基于純方位的無人機遂行編隊飛行中的無源定位問題

周心雯

（廣西師范大學，廣西 桂林 530000）

1 預備知識和問題描述

無人機技術發展迅猛，廣泛應用于民用和軍用領域，在軍用的目標追蹤方面，為了保證無人機的隱蔽性，盡可能避免外界干擾，無源定位跟蹤系統逐漸成為研究熱點。純方位跟蹤系統是對目標進行連續觀測，積累測角信息，從而獲得目標狀態的精確估計[1]，受成本和質量的限制，無源純方位傳感器被廣泛應用于被動跟蹤中的無源定位問題。根據測量方式的不同，無源定位的方式可以分為到達角度（Angle Of Arrival, AOA）技術、到達時間（Time Of Arrival, TOA）技術、到達頻率差（Frequency Difference of Arrival, FDOA）技術以及到達時間差（Time Difference of Arrival, TDOA）技術[2-3]。不同無源定位的優、缺點見表1。

表1 不同無源定位方法的優、缺點

基于TDOA的無源定位具有便于觀測、易獲得信息以及易組網的優點，因此適用于無人機集群作戰場景。利用TDOA對目標進行定位主要分為TDOA估計、TDOA結算以及目標定位3個步驟。因此，該文基于TDOA（到達時間差）定位法，利用目標到達接收站的時間差完成定位任務。

該文主要研究圓形陣列無人機隊伍無源定位問題。首先，選擇圓形陣列，以圓心為主發射器，其他作為輔助發射器，輔助發射器接收目標輻射的信號并轉發至主發射器，主發射器同時接收輔助發射器和目標輻射的信號，測量信號從輔助發射器到達主發射器與信號從目標輻射到達主發射器的時間差[1]，從測量與目標的物理關系出發，當發射信號的無人機位置無偏差且編號已知時，建立被動接收信號的無人機測角定位方程。其次，在已知目標接收到2個固定編號的無人機發射的信號的基礎上，通過上述測角定位模型比較不同數量無人機在保持最優定位幾何結構情況下的定位精度。根據接收的方向信息選擇加權最小二乘迭代對觀測方程進行求解，構建定位精度高、結構形式簡單的協同定位模型，調整無人機的位置，給出協同定位目標的約束條件并介紹設計方案。最后，根據時差無源定位系統的誤差幾何稀釋度，考慮純方位無源定位情形，重點分析幾何因子對目標定位的影響，得出無人機調整編隊的隊形方案[4]。

2 模型假設

模型假設如下：1） 假設無人機能正常發射和接收信號。2） 無人機信號傳播速度恒定。3） 忽略多個無人機在群隊之間的斥力和引力。4） 假設無人機不受內部噪聲、傳感器更新延遲、數據處理時延、通信局域性以及一般環境噪聲等情況的影響[5]。

3 算法設計

該文只需要考慮當編隊運動時均保持在空中的某一高度上，假設在圓形陣列中，發射信號的無人機對被動接收信號的無人機目標定位和跟蹤問題。假定編隊中各無人機保持恒定高度飛行，圓心的無人機與編隊中任意2架無人機位置無偏差，將其余任意1架無人機作為目標被動接收信號，此定位為無源定位，接收信號的無人機與發射信號的無人機位置不同，在無卡曼爾濾波的影響下，考慮距離差，發射信號的無人機信號到達目標無人機的時間不同，根據TDOA定位方法，目標無人機只需要測量與信號到達的時間差就可以計算目標在空間中的位置。

選定一被動接收信號的無人機為目標，位于圓心的無人機（FYOO）為主發射信號器，編隊中另外2架無人機（用符號表示）輔助發射信號，則信號到達被動接收信號的目標無人機的時間差如公式（1）所示。

