柔性X－Y－Z－θz四自由度位移傳感器的靜態解耦方法研究*

祖洪飛潘 奔彭來湖

(浙江理工大學機械與自動控制學院，浙江 杭州 310018)

近年來，各國先進裝備制造、智能機器人和現代化工業生產等領域正蓬勃發展，這些領域對多自由度高精度位移傳感器的需求也在逐步攀升。同時，為了滿足不同應用場景以及各種復雜工況下的測量要求，研究者們也在不停地對位移傳感技術進行革新，不斷有新材料以及新方案的應用[1－2]。多自由度位移傳感器是一種可檢測到多個自由度位移信息的位移傳感器，在現代工業測量領域以及實際科研應用中起著至關重要的作用[3]。理想情況下，多自由度位移傳感器每一通道上的輸出都只由該方向的位移決定，各通道的輸出互不干擾，也沒有耦合。但實際上，由于結構設計、機械制造、材料加工及實驗測試等過程中存在或多或少的誤差使各個通道之間存在不可避免的耦合[4－6]。要提高多自由度位移傳感器的測量精度，需最大限度地降低各個參數之間的耦合，并對存在的耦合進行有效解耦[7]。

常用的解耦方法有硬件解耦和軟件解耦兩種。硬件解耦是從測量原理出發，通過對傳感器結構進行優化設計，或通過工藝改良、提高加工精度等手段來減小耦合誤差。但是，在實際應用中，硬件解耦往往受到很多因素的制約，如依賴高精密加工裝備、工藝流程復雜、成本較高等，因此其應用很受限。不同的是，軟件解耦是通過采用一定的解耦算法對測量信號進行數據處理來降低耦合誤差的。相較于硬件解耦，軟件解耦既不要求精密裝備，又不涉及傳感器結構及工藝等方面的優化，具有更高的可操作性，從而被廣泛采用[8－10]。

本文將從軟件解耦的思路出發，對實驗室所研究的的柔性X－Y－Z－θz四自由度位移傳感器進行靜態解耦方法研究及實驗測試。由于該傳感器所采用的材料為彈性很大的聚氨酯材料，且在測試過程中其各自由度均有較大行程，因此各方向耦合較嚴重，且存在較大的遲滯以及非線性。本文擬采用對傳感器正反行程分別進行靜態解耦的方式解決遲滯問題。另外，通過對比分析基于克拉默法則、基于求解廣義逆矩陣等常用的靜態線性解耦算法，并在基于耦合誤差建模的靜態線性解耦模型的基礎上提出靜態非線性解耦模型，從而得到三者之中更適用于四自由度位移傳感器的解耦算法，提高傳感器的測量精度。

1 傳感器測量原理及耦合誤差分析

本文所研究的柔性X－Y－Z－θz四自由度位移傳感器的測量原理如圖1所示。傳感器核心部分為具有多自由度和連續大變形能力的圓柱狀聚氨酯彈性體，其一端固定，另一端自由，近固定端按一定的規律排布應變片。當移動端產生X、Y、Z、θz方向的位移時，其固定端會產生相應的應變，進而可以通過固定端應變的測量來實現對移動端位移的監測[11]。

圖1 柔性四自由度位移傳感器測量原理簡圖

理想情況下，該柔性X－Y－Z－θz四自由度位移傳感器每個通道的應變只由對應方向的位移決定。但由于其各自由度位移間存在無法避免的耦合，致使傳感器最終輸出的對應各自由度的位移是多維耦合的結果，而非與各自由度一一對應。即每個自由度的位移都或多或少會對其他維度位移的輸出信號產生影響，這嚴重影響了傳感器的測量精度[12－13]。

該傳感器的多維耦合誤差主要源自以下三個方面。①材料及結構方面:為增大位移測量范圍，傳感器采用了高彈性、非線性的聚氨酯材料，且為了滿足扭轉維度的測量需求，傳感器采用了簡單的圓柱體，結構上并未進行解耦設計；②各軸運動方面:實際上，傳感器移動端由法蘭盤與機械手連接，產生位移后始終與固定端平行，這與圖1所示的彈性體純彎曲變形情況存在一定的差異。產生位移X、位移Y時，機械手會給彈性體一個軸向附加力，這將對位移Z的輸出產生影響。另外彈性體在產生位移Z時，會附加彎曲變形，又會對位移X、位移Y的輸出產生影響；③應變片布片方面:近固定端會排布12個應變片，其粘貼位置及角度的偏差也會帶來耦合誤差。

