中低速磁浮列車系統振動響應的非線性度分析

陳雙喜

（成都大學 機械工程學院， 成都610106）

和輪軌列車不同，磁懸浮列車的推進、懸浮和導向功能均由電磁力來完成。當電磁鐵提供最大懸浮時，磁鐵處在力與距離特性曲線的非線性部分［1］。由于工作環境復雜，負載變化大，磁浮列車需要控制能力強的非線性控制系統。因此，磁懸浮列車動力學系統與控制系統具有顯著的非線性特征。磁浮車在運行過程中，懸浮間隙會出現極限環運動、多頻率耦合、懸浮失穩振動等動力學行為，如果進行線性化處理，這些復雜的現象就會被忽略。國防科大的CMS 試驗車在試驗中曾被觀察到因為控制環節非線性時滯導致的車軌共振現象。武建軍等在研究磁浮車動力學特性時發現了非線性混沌現象［2］?？梢?，如果忽略系統中的非線性環節可能導致完全不同的動力學行為［3-5］。因此，研究磁浮列車系統振動的非線性問題具有重要的理論和實際意義。

西南交通大學趙春發建立了常溫超導磁浮列車動力學模型，并提出了性能評價方法［6］。國防科技大學施曉紅建立了基于剛性軌道的懸浮控制器模型和電磁鐵模塊的懸浮車軌耦合系統模型［7］。王洪坡從非線性動力學和結構動力學2 方面著手，揭示了車軌耦合系統的動態本質［8］。國防科大趙春霞通過數學建模與仿真的方法建立了列車沿軌道勻速運行時車輛系統的導向動力學模型［9］，對車輛系統和線路系統的結構進行了參數化。陳強將系統誤差變量引入PID 控制系統，生成非線性PID控制算法，改善了跟蹤設定值與控制撓動之間的矛盾［10］。國防科大劉耀宗建立了包含閉環控制在內的懸浮架動力學方程，仿真分析單點擾動時各個閉環懸浮系統的穩態響應［11］。國防科大賀光建立了中速磁浮列車整車動力學模型，研究了200 km/h中速磁浮列車的導向能力［12］。同濟大學孫友剛針對單點懸浮系統的非線性、時變性，提出了一種滑模控制方法［13］。王連春提出了基于磁通導數反饋的磁浮列車—鋼梁耦合共振抑制算法［14］。

目前磁浮車耦合動力學特性研究一個重要方向是研究耦合系統的非線性振動特性。由于非線性振動學理論發展還不完善，許多問題還無法進行理論計算分析，而數值計算方法的發展和計算機性能的提高使數值仿真分析成為可能。非線性振動信號通常包含頻率調制或幅值調制成分，美籍華人Huang 提出了基于信號的調制現象定義振動非線性度［15］。文中根據磁浮列車—軌道—橋梁耦合動力學理論建立典型的中低速磁浮列車動力學模型，計算不同控制參數下車輛系統的振動響應，并將非線性度指標計算方法引入仿真數據的分析中，研究控制參數對車輛振動信號非線性程度的影響規律。

1 中低速磁懸浮列車模型

1.1 磁浮列車動力學模型

文中建立典型的中低速磁浮車輛—軌道—橋梁耦合動力學模型，如圖1 所示。單節磁浮車有3個磁浮轉向架，轉向架左右2 個懸浮導向模塊通過防側滾梁連接，相同懸浮模塊的懸浮電磁力共用1個控制器。轉向架與車體之間通過空氣彈簧連接，而導向結構采用類似日本HSST-100 磁浮車的裝置。建立的磁浮車模型包括1 個車體、3 個轉向架（6 個懸浮模塊），每個部件具有5 個方向的運動自由度（沉浮、橫移、點頭、搖頭、側滾），整車一共35 個自由度。

圖1 中低速磁浮車—軌道—橋梁耦合動力學模型

車體垂向運動zc、橫向運動yc、點頭運動φc、搖頭 運 動ψc、側 滾 運 動θc微 分 方 程 分 別 為 式（1）～式（5）：

第i個轉向架單側懸浮塊的垂向運動zb、橫向運 動yb、點 頭 運 動φb、搖 頭 運 動ψb、側 滾 運 動θb運動微分方程分別為式（6）～式（10）：

式 中：mc為 車 體 質 量；Icx、Icy、Icz分 別 為 車 體 側 滾、點頭、搖頭轉動慣量；mb為轉向架懸浮模塊質量；Ibx、Iby、Ibz分別為轉向架懸浮模塊側滾、點頭、搖頭轉動慣量；Fszl(r)ij、Fsyl(r)ij分別為二系懸掛垂向力、橫向 力；Fpzl(r)ij、Fpyl(r)ij分 別 電 磁 垂 向 力、橫 向 力；Frzij、Fryij分別為單個轉向架防側滾梁鉸點垂向力、橫向力；Kθ是電磁鐵側滾剛度。其他參數為車輛的幾何結構參數。

