基于蒙特卡羅的光柵衍射條紋強度仿真預測

竇群

(陜西中醫藥大學醫學技術學院， 咸陽 712046)

光柵衍射就是光在傳播時躲避障礙物邊緣持續傳播的過程，是目前了解光學及研究光學相關問題的基礎[1-3]。光柵衍射包括單縫衍射和多縫干涉等，會受光柵縫數、入射波長、單縫寬度、光柵常數等因素影響。光柵衍射譜線特征變化多樣，包括主極大、次級大形成，主極大缺級、條紋越級、條紋強度變化現象等[4]。

蒙特卡羅方法就是通過隨機模擬或統計試驗求解數學、物理等問題近似解的數學方法。該方法可應用計算機實現隨機試驗的模擬，對試驗過程進行記錄，統計結果，使結果近似于問題正確解，并且可通過計算機程序產生更常見的偽隨機數替換真正的隨機數，大大提升計算速度[5]。MATLAB是一種功能豐富的科學計算軟件，其中絕大多數算法均具備自適應能力，且編程簡單，功能強大，效率高[6]。

多年來，中外很多學者都開始從事光柵衍射的研究，在20世紀，耶爾米洛夫等就采用紅外光譜去進行平面光柵衍射效率的測試，目前已獲得一定成效[7]。近年來，中國學者也在積極研究光柵衍射原理及其應用，唐波等[8]根據X射線源對其衍射成像展開研究；單聰淼等[9]利用菲涅耳衍射積分公式和硬邊光闌的復高斯函數分解法開展干涉圖樣條紋間距的研究，均取得一定成果。關于光柵衍射條紋強度預測的研究一直未有較好的研究成果。如單獨采用MATLAB仿真研究預測其強度，那么其理論計算的運算量較大、難度較高，計算的結果也并不精確，不能直觀地描述物理圖像，無法確切了解光柵衍射規律。因此，為更好地結合物理圖像和光柵衍射規律，現利用蒙特卡羅方法隨機模擬特點，有效模擬光柵衍射圖像，并使用MATLAB軟件仿真研究光柵衍射條紋主極大、次級大強度分布，通過各參數值的變化分析相應的光柵衍射條紋強度變化情況。結果圖像形象生動，更直觀展現光柵衍射的物理過程，以期為光柵衍射強度預測分析理論教學提供有效途徑。

1 光柵衍射條紋強度預測方法

1.1 光柵衍射原理

依照惠更斯-菲涅耳原理，采用衍射積分方程獲取光柵衍射強度分布公式[10]：

(1)

(2)

N縫光柵的兩條相近亮紋間暗區存在N-1個暗紋和N-2個亮度微弱的次級亮紋，這類亮度微弱的次級亮紋又稱次級大，其強度表達方式為

(3)

比較主極大強度和次級大強度，獲取次級大相對強度為

(4)

由式(4)可知，衍射角θ、光柵常數d以及光柵縫數N共3個變量決定光柵衍射次級大強度分布情況[11]。

1.2 蒙特卡羅方法基本原理

蒙特卡羅方法別名隨機模擬方法，是利用隨機數近似解決問題的一種方法。為解決數學問題，通過搜尋概率統計相似體，經試驗取樣等一系列步驟，求取該相似體近似解。采用蒙特卡羅方法解決問題得到的解，并非基于經典的數值計算所獲取，而是更接近于試驗結果。建立隨機過程或概率模型，使所求解問題參數等于該問題的解，用近似值的標準誤差衡量所求解的精確度[12-13]。

設定目標求解量x表示隨機變量ε的數學期望Q(ε)，為近似求解x，通過m次重復抽樣隨機變量ε，形成彼此獨立的隨機變量ε序列ε1、ε2、…、εm，并計算其算術平均值：

(5)

蒙特卡羅模擬基本步驟如下。

步驟1明確隨機變量ε和隨機變量影響變量x兩者間函數關系ε=g(x1,x2,…,xn)。

步驟2明確隨機函數中影響變量xi的概率密度函數l(xi)、累計概率分布函數L(xi)。

步驟3在(0,1)范圍生成隨機函數中隨機變量xi的若干均勻分布的隨機數l(xij)。l(xij)的表達式為

(6)

式(6)中：i為變量個數；j為模擬次數；i=1,2,…,n；j=1,2,…,m。利用式(6)求取l(xij)對應的xij。

步驟4計算統計特征量，代入模擬取得的隨機數值到隨機函數方程中，得

(7)

(8)

(9)