圖2為X、Y、Z、θz四個位移參數單獨作用時四個通道的應變輸出情況，(a)、(b)、(c)、(d)分別代表僅有位移X、位移Y、位移Z以及位移θz單獨作用時，由應變測量得到的各位移輸出結果。在無耦合情況下，當僅一個位移單獨作用時，其他維度位移的應變輸出應為0，即其曲線應平行于x軸且對應應變均為0。但由于多維耦合誤差的存在，使其他維度位移的應變輸出不為0，甚至有的偏差較大。例如，圖2(a)代表僅位移X單獨作用，可以看到，位移Z的輸出也會隨著X方向位移的增大而變大，X位移為30 mm時，Z通道的耦合輸出高達577με，這給傳感器帶來極大的測量誤差，故需使用合適的解耦算法對傳感器進行解耦。

圖2 位移X、Y、Z、θz單獨作用時各方向的輸出情況

2 傳感器的靜態解耦方法

傳感器常用的靜態線性解耦方法主要有三種，分別基于克拉默法則、求解矩陣廣義逆及耦合誤差建模[14－15]。這三種方法主要用于靜態線性解耦，可以解決一部分線性耦合問題，但本文所研究的傳感器有存在一定的非線性但不是很嚴重。由于在耦合建模的線性基礎上更易于推導出相應的非線性模型，因此，本文在基于耦合誤差建模的靜態線性解耦模型的基礎上提出了靜態非線性解耦模型，通過理論分析以及與其余兩種靜態線性解耦算法的結果進行對比看是否適用于傳感器。另外，傳感器正反行程存在一定的滯回，故需對其正反行程分別進行解耦。

2.1 基于克拉默法則的靜態線性解耦算法

設四自由度位移傳感器位移輸入量與應變輸出量有良好的線性關系，用位移向量S＝(S XS YS Z

SθZ)T表示任意位移，ε＝(εXεYεZεθZ)T表示任意位移作用下四個位移通道輸出的應變值，則輸入位移S與輸出應變ε滿足以下關系:

式中:S為廣義位移向量，C為4×4的解耦矩陣，ε為應變輸出向量。

選取四個線性無關的位移向量組成標定位移矩陣B；把多次標定實驗的位移數據以及對應位移通道的正反行程應變輸出數據取平均值，相應位移向量構成的正反行程應變輸出為矩陣A；則可通過求解線性方程組的方式求出解耦矩陣C正、C反。以正行程為例:

式中:i、j＝1、2、3、4；S i表示在第n次加載實驗中第i號廣義位移值的大小，εi j表示第i號廣義位移在第n次加載過程中第j號電橋的應變輸出量，將標定實驗數據分別通過式(2)、式(3)求出矩陣B、矩陣A。則矩陣C正可由下式求得:

針對本傳感器的測試及結算結果如下:

同理可求得C反:

2.2 基于求矩陣廣義逆的靜態線性解耦算法

同樣，設四自由度位移傳感器位移輸入量與應變輸出量呈線性關系，且X、Y、Z、θz四個位移產生的變形可疊加。向量S與向量ε與上文意義相同。以傳感器正行程為例，當S X單獨工作時，傳感器四個通道對應的應變輸出分別用εX X、εYX、εZX、εθzX，其中εYX、εZX、εθzX分別代表在僅有位移X作用時位移Y、位移Z以及角位移θz的耦合輸出，其他εi j的意義可依次類推。那么，根據傳感器位移輸入與應變輸出呈線性的假設可知:

則當S X單獨作用n次時可表示為:

當S Y單獨作用n次時可表示為:

當S Z單獨作用n次時可表示為:

當Sθz單獨作用n次時可表示為:

將S X、S Y、S Z、Sθz共計實驗n次的結果按式(8)至式(11)整合成如下矩陣表達式:

簡記為:

式中:S為4×n的位移矩陣，ε為4×n的應變輸出矩陣，K為常數矩陣，則常數矩陣K可由下式表示:

因此，由標定實驗中正行程的30組數據(每組數據都為實驗3次的平均值)以及相應四個通道的應變輸出可構成矩陣S和矩陣ε，其中，S為4×30的位移矩陣，ε為4×30的正行程應變輸出矩陣。進而將矩陣S、矩陣ε代入式(14)中求出正行程的解耦矩陣K正:

同理可得到反行程的解耦矩陣K反:

2.3 基于耦合誤差建模的靜態非線性解耦算法

如前文所述，在四自由度位移不存在耦合的情況下，某一通道的應變輸出只由該維作用位移確定，并不受其他位移的影響。如圖3所示，ε1、ε2、ε3、ε4表示位移X、Y、Z、θz的輸出應變。

圖3 無耦合時四自由度位移傳感器輸入輸出系統

圖3所示關系可用下式表達:

在存在耦合的情況下，為了描述方便，這里我們先假設各位移之間的耦合為線性關系，如圖4所示，四個通道的應變輸出ε1、ε2、ε3、ε4由四自由度作用位移S X、S Y、S Z、Sθz疊加而成，可用如下表達式表示:

圖4 存在耦合時四自由度位移傳感器輸入輸出系統

式中:εii代表主方向作用位移對該方向應變輸出的影響，εij(i≠j)代表其他位移對該方向應變輸的影響。

以S X為例，該方向位移的耦合誤差為ε′X＝ε12＋ε13＋ε14，由式(17)、式(18)可知，四自由度位移輸入與相應的應變輸出滿足下式:

