構建“方”與“圓”的聯系，延伸數學思維的觸角
——人教版六年級上冊“圓的面積”教學思考

■湖北省武漢市光谷第七小學 虢小鵬

圓在小學數學“圖形與幾何”板塊有著重要的地位，學生對圓的面積推導相對直邊圖形的面積推導要困難許多。學生要探索并掌握圓的面積公式，發現圓的面積公式與其他平面圖形面積公式的聯系和區別，尋求問題解決的思路，獲取理性的認知。六年級上冊“圓”這一單元，在小學數學“圖形與幾何”板塊有著重要的地位，特別是“圓的面積”推導，相對低年級時學習的直邊圖形的面積推導，學生在理解和掌握上顯得困難重重。圓的面積學習的目標行為動詞為“探索”和“掌握”——探索并掌握圓的面積公式，也就是要求學生經歷圓面積公式的探究過程，發現圓與已學過的平面圖形存在的聯系和區別，從而找到研究的方向和思路，并獲得理性、嚴謹的認知。

從縱向來看學生所要學習的數學知識，“圓”的學習是學生在整個“形”的認識過程中，由“直邊”進入“曲邊”的重要一步，數學思想從“有限”踏入“無限”的關鍵一環。在“圓的面積”一課中，在學生已有的直邊圖形面積公式推導過程中的“化歸思想”，在圓的面積計算公式推導中同樣適用；在推導過程中，學生的思維需要實現化曲為直，實現有限和無限、近似和精確的轉換，這是一個科學辯證過程。在這個過程中，運用了極限思想和極限方法。面積是一個二維概念，學生能直觀地感受到它所占的區域具有一定的大小。在授課之初，教師要對其度量意義有一定的認識：一是邊長為1 個單位長度的正方形作為面積單位；二是“運動不變性”，即圖形經過有限次的平移、旋轉后面積大小不變；三是“有限可加性”，即兩個不重疊的圖形合并的面積，等于這兩個圖形的面積之和。

一、回憶舊知，確定研究方案

圓的面積一課是在學生認識了圓的特征及其本質屬性的基礎上展開教學的，故在教學圓的面積前，要準確把握學生已有的知識和能力水平。一是課前要進一步的溝通圓各部分與圓的面積之間聯系（半徑決定圓的大?。?；二是要加深圓的面積相關因素的分析（半徑、直徑、周長）；三是圓面積公式探究的研究方案要細致指導（回憶長方形、正方形、平行四邊形面積公式推導過程）。必要的教學前導，能促進學生知識的正向遷移。新課伊始，要讓學生復習長方形、平行四邊形的面積公式的推導過程，總結、回憶已有的探索平面圖形面積的基本策略是數方格、轉化為已知圖形，并進一步回憶平行四邊形的面積公式的探索過程，得出剪拼、觀察、推理的活動步驟。

（1）出示大方格中的圓，提出問題：我們先用數方格的形式，得到一個圓的面積。數一數，你有什么感受？

（2）出示小方格中的圓，提出問題：你又有什么想法？要更精確還能怎么做？

學生通過回憶、遷移，發現運用數方格的方法，格子分得越小，越來越接近圓的面積，可以估出圓的面積的取值范圍，但是不好測量，比較麻煩，無法精確的探究曲邊圖形“圓”的面積。課堂上學生的思維自然轉移到“轉化”上，再根據教師有目的、有意義的學習任務的設計和引導，逐步明晰研究的路徑。經歷從現象到本質的認識過程是數學探究活動的著力點。在整個研究過程中，教師所設計的學習任務要讓不同層次的學生都能動手，并呈現不同的思維方式。學生在同伴互助和思維碰撞中實現知識的獲取、情感上的愉悅。班級中不同層次的學生思維的深度與廣度是不同的，根據同伴不同的思維表現，學生更有興趣去探究、傾聽他人的想法，完善自己的思考，進而會共同加深對圓面積公式的理解。