步驟5繪制隨機函數ε直方圖，并擬合其分布情況。

1.3 MATLAB仿真研究

利用蒙特卡羅法隨機模擬特點，使用MATLAB軟件仿真研究光柵衍射條紋強度，通過各參數值變化獲得相應衍射光強分布[14]。MATLAB自身攜帶諸多功能，如產生均勻分布隨機數的rand(·)、求和函數sum(·)、繪制直方圖函數hist(·)等。此外利用逆概率累計函數可求取已知概率值的概率分布情況[15]。逆概率累計函數應用時調用MATLAB中格式情況如表1所示。

表1 逆概率累計函數調用格式情況

2 仿真算例分析

2.1 光柵衍射條紋主極大強度分析

采用MATLAB計算程序獲取光柵縫數N=8光柵衍射條紋強度分布示意圖，其中光柵常數φ=5×10-4m，波長λ=6×10-7m，縫寬b=9×10-6m，如圖1所示。

圖1 光柵衍射條紋強度分布示意圖Fig.1 Schematic diagram of grating diffraction fringe intensity distribution

采用MATLAB計算程序獲取光柵縫數N分別為8、15、25時的多縫干涉相對衍射條紋強度分布示意圖。結果如圖2所示。

圖2(a)、圖2(b)、圖2(c)分別描述光柵縫數N=8、N=15、N=25時的多縫干涉相對光強，圖2(d)為圖2(c)的局部放大結果。對比圖1(b)與圖2可知，光強與N2成正比，伴隨縫數增加，主極大隨之增加，光強隨之變強。

通過上述仿真結果發現，光柵衍射條紋的主極大強度表示N個單縫衍射強度的包絡而非一個。光柵衍射是合并單縫衍射和多縫干涉，其中多縫干涉的主極大強度分布受到單縫衍射主極大調制。光柵衍射主極大強度受N條單縫衍射強度調制。

2.2 光柵衍射條紋的次極大強度分析

假設光柵縫數N=5，波長λ=633 nm，光柵常數d=0.015 mm，縫寬b=0.05 mm，衍射角θ=0°，通過變更光柵常數d、縫寬b和波長λ，觀察光柵衍射次級大條紋強度變化情況。

2.2.1 光柵常數對衍射條紋次級大強度影響

光柵常數d分別為0.02、0.04、0.06 mm時，衍射圖樣變化如圖3所示。

圖2 多縫干涉相對衍射光強分布圖Fig.2 Relative intensity distribution of multi slit diffraction pattern

圖3 光柵常數對衍射條紋次級大強度影響Fig.3 Effect of grating constant on secondary high intensity of diffraction fringe

分析圖3可知，隨著光柵常數d的增大，產生的主極大級數隨之增加，峰值半寬減小，條紋寬度變窄，處于兩個主極大間的次級大個數不變，均為3條，從衍射圖樣整體來看，條紋次級大強度大小和分布情況大體一致，只是分布密度變大，寬度變窄。

2.2.2 縫寬對衍射條紋次級大強度影響

縫寬b分別為0.001、0.005、0.010 mm時，衍射圖樣變化如圖4所示。

圖4 縫寬對衍射條紋次級大強度影響Fig.4 Effect of slit width on secondary intensity of diffraction fringes

圖4顯示，隨著縫寬增大，衍射現象變弱，衍射產生主極大級數變少。

2.2.3 波長對衍射條紋次級大強度影響

圖5 波長對衍射條紋次級大強度影響Fig.5 Effect of wavelength on secondary intensity of diffraction fringe

當波長λ分別為λ=335、599、763 nm時，衍射光強分布如圖5所示。分析圖5可知，波長變大，衍射條紋主極大位置無變化，次級大位置向兩側移動，主極大、次級大半角寬度和條紋間的距離變寬，光柵衍射譜線漸寬，銳度降低。

2.3 實際應用分析

仿真實驗測試是在理想的條件下進行測試，得到的結論易與實際實驗產生誤差，基于此，將其采用實際實驗驗證實驗結果的可靠性。在實驗室中，選用分光儀、光柵、水銀燈等進行光柵衍射實驗，先測定光柵常數和光波波長，再進行其余角度的測試，記錄實驗數據。實驗結果表明本方法可對光柵衍射條紋強度進行精準預測。

3 結論

采用蒙特卡羅方法與MATLAB軟件相結合方式，形象、直觀地仿真模擬光柵衍射條紋強度變化情況。這種利用計算機完成的仿真實驗，不需要復雜的計算，也不需要實驗儀器和實驗場地便可模擬出不同實驗條件下的光柵衍射條紋強度分布和衍射圖樣，具有較大的應用價值。