1.2 高架橋梁模型

磁懸浮軌道高架橋梁通常采用混凝土簡支梁結構，先在工廠制造出單跨梁，然后現場組裝或者焊接成連續梁。高架橋梁高跨比和寬跨比通常都很小，從材料力學角度考慮都歸結為細長梁，在低頻振動時候完全可忽略其剪切變形和截面繞中性軸轉動慣量。因此，高架橋梁完全可采用Bernoulli-Euler 簡支梁模型來描述。磁浮高架橋梁的微分方程為式（11）、式（12）：

式中：EI為梁的垂向抗彎剛度；c為梁的阻尼；ms為梁的線密度；fi(t)為外力；ym、ygi分別為梁上作用點位移及其轉向架上對應點的位移；φn(x)為梁的n階 模 態 函 數；qn(t)為n階 模 態 廣 義 幅 值；kb、cb分別為磁隙剛度、阻尼。

1.3 磁浮系統懸浮控制模型

根據電磁學理論，在不考慮磁阻和漏磁情況下，單個模塊懸浮電磁鐵系統的耦合方程組為式（13）～式（15），式（13）～式（15）分別是力學、電學和關聯方程。

式中：mb為電磁鐵懸浮質量；Fmb為電磁力；Fp為外部干擾力；u、i為電磁鐵電壓、電流；N為線圈匝數；R0為線圈電阻；A為磁鐵有效磁極面積；δ為懸浮間隙；μ0為真空磁導率；zb為電磁鐵垂向位移。

中低速磁浮列車一般兩級串聯懸浮控制系統，其控制電壓來自懸浮塊兩端的傳感器。假定電磁與控制電路處于理想狀態，則懸浮電磁鐵PID控制的數學模型為式（16）：

式中：kp、kd、ki分別為懸浮間隙比例、微分和積分反饋控制系數；Δδczij、δ˙czij分別為懸浮間隙和間隙導數控制信號。

2 振動信號非線性度計算方法

根據線性代數理論，線性系統是一個狀態量和輸出量對所有輸入量、初始狀態都能滿足疊加、放大原理的系統。該準則依賴系統的初始條件和載荷情況，這種系統現實中很少存在，這是因為現實中的系統比理想要復雜得多，輸入輸出量很難量化。Huang［15］提出了基于振動信號的波內調制現象來量化信號的非線性程度，即式（17）：

式中：std 表示求標準差；IF(t)為瞬時頻率；IFzc(t)為過零點頻率；Azc(t)為零點頻率對應的幅值。瞬時頻率的計算通常采用正交化Hilbert 變換或者DQ 變換［16］。文中采用DQ 變換方法。

3 磁浮車振動響應非線性度分析

假定磁浮列車運行在直線高架橋梁軌道上，列車運行速度v為100 km/h；車體質量12 000 kg；車體側滾、點頭、搖頭轉動慣量Icx=2 500 kg·m2、Icy=150 000 kg·m2、Icz=150 000 kg·m2；模 塊 質 量1 000 kg；模塊側滾、點頭、搖頭轉動慣量分別為Ibx=100 kg·m2、Iby=1 200 kg·m2、Ibz=1 200 kg·m2；二系懸掛垂向、橫向剛度分別為120 000 N·m、25 000 N·m；二系阻尼分別為60 000 N·s/m、40 000 N·s/m；抗側滾梁垂向、橫向剛度分別為10 000 N·m、1 000 N·m；橋梁設定為12 跨，總長288 m。橋梁單跨24 m；抗彎剛度EI=2.456×1010N·m2；線密度m=3 755 kg/m。

磁浮線路的周期性不平順表示為式（18）：

式中：z0=Az為不平順幅值；λz為波長。仿真分析中，設定軌道不平順波長為24 m，幅值為2 mm。

懸浮電磁鐵長度840 mm，磁極寬度28 mm，線圈匝數為320，磁導率μ0=4π×10-7，名義懸浮間隙10 mm，等效輸出電阻1 Ω。電磁鐵側滾剛度Kθ= 4×105N·m/rad。每個電磁鐵上集中力數量為4。懸浮系統采用PID 控制方式，反饋控制系數kp、kd、ki取 值 范 圍 分 別 為3 000～50 000、200～1 000、0.1～20。磁浮車輛—高架橋耦合系統動力學問題可采用中心差分法和龍格庫塔法求解，但求解速度較慢，文中采用翟婉明院士提出的一種快速顯式積分法［17］。

在設定參數下，磁浮車典型的動力學響應計算結果如圖2 所示。圖中實線是懸浮模塊的振動加速度，虛線是車體的振動加速度?？梢钥闯?，懸浮模塊振動加速度大于車體，兩者均為1 個低頻振蕩承載著在載波上下波動的高頻振蕩，振動信號具有顯著的非線性特征。