令k i jk′jj＝k′i j，可得四自由度的解耦公式為:

式(21)為基于耦合誤差建模的靜態解耦算法的基本模型，但該模型是在位移輸入與應變輸出呈線性這個假設下得到的。然而實際情況是它們之間的耦合并不是完全的線性關系，有的甚至非線性較強，如圖5所示。

同樣以正行程為例，圖5中(a)、(b)、(c)、(d)為四個位移單獨作用時，其他三個通道應變的耦合輸出與主通道應變輸出的關系?？梢钥闯觯潢P系并非線性。因此，為進一步提高傳感器的測量精度，需要一種非線性解耦算法。基于耦合誤差建模的靜態解耦方法，本文提出了改進的非線性解耦方法，并進行了實驗驗證，具體如下:實驗測試時，分別對傳感器施加位移S X、S Y、S Z、Sθz，并記錄其余通道的應變輸出值，多次試驗取平均值，并將四個主通道的位移－應變輸出擬合曲線關系用二次多項式表示:

圖5 某位移單獨作用時其他位移耦合輸出與主位移應變關系

則可得到基于耦合誤差建模的非線性解耦模型表達式:

然后，根據此基于耦合誤差建模的靜態非線性解耦算法，將正反行程實驗數據代入式(23)、式(24)可求得解耦模型中正反行程各參數方程，見表1、表2。

表1 正行程各參數方程

表2 反行程各參數方程

3 誤差對比及解耦結果

為了更加直觀地看出三種解耦算法的解耦結果，本文根據三種解耦算法對所測得數據進行解耦，然后由作出相應的絕對誤差對比圖，如圖6至圖9所示。

圖6 位移X正反行程三種解耦算法誤差對比

圖7 位移Y正反行程三種解耦算法誤差對比

圖6至圖9分別代表位移X、位移Y、位移Z、角位移θz正反行程采用三種靜態解耦算法后的絕對誤差對比圖，其橫坐標為相應位移值，縱坐標為解耦后的絕對誤差。由圖6至圖9可知，在采用基于耦合誤

圖8 位移Z正反行程三種解耦算法誤差對比

圖9 角位移θz正反行程三種解耦算法誤差對比

差建模的靜態非線性解耦算法后，位移X、Y、Z、θz的誤差值均明顯低于其余兩種解耦算法。X、Y、Z、θz四個位移采用基于耦合誤差建模的靜態非線性解耦算法后的誤差均值分別為0.322 mm、0.330 mm、0.025 mm、0.18°。其余兩種靜態解耦算法的絕對誤差值都大于基于耦合誤差建模的靜態非線性解耦算法的絕對誤差均值，這說明基于耦合誤差建模的靜態非線性解耦算法更適用于本文所提到的四自由度位移傳感器。

為了評價四自由度位移傳感器的精度，我們用Ⅰ類誤差和Ⅱ類誤差來表示。

式中:Y i(FS)表示i方向可施加位移的滿量程值；e i(max)表示i方向施加的位移值與實際測得位移值之間的最大差值；Y ij(max)表示當j方向施加位移時且其余3個方向無位移時，i方向測得的最大位移。

根據式(25)、式(26)求得四個位移參數未采用耦合誤差建模解耦前的Ⅰ類誤差分別為1.79%、1.98%、1.37%、1.08%，解耦后分別為1.41%、1.85%、1.25%、1.03；Ⅱ類誤差未解耦前分別為6.78%、4.01%、21.42%、3.61%，解 耦 后 分 別 為1.73%、2.05%、1.33%、1.19%。從以上數據可以看出Ⅰ類誤差解耦前后變化不大，但Ⅱ類誤差降了大約2～16倍。因此，基于耦合誤差建模的靜態非線性解耦算法顯著提高了四自由度位移傳感器的精度。

4 結論

本文針對柔性X－Y－Z－θz四自由度位移傳感器各維位移因耦合較大而影響測量精度的問題，通過對三種常用解耦算法的分析比較，得到了適用于四自由度位移傳感器的解耦算法為基于耦合誤差建模的靜態解耦算法，并在其線性的理論基礎上推導了適合四自由度位移傳感器的非線性模型。

另外，針對傳感器遲滯較大的問題，本文采用了正反行程分別解耦的方式。

結果表明，在使用基于耦合誤差建模的靜態非線性解耦算法后Ⅰ類誤差雖前后變化不大但Ⅱ類誤差降低了大約2～16倍，提高了四自由度位移傳感器的精度。

另外，還可通過提高耦合誤差建模解耦算法中的函數階次來進一步提高測量精度，但這是比較有限的。改進解耦算法以及數據修正等方法是今后可考慮的提高測量精度的途徑。