖像是一條傾斜的直線,則表示物體做勻速直線運動,直線的斜率表示物體的速度,物體的加速度為零;若x-t圖像是一條曲線,則表示物體做變速直線運動,曲線上某點切線的斜率表示物體在對應時刻的速度,曲線上各點切線斜率的變化反映物體速度的變化。

例1一質量為m的物體放置在集裝箱內,物體隨集裝箱一起向上運動,其位移x隨時間t的變化規律如圖1所示。物體受到集裝箱對它的支持力用N表示,物體的速度用v表示。已知當地的重力加速度為g,以下說法中正確的是( )。

圖1

A.0～t1內,v增大,N＞mg

B.t1～t2內,v增大,N＜mg

C.t2～t3內,v增大,N＜mg

D.t3～t4內,v減小,N＞mg

解析:根據x-t圖像反映物體的位移x隨時間t的變化規律,圖像的斜率表示物體的速度可知,0～t1內,物體的位移x增加,速度v增大,加速度方向向上,物體處于超重狀態,則N＞mg,選項A 正確;t1～t2內,物體的位移x增加,速度v不變,加速度為零,物體勻速上升,則N=mg,選項B 錯誤;t2～t3內,物體的位移x增加,速度v減小,加速度方向向下,物體處于失重狀態,則N＜mg,選項C錯誤;t3～t4內,物體的位移x不變,速度為零,加速度為零,物體處于靜止狀態,則N=mg,選項D 錯誤。

答案:A

2.v-t圖像:描述的是做直線運動的物體的速度v隨時間t變化的規律。觀察v-t圖像可以知道做直線運動的物體在某一時刻的速度,以及物體在這一時刻的加速度。若v-t圖像是一條平行于橫軸的直線,則表示物體做勻速直線運動,物體的加速度為零;若v-t圖像是一條傾斜直線,則表示物體做勻變速直線運動,直線的斜率表示物體的加速度;若v-t圖像是一條曲線,則表示物體做變加速直線運動,曲線上某點切線的斜率表示物體在對應時刻的加速度,曲線上各點切線斜率的變化反映物體加速度的變化。

例2如圖2所示,一個光滑斜面體固定在水平地面上,輕質彈簧的一端與足夠長斜面上端的擋板相連,用手托住小球,使得小球與彈簧的另一端緊貼在一起,彈簧處于原長狀態。現將小球向上移動擠壓彈簧,使得彈簧的形變量為x,然后釋放,則如圖3所示的描述小球在斜面上運動時的v-t圖像中正確的是( )。

圖2

圖3

解析:將小球向上移動擠壓彈簧,使得彈簧的形變量為x后釋放,在小球與彈簧接觸的時間內,小球受到重力和沿斜面向下逐漸減小的彈簧彈力作用,小球的速度逐漸增大,加速度逐漸減小,其v-t圖像應為一條斜率逐漸減小的曲線;在小球與彈簧脫離的時間內,小球僅受重力作用,小球的速度繼續增大,加速度保持不變,其v-t圖像應為一條傾斜的直線。

答案:C

3.a-t圖像:描述的是物體的加速度a隨時間t變化的規律。觀察a-t圖像可以知道物體在某一時刻的加速度,以及物體在某段時間內速度的變化情況。若a-t圖像是一條平行于橫軸的直線,則表示物體做勻變速運動;若a-t圖像是一條傾斜直線或曲線,則表示物體做變加速運動,且直線的斜率或曲線上某點切線的斜率表示物體在對應時刻加速度的變化率。

例3一輛汽車由靜止開始沿平直公路運動,其加速度a隨時間t的變化規律如圖4所示,以下說法中正確的是( )。

圖4

A.0～t0內,汽車的平均速度為a0t0

B.第2t0末,汽車的速度為

C.t0～2t0內,汽車的位移大于

D.0～2t0內,汽車的位移等于a0t20

解析:根據a-t圖像可知,0～t0內,汽車做勻加速直線運動,末速度v1=a0t0,平均速度,選項A 錯誤。根據a-t圖像與橫軸圍成的面積表示速度的變化量可知,0～2t0內,汽車速度的變化量Δv=a0t0+,因此第2t0末汽車的速度,選項B 正確。作出對應的v-t圖像如圖5所示,根據v-t圖像與橫軸圍成的面積表示位移可知,t0～2t0內,汽車的位移x2＞,選項C正確;0～2t0內,汽車的位移,選項D錯誤。