二、借助幾何直觀，發展推理能力

（一）化曲為直，初步體會極限思想

（1）出示圓的外切正方形和內接正方形，你有什么想法？（正方形和圓的面積相差太大）

（2）出示正方形演變成了正八邊形，你又有什么想法？

（正八邊形與圓的面積更加接近）教師指出這就是化曲為直的數學方法。

在“轉化”環節，首先出示圓的外切正方形和內接正方形，讓學生直觀地感受圓的面積和正方形面積的“大小”關系——圓的面積和正方形的面積相差太大。然后進行切割，得到正八邊形，再來說一說切割前后又有什么感受？通過觀察，學生自然發現，通過切割得到的正八邊形的面積無論是“外切”還是“內接”都接近圓的面積了。教師適時追問：“如果用這兩種方法繼續切割下去，你覺得會怎么樣？”師生共同討論，最后達成一致意見：當切割的正多邊形的邊數越多時，它的面積就越接近圓的面積。當切的邊數足夠多時，正多邊形的面積就無限趨近于圓的面積——這就是化曲為直的數學方法。

（二）直觀想象，確定圓的轉化方向

通過剛才的觀察、討論學生會自然聯想：只要求出了所切割的正八邊形的面積，就能近似求出圓的面積。研究的問題就轉換成了：那如何計算圓內的正八邊形得到面積呢？師生交流，將正八邊形分割成8個同樣的三角形后，可以得出三種策略：

（1）測量其中一個三角形的底和高，再計算它的面積，最后乘三角形個數得出正八邊形的面積。

（2）將分割后的8 個三角形拼成一個梯形，梯形的上底等于一個三角形的底；下底等于3 個三角形的底；梯形的高等于2 個三角形的高。測量出它們的長度，然后運用公式算出梯形的面積，算出正八邊形的面積。

（3）將這些三角形拼成一個平行四邊形，再測量它的底和高，利用公式算出面積。

教師組織學生進行交流討論，可以得出：根據減少誤差（計算三角形面積和梯形面積時有可能出現不是整除的情況）的標準確定第三種轉化的策略。

緊接著教師追問：“將正八邊形轉化成平行四邊形可以求出它的面積，圓的面積又接近正八邊形，那圓能不能用剛才的辦法也求出它的面積？”

動手操作。教師先示范等分4 份的情況。再出示小組活動要求：

活動目的：圓能不能轉化為平行四邊形

活動要求：1.每組2 個人合作剪一個，拼成平行四邊形。

2.觀察拼成的平行四邊形，隨著等分份數的增加，你有什么發現？

學生展開聯想：對圓也可以嘗試向正八邊形一樣平均分成若干份，然后拼成近似的平行四邊形。等分的份數越多，拼出的圖形越接近平行四邊形。

（三）體會圖形運動過程，進一步感受極限思想

學生在之前的學習中已經了解過“無限”，如直線向兩端無限延伸，自然數是無限的?！盁o限”概念的傳授，在小學階段，一是用有限的動態方式體現“無限”的過程，如“兩條直線永不相交”；二是用極限的方法處理“無限”，如圓的周長和面積探索。

而在將圓轉化成長方形的過程中，學生動手操作（剪、拼），然后通過同時呈現幾幅（將圓等分成4份、8 份、16 份、32 份……）等分拼接圖進行想象：當分到足夠多份時，圓最終轉化成了長方形。學生在直觀中經歷極限的想象過程，也就是在觀察圖形“有限分割”的基礎上，想象“無限分割”。首先進一步強調轉化后的圖形面積等于圓的面積；接著組織學生小組討論，自己聯系“轉化”前后圖形的關系，也就是圓的半徑等于長方形的寬，圓周長的一半等于長方形的長；最后自行推導出圓的面積公式。不同層次學生在交流中進行互相啟發，從而使各自的思維達到更深層次。

