基于快速字典學習的壓縮感知地震數據重建

李婷婷, 段中鈺

(北京信息科技大學 信息與通信工程學院，北京 100101)

0 引言

地震數據重建是地震數據處理中的基礎步驟，通過重建可以增強地震數據中的有效信號，抑制不利于后續數據處理和解釋的成分，從而提高地震勘探的準確性，降低油氣開發的成本。

近幾年來發展起來的壓縮感知理論[1-3]為(Compressed Sensing，CS)為地震數據重建提供了新的思路，稀疏信號可以在低于奈奎斯特采樣頻率的條件下恢復出原始數據，數據的稀疏表示是壓縮感知地震數據重建的前提和基礎。地震數據的稀疏表示主要有單一變換域的稀疏表示和字典學習的稀疏表示。單一變換域的稀疏表示主要是數據通過固定正交基進行變換(Curvelet變換[4]、Seislet變換[5]、Shearlet變換[6]、小波變換[7]等)，這種方法雖然構造簡單, 計算復雜度低, 但是變換基是固定的, 不能根據地震數據復雜的細節結構自適應的調整。字典學習解決了單一變換無法對復雜地震數據進行理想稀疏表達的問題。字典學習即用字典中若干個原子來表示信號，每組原子可以獨立的張成完備的空間，在超完備空間里，信號不是唯一的，這樣的優點在于可以通過學習訓練的方式自適應地尋找最佳的基底原子組合，實現信號的最稀疏表示。學習型字典能夠通過樣本地震數據不斷地學習訓練得到含有地震數據信息的自適應字典，從而刻畫地震數據的本質特征，得到地震數據的最稀疏表示。常用于壓縮感知地震數據重建的超完備字典學習算法是K-SVD(K-singular value decomposition)[8-9]。周亞同等[10]提出壓縮感知框架下K-SVD字典學習對地震數據進行稀疏表示，再結合正則化正交匹配追蹤算法有效地實現了缺失地震數據的重建。但是K-SVD字典學習算法存在無法得到全局最優解并且不能保證收斂的問題，會影響地震數據重建精度，且在數據量較大的重建任務下字典訓練時間長、迭代較慢。筆者針對以上問題，提出快速字典學習算法(Fast Dictionary Learning，FDL),①將稀疏表示目標函數優化求解分為兩個子優化問題進行循環求解；②在稀疏編碼階段將稀疏約束上限與字典相干性結合，自適應獲取稀疏上限。在此基礎上提出基于壓縮感知理論的FDL重建地震數據的模型,使用模擬和大慶油田實際地震數據對本方法進行了驗證。

1 方法原理

1.1 壓縮感知理論

壓縮感知理論指出對于稀疏信號xi∈Rn(i=1,2,…，N)，可以利用一個與變換基Ψ不相關的觀測矩陣Φ∈Rm×n(m<

已知原始信號在觀測矩陣的觀測值為：

y=Φx

(1)

用觀測矩陣不相關的變換基Ψ對原始信號進行稀疏表示，得到稀疏矩陣Θ：

x=ΨΘ

(2)

y=ΦΨΘ

(3)

(4)

(5)

1.2 快速字典學習算法

字典學習稀疏表示的主要思想是利用字典矩陣D稀疏線性表示原始樣本X。用字典學習對地震數據進行稀疏表示可以描述為：

X=DΘ

(6)

其中：X={x1,x2, …,xN}∈Rn×N表示包含N個子地震數據塊的輸入矩陣；D∈Rk×K表示含有K個原子dk的字典矩陣；Θ∈RK×N表示與字典D對應的稀疏系數矩陣。

稀疏矩陣和字典矩陣通過求解優化問題得到：

(7)

其中，T0為稀疏表示系數中非零分量數目的上限。

快速字典學習算法稀疏表示目標函數定義如下：

(8)