對圖2 的振動加速度進行經驗模態分解得到本征模態函數，然后求瞬時頻率IF(t)和過零點頻率IFzc(t)（幅值Azc(t)），運用式（17）計算振動信號的非線性度DN。磁浮列車在典型PID 控制方式下，控制參數對車輛振動非線性度的影響如下。

圖2 車體與懸浮模塊垂向振動加速度

3.1 控制參數kp 對振動非線性度的影響

懸浮控制參數kp是比例反饋系數，成比例地反映控制系統懸浮間隙的偏差信號Δδczij，偏差一旦產生，立即產生控制作用以減小偏差。由偏差理論知，增大kp雖然可以減小偏差，但不能徹底消除偏差。比例控制系數kp作用的大小除與偏差Δδczij有關之外，還取決于比例系數kp的大小。比例系數kp越小，控制作用越小，系統響應越慢；反之，比例系數kp越大，控制作用也越強，則系統響應越快。當kp在3 000～50 000 范圍內，磁浮車車體、懸浮模塊的垂向振動響應的非線性度隨參數變化情況如圖3、圖4 所示。當kp=3 000 時，車體振動DN最大值0.32，非線性程度很大；當kp＞30 000 時，DN減 小 到0.1 以 下，非 線 性 程 度 大幅度減小?？傮w上，車體、懸浮塊垂向振動非線性度DN隨kp增 大 而 減 小，且 當3 000＜kp＜10 000，DN下降幅度比kp＞10 000 時大。因此，合理范圍內增大比例系數kp，不僅可以增強控制作用，加快系統響應，而且可以降低振動響應的非線性程度。

圖3 kp 對車體垂向振動非線性度DN 影響

圖4 kp 對模塊垂向振動非線性度DN 影響

3.2 控制系數kd 對振動非線性度的影響

磁浮PID 控制系統微分環節的作用是反映磁浮間隙偏差信號的變化速率δ˙czij，并在間隙偏差信號Δδczij變得太大之前引入1 個有效的修正信號，從而加快系統的動作速度。微分輸出只與偏差的變化速度δ˙czij有關，而與磁浮間隙偏差Δδczij的大小以及偏差是否存在無關。如果磁浮間隙偏差Δδczij為固定值，不管多大，只要不變化，則輸出的變化一定為0，磁浮控制器沒有任何控制作用。合理的微分控制系數kd有助于克服振蕩，改善系統的動態性能。設定kp和ki為固定值（設定kp=7 000，ki=10），分析kd對振動非線性度的影響。當kd在200～1 000 范圍內，磁浮車車體、懸浮模塊的垂向振動響應的非線性度隨參數變化情況如圖5 所示。當kd=200，模塊、車體振動DN最大值分別為0.26、0.20，具 有 較 大 非 線 性 度；當kd=1 000，模塊、車體振動DN分別減小到0.08、0.07，非線性程度大幅度減小?？傮w上，車體、懸浮塊垂向振動非線性度DN隨kd增大而迅速減小。

圖5 kd 對車體與模塊垂向振動非線性度DN 影響

3.3 控制系數ki 對振動非線性度的影響

磁浮PID 控制系統積分環節中，控制器的輸出與輸入誤差信號Δδczij的積分成正比關系。積分控制作用的存在與偏差Δδczij的存在時間有關，只要磁浮間隙存在著偏差，積分環節就會不斷起作用，對輸入偏差Δδczij進行積分，使控制器的輸出和執行器的開度不斷變化，產生控制作用以減小懸浮間隙偏差。當積分控制系數ki在0.1～20 范圍內，磁懸浮模塊的垂向振動響應的非線性度隨參數變化情況如圖6 所示。當ki=0.1，模塊振動DN最大值為0.309，具有較大非線性度；當ki=20，模塊振動DN最小為0.302，非線性程度幾乎沒有變化。計算結果表明：積分控制系數ki對車體、懸浮塊垂向振動非線性度DN幾乎沒有影響，系統振動響應的非線性程度并不會隨著ki增加而明顯減小。

圖6 ki 對車體與模塊垂向振動響應非線性度DN 影響

4 結 論

根據磁浮列車車輛—軌道—橋梁耦合動力學理論建立典型的中低速磁浮列車模型，計算不同控制參數下車輛系統的振動響應，并將非線性度指標計算方法引入仿真數據的分析中，研究磁浮控制系統參數對車輛振動信號非線性度的影響規律。通過仿真分析得到如下結論：

磁浮列車PID 控制系統的比例反饋系數kp和微分反饋系數kd對車輛系統振動響應非線性度DN有很大影響。kp、kd較小時，車體、懸浮塊振動信號具有很強的非線性特征，但非線性度隨kp、kd增大而迅速減小。積分反饋系數ki對車體、懸浮塊振動非線性度影響很小，幾乎不會改變磁浮車輛動力學系統的強非線性特征。從降低振動非線性度方面考慮，可給出一組優化的控制參數：kp=10 000，kd=1 000，ki=10。