式中：c為光速；r0為主發射器到目標無人機的距離；ri為輔助發射器到目標的距離；di為主發射器到輔助發射器的連線長度，di是已知常數。

假設ΔRi為各目標無人機到達主發射器與到達輔助發射信號無人機距離差，根據其物理關系可以得到公式（2）。

將公式（2）代入公式（1）并簡化，如公式（3）所示。

簡化后的方程僅包括均勻分布的圓形無人機編隊的距離關系，因此，該問題可以根據TDOA定位法的內涵，利用研究距離差代替研究時間差，以此簡化研究參數，忽略信號接收不穩定和數據處理時間等誤差。當無人機編隊在某一高度時，在X-Y的二維平面設目標相對于發射信號的無人機在x方向上的速度為vi，距離為ri，Y方向為li，則多發射器單目標時差定位系統的運動方程如公式（4）所示。

在該二維平面內，時差定位系統由3個發射信號的無人機以及1個被動接收信號的無人機構成，其中O為主發射器，C為輔助發射器，A、B為被動接收信號的無人機。如圖 1所示。

圖1 TDOA時差定位系統示意圖

根據公式（4）所示的時差無源定位原理[5]可知，運動方程公式（3）可以代入公式（4），如公式（5）所示。

式中：（xi，yi）為X-Y的二維平面上初始位置有偏差的無人機位置坐標。

在時差定位系統中，2個輔助發射器以及被動接收信號的目標無人機與圓心主發射器的無人機的坐標關系如公式（6）所示。

式中：（xn，y0）為圓心主發射器無人機的坐標；（x，y）為被動接收信號的目標無人機的坐標。

將公式（6）代入公式（5），整理得到簡化的定位系統位置關系，如公式（7）所示。

求解上述二元一次方程組就可以得定位系統各無人機坐標以及角度之間的關系，如公式（8）～公式（10）所示。

式中：μ（u，v）為任意坐標（u，v）的相角，μ∈[-π，π）。

聯立公式（8）和公式（9）得到公式（11）～公式（13）。

綜上所述，在模型假設的基礎上，根據無人機選取的任意性，可確定單目標定位系統在圓形無人機編隊中的通用運動模型。

在圓形矩陣的無人機編隊中，以圓心的FY00無人機為主發射器，從其余9架無人機選擇任意2架為輔助發射信號無人機，已知TDOA定位模型中的時間差是利用圓心無人機發射信號與其余輔助無人機發射信號到達目標無人機的時間差，除了以圓心的FY00無人機為主發射器、選取FY01的無人機為輔助發射信號之一外，在圓形矩陣中，現將X=[xtyt]T設為被動接收信號的目標無人機的位置，坐標圓心無人機的二維坐標是F0=[x0y0]，其余2個輔助發射器的二維坐標為F1=[x1y1]和F2=[x2y2]。設主發射器無人機到接收信號的目標無人機的距離為r0，其余2個輔助發射器到接收信號的目標無人機的距離分別表示為ri，i=1，2。

發射信號的無人機與接收信號的目標無人機距離的數學關系如公式（14）～公式（16）所示。

發射信號的無人機i與主無人機發射信號的實際時間差如公式（17）所示。

將公式（14）、公式（15）代入公式（16），可以得到各坐標關系等式，如公式（18）所示。

公式（18）可以列出2個，將其寫成矩陣形式，如公式（19）所示。

式中：A、X和B為矩陣。

問題轉化為求關于X的非其次線性方程組的解，求接收信號無人機的位置可以轉化為求矩陣X的解，在二維平面中矩陣X包括xT和yT的解，要想獲得xT和yT的唯一解，就需要在矩陣A中A的秩為滿秩（rank（A）=2），而A的秩為滿秩的充要條件是A的行列式不為0，但是在圓形陣列中，i的任意性會導致（x0-xi）和（y0-yi）成比例，即A的行列式中某2行會成比例導致行列式的值為0，因此在已知以圓心的FY00無人機為主發射器、FY01的無人機為輔助發射信號之一的情況下，至少需要再添加1架輔助發射信號的無人機才可求解出xT、yT，又由公式（8）可知，當X1cosθ+Y1cosθ+ΔR1=0或=X2cosθ+Y2cosθ+ΔR2=0時，目標不可被觀測[4]。如圖 1所示，當θ=0的時候，如公式（20）所示。