其中：Θi為矩陣Θ第i列;Dj為矩陣D的第j列。字典矩陣D和稀疏矩陣Θ是非凸的，但在稀疏編碼階段，固定字典D，則對于Θ為凸的；在字典更新階段，固定稀疏矩陣Θ，則對于D為凸的。K-SVD算法稀疏編碼階段通常使用正交匹配追蹤算法，字典更新階段使用奇異值分解，但正交匹配追蹤算法收斂速度較慢，且無法得到全局最優解。與K-SVD不同的是，FDL將目標函數分解為兩個子優化問題，對于每個子優化問題，用塊坐標下降法直接求出目標函數的全局最優解。因此，FDL算法的稀疏編碼階段優化問題為：

(9)

字典更新階段優化問題為：

(10)

每次更新Θ的一行或是D的一列，更新速度與字典大小相關聯。

為了使字典能夠對地震數據表示更稀疏，將稀疏約束上限與字典的相干性關聯，從而獲得自適應稀疏約束上限。

引入定理1：

給定字典D∈Rk×K(K>n)，其相干性為μ(D)，假設x=Dα有稀疏解α，其稀疏度S若滿足:

(11)

則能從字典D中找出最佳的S項原子的線性組合。其中字典的相干性μ(D)∈[0,1]，μ(D)=max|[di,dj]|,i≠j其描述了字典中原子間的最大相似程度，當μ(D)值很大時，字典原子間相似程度很強，反之很弱。

定義Lp為每次迭代過程中的稀疏約束上界:

(12)

由定理1可知稀疏約束上限Lp能夠保證稀疏信號被精確重建。使用Lp代替式(9)中的T0，則稀疏編碼階段即為求解如下的優化問題:

(13)

2 技術流程

2.1 基于K-SVD的壓縮感知地震數據重建

K-SVD算法地震數據重建流程圖如圖1所示。

圖1 K-SVD地震數據重建流程圖

K-SVD算法地震數據重建：

1)隨機挑選個K原子形成初始字典，初始化稀疏矩陣為零。

2)稀疏編碼階段。固定字典D，使用正交匹配追蹤算法更新稀疏矩陣Θ。

3)字典更新階段。固定稀疏矩陣Θ，奇異值分解逐列更新字典D。

2.2 基于FDL的壓縮感知地震數據重建

FDL算法地震數據重建流程圖如圖2所示。

圖2 FDL地震數據重建流程圖

FDL算法地震數據重建：

1)根據缺失地震數據隨機挑選K個原子形成初始字典D0，設置迭代次數i=0。

2)根據初始字典D0計算式(12)得到初始化稀疏約束上限L0。

3)稀疏編碼階段。固定字典Di和稀疏約束上限Li，使用塊坐標下降法計算式(9)逐行更新得到最優的稀疏矩陣Θi+1。

4)字典更新階段。固定稀疏矩陣Θi+1，使用塊坐標下降法計算式(10)逐列更新得到本次迭代的最優字典矩陣Di+1。

5)用步驟2)、步驟3)、步驟4)得到稀疏約束上限、稀疏矩陣和字典矩陣更新目標函數即式(8)。

6)判斷是否達到收斂條件，通過計算(f(i)-f(i+1))/f(i)>1×10-5進行判斷，若是則返回步驟2)，若否則停止迭代，輸出字典矩陣D和稀疏矩陣Θ。

字典大小對重建精度有影響，但是只能根據經驗選取，首先根據地震數據隨機選擇K個原子，隨后在將字典大小改為K±j,j=1、2…，最終選擇重建信噪比最高，重建性能最好的字典。

3 仿真驗證

采用信噪比作為地震數據重建性能的評判標準為式(14)。

(14)

3.1 模擬地震數據仿真驗證

模擬地震數據共38道，時間采樣率為0.004 s，如圖3所示，其進行隨機采樣，采樣率為0.3，采樣后數據如圖4所示。分別用傳統稀疏表示方法Curvelet、經典K-SVD字典學習算法以及FDL算法,對缺失地震數據稀疏表示然后進行重建，重建結果如圖5～圖7所示。由圖5～圖7可知，Curvelet、K-SVD字典學習和FDL算法在壓縮感知的框架下都實現了缺失地震數據的重建，但是從圖5可以看出，部分地震數據沒有被完全恢復，地震波附近出現抖動，且原來未缺失數據受到影響(圖中箭頭所示)；從圖6可以看出,K-SVD字典學習重建地震數據結果較Curvelet更好，基本實現了缺失數據的重建，但是存在重建振幅與原始數據振幅不一致的問題(圖中箭頭所示)；而從圖7可以看出,FDL算法重建后數據振幅連續性良好，重建精度較高，很好地實現了缺失數據的重建。