（1）理清圓和長方形之間的聯系

小組交流：觀察等分32 份的情況，你發現圓和長方形之間有什么聯系？

（2）學生推導公式

根據你們找到的圓和長方形的關系，你能得到圓的面積公式嗎？先在組內說一說，你們小組是如何想的？再請你寫一寫。

（3）展示學生成果

（4）回顧反思：回顧一下，我們是怎樣將一個圓轉化為長方形的？它們之間有什么聯系？如何得到圓的面積公式？

（5）介紹割圓術

在學生自主推導出“圓的面積公式”后，“頭腦風暴”式的成果交流展示是“重頭戲”。一般在平時的課堂中，在此環節教師基本有三種策略：一是從低水平到高水平的分析學生成果；二是展示最高水平的成果，再對比低水平成果中存在的問題，并進行完善和調整；三是同時對比、分析不同水平的作品，組織學生討論它們的相同點和缺憾。教師采用那種策略取決于教學內容，學生的認知水平以及成果的完成程度也具有一定影響。“圓的面積”一課應采取第二種策略，讓學生在思維的碰撞中擦出靈感的火花，更深入探究圓的面積與半徑之間的關系，提升學習的興趣，讓不同層次學生在交流、討論中都能有所思、有所得。

在本課中，學生思維難點在“為什么最終會是一個長方形？”因為在學生看來，有限地等分成小扇形后，它們的弧依然是“彎彎”的，不是直的，所拼成的近似長方形的長是一條曲線。這里的關鍵是要在“有限”的圖形上，引導學生進行想象“無限”：當等分的份數趨向于無限的時候，拼成的圖形才越來越接近長方形，長方形就是這個“無限圖形”的終極形態。在學生觀察想象時，要整體呈現多幅轉化后的圖形，著重引導學生思考拼成的圖形的變化趨勢。在這一過程中，教師要強調運動的觀點，引導學生思維向“無限”延伸，想象所拼圖形的終極形態，從而最終領會圓經過無限等分后拼成的是一個真正的長方形。在推導出圓的面積公式的同時，真正體會到數學中的“極限思想”，提升學生的抽象和推理能力。

三、數學思維要在有價值的學習任務中走向深刻

圓的面積公式的推導有其特殊性，相對學習直邊平面圖形面積來說，需要學生經過“化曲為直”來操作，有時候甚至是“以直代曲”，從而感悟“極限思想”的內涵，在有限和無限、近似和精確中相互轉換思維，這是一個復雜的辯證過程。在教學前，教師要找準學生的知識起點；在教學中要及時掌握學生思維動態，讓學生參與連貫的、系列性的圓的面積推導過程；在教學后讓學生在知識與技能方面進行實踐，運用學習的知識、思想、方法等解釋現象、解決問題。直觀的圖形往往比千言萬語更能把握研究對象的的本來面貌。從內接正方形與外切正方形聯系猜想圓的面積，再到圓的面積與其他直邊圖形面積的辯證關系，這些都可以借助幾何直觀完成，把復雜的問題形象化，把抽象的問題直觀化。在學生的整個學習過程中，既有歸納（合情推理），也有演繹（邏輯推理），二者相輔相成。學生在一系列的觀察、猜想、驗證等探究學習活動中，以“割補法”為推理起點，聯系長方形面積公式，并進行歸納，得到推理的結果：圓的面積等于無限分割后所拼成長方形的面積。

在小學數學課堂教學中，數學基本活動經驗的積累和數學思維的培養，不僅要看結果，更要重視積累的過程；不僅要引導學生對原有經驗的內化，更要促進學生新的生成經驗。在平時的教學實踐中，教師要善于建構教材，對知識的前后聯系和影響要做到心中有數，通過巧妙的教學設計將數學活動經驗和數學思想方法直觀地呈現在學生面前，幫助學生形成知識脈絡，促進經驗的正向遷移和內化，讓學生學會舉一反三，靈活運用和遷移已有的經驗解決實際新的問題，以此推動學生多元思維的發展。

總之，高質量的“交流”源于值得交流的數學活動，而承載“值得交流”的，是教師精心設計的有挑戰性的學習任務，這樣的任務使學生經歷真研究、真思考、真理解，從而形成富有生命力的課堂。這樣的課堂教學對學生來說，是自信的開端、求知的呼喚、精神的愉悅和個性的彰顯；而對教師來說，是經驗的分享、智慧的傳遞、心靈的溝通與真情的交融。