因此，當θ角度滿足以上公式時，有X1cosθ+Y1cosθ+ΔR1=0，那么這時目標難以接收信號產生信號差。

在已知以圓心的FY00無人機為主發射器、FY01的無人機為輔助發射信號之一的情況下，至少需要再添加1架輔助發射信號的無人機，且任意2發射信號的無人機連線及其延長線不含有接收信號的目標無人機，這樣才可以對接收信號的目標無人機進行有效定位。

根據題目中無人機編隊要求，需要把初始位置略有偏差的9架無人機經過多次調整到以FY00為圓心半徑為100米的圓周上。對建立的單目標信號接收定位模型來說，通過2步加權最小二乘法求解被動接收信號的目標無人機位置的非線性方程組，即Chan算法，以此確定每一次調整時任意單目標的位置，對結果進行擬合就可以得出整體的調整方案。

首先，由題目附件所給的9架無人機的初始位置和坐標分別求出每架無人機與處于圓心無人機的距離差和角度差，將距離差和角度差放于直角二維坐標系中，得到點（xi，yi），如圖2所示。

圖2 無人機位置擬合直線圖

這些點大致分布在一條直線附近，如圖3所示。

圖3 無人機的初始位置圖

可用1個直線方程反應x與y之間的對應關系，現要確定該條直線方程，使這9個點的偏差平方和最?。ㄗ钚《朔剑?，假設所求直線如公式（21）所示。

所測得到的9架無人機的偏差點為（Δxi，Δyi）。現要確定直線中未知參數a、b，以滿足公式（22）。

使f（ab）為最小函數值，因此有公式（23）。

對這組關于a、b的線性方程進行整理，得到公式（24）。

求解公式（24），即得到f（a，b）的穩定點，如公式（25）、公式（26）所示。

為了進一步確定該點是極小值點，經過計算得公式（27）～公式（30）。

式中：faa為f對a的二階導；fbb為f對a再對b的導；fbb為f對b的二階導。

f（a，b）在取得最小值，那么就有公式（31）。

公式（31）為擬合后的圓周表達式。

調整初始位置有偏差的無人機，使其均勻分布在擬合圓周上，用（xj'，yj'）來表示需要移動到的均勻分布在圓周上的位置，同時考慮距離和角度偏移調整方案（如圖 4所示），文字說明如下。

圖4 調整方案

由單目標信號接收定位模型可知，在已知以圓心的FY00無人機為主發射器的情況下，至少需要再添加1架輔助發射信號的無人機，且任意2發射信號的無人機連線及其延長線不含有接收信號的目標無人機才可以對接收信號的目標無人機進行有效定位。在該結論的基礎上，對結算過程進行推導，選擇圓心無人機及任意3架圓周上的無人機為發射器，同時考慮目標在調整中的角度和距離，目標無人機沿著角度θ移動的距離如公式（32）所示。

根據上述單目標調整以及圓形陣的無人機定位模型的條件約束，每次取圓心無人機以及任意3架輔助發射信號無人機，對其余的無人機中任一目標進行調整，使其調整至圓周上，位置坐標位于擬合圓周表達式（公式（31）），再逐一對位置有偏差的無人機進行調整，在條件約束下的調整順序具有任意性。

4 結語

針對無人機集群在遂行編隊飛行時保持編隊隊形的問題，首先，該文采用TDOA定位法建立被動接收信號無人機的定位模型，對同一高度飛行的無人機進行有效定位。對同一高度飛行但初始位置略有偏差的無人機進行調整，使用MATLAB把初始位置存在偏差的無人機可視化，采用最小二乘法來擬合圓周，把位置偏差的無人機調整問題轉化為點集調整到擬合圓周直線上的問題，再從題目限制條件出發來選擇調整方案，根據定位模型來調整無人機的位置，使其均勻分布在圓周上。其次，給出錐形編隊隊形在題目限制條件下純方位無源定位情形的無人機位置調整方案。為無人機有效定位和跟蹤提供了一定的思路和方案，但是在實際飛行中仍然有很多影響因素，例如飛行速度、信號接收延遲、控制器的影響以及不同隊形的調整等，擬合和計算誤差也會影響定位的準確性，仍須進一步研究計算復雜度更小和模型更簡單的方法，并將思路和方案應用到無人機跟蹤領域。