圖3 原始地震數據

圖4 缺失地震數據

圖5 Curvelet地震數據重建結果

圖6 K-SVD地震數據重建結果

為了更清楚地對比三種算法，將三種算法的重建結果與原始地震數據進行對比，選取缺失較多的25至38道數據，對比結果如圖8所示。對比圖8(a)、圖8(b)、圖8(c)可以看出，Curvelet算法重建振幅與原始數據振幅差異較大，K-SVD算法重建振幅差異較小，而FDL算法重建振幅與原始數據振幅一致。

圖8 三種算法重建結果與原始地震數據對比

三種算法的重建信噪比與重建時間見表1。結合表1和圖5～圖7 可以看出，在相同采樣率且K-SVD字典學習和FDL字典大小相同的情況下，傳統Curvelet變換的方法重建信噪比最小，部分缺失數據未得到恢復，對缺失地震數據的重建效果最差，且重建耗時最長；K-SVD字典學習重建信噪比較Curvelet高，重建耗時也相對增加；而FDL地震數據重建信噪比最高，對缺失的地震數據實現了恢復，重建效果最好，且重建耗時最短。

表1 重建方法信噪比及重建時間

三種算法的重建殘差圖對比如圖9所示。三種算法重建模型大部分都能較好的符合原始數據，但是相比來說Curvelet和K-SVD算法存在較多異常點，而FDL異常點較少，FDL算法重建性能相比較好。

圖9 三種重建方法殘差圖

表2為字典數量差異及其重建性能。由表2可知，字典大小的選擇對重建性能有一定的影響，字典越小，字典構造時間越短，重建信噪比越小；字典越大，字典構造耗時變長，信噪比越大。對于K-SVD字典學習和FDL算法，在構造相同大小的字典的情況下，FDL算法的重建信噪比更大，字典構造時間更短，性能更好。若要得到相同的重建信噪比，K-SVD字典學習相較FDL需更長的時間構造字典，從而重建所需時間更長。

表2 K-SVD與FDL性能對比

3.2 實際地震數據仿真驗證

模擬地震數據驗證了本文方法的有效性，因此將本文方法應用到大慶油田的三維地震數據中，選取其中的200道數據，200個采樣點，時間采樣率為1 ms，如圖10所示，對該數據進行隨機采樣，缺失數據如圖11所示。

圖10 原始三維地震數據

分別用Curvelet變換、K-SVD算法以及FDL算法對隨機采樣后的地震數據進行重建(K-SVD字典學習和FDL的字典大小相同)，重建結果如圖12～圖14所示。對比圖12～圖14，可以看出Curvelet重建地震數據效果一般，同相軸模糊不清，而FDL很好地實現了地震數據的重建，同相軸清晰，振幅連續。為了能更清晰地觀察重建效果，將隨機缺失較多的50道至60道數據與原始地震數據進行對比(圖15)，對比可以看出，Curvelet變換重建地震數據振幅與原始地震數據振幅相差較大，K-SVD重建振幅較Curvelet稍好，而FDL重建振幅與原始地震數據基本一致。三種算法的重建信噪比與重建時間如表3所示，由表3可知，FDL壓縮感知地震數據重建耗時最短。

表3 重建方法信噪比及重建時間

圖12 Curvelet重建地震數據結果

圖13 K-SVD重建地震數據結果

圖14 FDL重建地震數據結果

圖15 三種算法重建結果與原始地震數據對比

4 結論

筆者提出的基于快速字典學習的壓縮感知地震數據重建，通過快速字典學習對地震數據塊進行稀疏表示實現地震數據的重建。模擬和大慶油田地震數據驗證可以得到以下結論：利用FDL比經典K-SVD字典學習能夠更好的重建缺失地震數據，重建精度更高，重建耗時更短，對地震數據中復雜波形區域能夠有效的重建。另外，對于含噪聲的地震數據如何使用本文提出的方法進行去噪，是下一步研究的內容。