圖5

答案:BC

二、橫軸表示位移的圖像

橫軸表示位移的圖像描述的是縱軸物理量隨位移變化的規律,常見的橫軸表示位移的圖像包括v-x圖像和a-x圖像等。

1.v-x圖像:描述的是物體的速度v隨位移x變化的規律。根據v-x圖像的斜率可知,物體的加速度a=kv,即v-x圖像的斜率和物體速度的變化共同決定物體的加速度。

例4一輛轎車和一輛貨車在同一地點,同一時刻,沿相同方向做直線運動。轎車做初速度為零,加速度大小為a1的勻加速運動;貨車做初速度v0=6 m/s,加速度大小為a2的勻減速運動,運動至速度減小為零后保持靜止狀態。轎車和貨車在運動過程中的速度—位移圖像如圖6所示。下列說法中正確的是( )。

圖6

A.貨車從開始運動至停止的過程中發生的位移為18 m

B.兩車同時到達x=6 m 處

C.從兩車開始運動至貨車停止的過程中,兩車之間的最大距離為18 m

D.從兩車開始運動至貨車停止的過程中,兩車之間的最大距離為6 m

解析:根據勻變速直線運動規律可知,轎車的位移與速度的關系式為v21=2a1x1,變形得;貨車的位移與速度的關系式為v22-v20=-2a2x2,變形得結合v-x圖像可得,當v1=v2時,=6 m;當x1=x2(x1、x2大于6 m)時,v1=8 m/s,v2=2 m/s,即聯立以上各式解得a1=2 m/s2,a2=1 m/s2。貨車從開始運動至停止的過程中發生的位移,選項A 正確。根據勻變速直線運動的位移公式可得,轎車到達x=6 m 處所用的時間t1滿足關系式x=,解得t1= 6 s;貨車到達x=6 m 處所用的時間t2滿足關系式解得舍去]。因為t1＞t2,所以貨車先到達x=6 m處,選項B錯誤。當兩車速度相等時,兩車之間的距離最大,根據a1t=v0-a2t,解得t=2 s,則兩車之間的最大距離Δx=v0t-,選項C錯誤,D 正確。

答案:AD

2.a-x圖像:描述的是物體的加速度a隨位移x變化的規律。觀察a-x圖像縱坐標的變化情況可以知道物體在運動過程中加速度的變化情況,確定物體是做勻變速運動還是非勻變速運動;將勻變速直線運動的位移與速度的關系式v2-v20=2ax變形得ax=,因此a-x圖像與橫軸圍成的面積的2倍表示物體在做勻變速直線運動的過程中速度平方的變化量。

例5位于水平桌面上的物體在水平外力F的作用下由靜止開始運動,以物體靜止時所處的位置為坐標原點O,以外力F的方向為正方向建立x軸,則物體的加速度a隨位移x的變化規律如圖7所示。下列說法中正確的是( )。

圖7

A.當物體的位移為x1時,物體的速度大小為

B.當物體的位移為x2時,物體的速度達到最大

D.在0～x2的過程中物體做勻加速直線運動,在x2～x3的過程中物體做勻減速直線運動

解析:根據a-x圖像與橫軸圍成的面積的2倍表示物體在做勻變速直線運動的過程中速度平方的變化量可得,當物體的位移為x1時,物體的速度大小v1滿足關系式v21=2a0x1,解得,選項A 正確。因為a-x圖像與橫軸圍成的面積最大時,物體的末速度最大,所以當物體的位移為x3時,物體的速度達到最大,且最大速度vmax=選項B錯誤,C正確。觀察a-x圖像可知,在0～x2的過程中,物體的加速度恒定,物體做勻加速直線運動,在x2～x3的過程中,物體的加速度逐漸減小,物體做變加速直線運動,選項D 錯誤。

答案:AC

運動學圖像的形式多樣,變化多端,解決運動學圖像問題的依據是基本的物理規律和物理方法,解決運動學圖像問題的基本步驟是觀察圖像,弄清縱、橫軸表示的物理量→根據物理規律推導縱、橫軸表示的物理量之間的函數關系式→結合圖像的斜率、截距、交點、面積等表示的物理意義列出關系式→解對應關系式回答相關問題。