離散延遲觀測系統狀態和離散觀測模態的混雜隨機時滯系統的反饋鎮定問題

王思敏， 陸見秋， 毛學榮

(1.東華大學 理學院， 上海 201620； 2.思克萊德大學 數學與統計系， 格拉斯哥 G1 1XT)

混雜隨機微分方程被廣泛用于描述具有可變結構且易受隨機突變影響的實際系統，例如受環境擾動的傳染病模型和宏觀調控下的金融模型，為了實現這類系統的自動控制，學者們對系統的穩定性進行了大量的研究與分析[1-6]。

在實際應用中，由于傳輸速度的限制，動態系統(例如神經網絡和復雜動態系統)中不可避免地存在時滯，而時滯的存在通常會對系統的穩定性產生負面影響，因此，近年來含時滯系統的穩定性分析與自動控制問題引起了學者們的廣泛研究[7-13]。

反饋控制是自動控制中一種鎮定系統(通過加入控制器使不穩定的系統穩定)的有效方式。為了降低控制成本，2013年，Mao[14]在經典的連續時間觀測系統狀態和模態的反饋控制器的基礎上，開發了一種基于系統狀態離散觀測值設計的反饋控制器(只需要在固定的時間點對系統狀態進行觀測)，在全局Lipschitz條件下，用比較定理證明了受控系統的均方指數穩定性，并給出了觀測間隔τ的上界。2014年，Mao等[15]從系統本身的性質出發，在同樣的條件下證明了受控系統的均方指數穩定性，并給出了τ的更優上界。2015年，You等[16]在局部Lipschitz條件下引入了一個Lyapunov泛函，從而研究了受控系統的幾乎必然漸近穩定性，并再次優化了τ的上界。考慮到在實際應用中，觀測系統狀態設計控制器時，無法避免地會產生延遲，Qiu等[17]和Zhu等[18]在文獻[14-16]的基礎上考慮離散延遲觀測系統狀態，從而設計反饋控制器，研究了含延遲的控制器作用下受控系統達到穩定的充分條件。

上述文獻中討論的反饋控制器仍然是利用系統模態當前的值進行設計的，然而，在很多現實問題中，系統當前的模態是未知的，因此,設計控制器時連續觀測系統模態也是相當耗費成本的。為了進一步節約控制器的成本，學者們開始考慮設計同時離散觀測系統狀態和模態的控制器。Geromel等[19]從數值角度論證了同時離散觀測系統狀態和模態的必要性。Li等[20]證明了小區間上馬爾可夫跳發生的概率有界性，并利用系統狀態和模態的離散觀測值設計了反饋控制器，使受控系統達到均方指數穩定。

目前，還未有相關文獻考慮利用系統狀態和模態同時離散觀測且狀態觀測帶有延遲的反饋控制器從而鎮定混雜隨機時滯系統。本文綜合考慮設計此類離散時間和狀態延遲觀測的控制器，以期使控制后的隨機系統達到多種意義下的穩定。

1 符號與問題表述

1.1 預備知識

本文中(Ω,,{t}t≥0,P)為一個完備概率空間，其中域流{t}t≥0是遞增且右連續的，并且0包含所有P空集。令w(t)=(w1(t),…,wm(t))T為定義在以上完備概率空間中的m維布朗運動[6]。若x∈Rn，則用|x|表示其歐幾里德范數。若A是一個矩陣，則用AT表示其轉置，用表示其跡范數，用‖A‖=max{|Ax|∶|x|=1}表示其算子范數。若A是一個對稱矩陣(A=AT)，則分別用λmin(A)以及λmax(A)表示其最小和最大特征值，分別用A≤0以及A<0表示A是半負定或負定矩陣。如果a,b均為實數，則令a∨b=max{a,b}且a∧b=min{a,b}。若A是Ω的子集，則用IA表示其特征函數，即當ω∈A時IA(ω)=1，否則IA(ω)=0。令C([-u,0];Rn)是一族有界的，其中0是可測的，取值為C([-u,0];Rn)中的隨機變量。若x(t)是定義在t∈[-u,∞)上取值在Rn中連續的隨機過程，則當t≥0時，令xt={x(t+θ):-u≤θ≤0}，并將其視為取值在C([-u,0];Rn)中的隨機過程。

令r(t)(t≥0)為概率空間中取值在有限狀態空間S={1,2,…,N}中的右連續馬爾可夫鏈。給定其生成元Γ=(γij)N×N為

P{r(t+Δ)=j|r(t)=i}=

1.2 問題表述

考慮一個n維混雜隨機變時滯微分方程(stochastic differential delay equation，SDDE)：

dx(t)=f(x(t),x(t-h(t)),r(t),t)dt+

g(x(t),x(t-h(t)),r(t),t)dw(t)t≥-τ*

(1)

其中

f:Rn×Rn×S×R+→Rn，

g:Rn×Rn×S×R+→Rn×m，

本文旨在設計一個離散反饋控制u(x(δt-τ0),r(δt),t)使得受控混雜SDDE如式(2)所示。

dx(t)=(f(x(t),x(t-h(t)),r(t),t)+

u(x(δt-τ0),r(δt),t))dt+

g(x(t),x(t-h(t)),r(t),t)dw(t)

(2)

為了研究受控混雜SDDE(式(2))的穩定性，給出以下假設。

假設1假設系數f和g滿足局部Lipschitz和線性增長條件。

成立。

(2)線性增長條件：存在常數L>0使得對所有的(x,y,i,t)∈Rn×Rn×S×R+有

|f(x,y,i,t)|∨|g(x,y,i,t)|≤L(|x|+|y|)

成立。

由該假設可知，對所有的(i,t)∈S×R+有f(0,0,i,t)=0,g(0,0,i,t)=0成立。

假設2假設存在一個正常數K使得對所有(x,y,i,t)∈Rn×Rn×S×R+有

|u(x,i,t)-u(y,i,t)|≤K|x-y|

成立，且對所有(i,t)∈S×R+有u(0,i,t)=0成立。

根據該假設，令y=0，可知u滿足線性增長條件，即對所有(x,i,t)∈Rn×S×R+有

|u(x,i,t)|≤K|x|

成立。

為建立本文中的定理體系，對于受控混雜的SDDE(式(2))，需要以下額外信息：xη={x(η),-2τ*-2τ≤η≤-τ*}，但這些xη的具體值并不影響定理的結果，因此本文設置系統初值為ξ∈C([-2τ*-2τ,0];Rn)以及r0∈S。同時定義常數：觀察到對于受控混雜SDDE(式(2))，若定義和ζ3:[0,∞)→[0,τ+τ0]為

ζ1(t)=h(t)t∈[0,∞)

ζ2(t)=t-kτ，kτ≤t<(k+1)τ，k=0,1,2,…

ζ3(t)=t-kτ+τ0，kτ≤t<(k+1)τ，

k=0,1,2,…

則式(2)可寫為

dx(t)=(f(x(t),x(t-ζ1(t)),r(t),t)+u(x(t-ζ3(t)),r(t-ζ2(t),t))dt+g(x(t),x(t-ζ1(t)),r(t),t)dw(t)

2 主要結論

2.1 漸近穩定性

為了建立受控混雜SDDE(式(2))在不同意義下穩定的充分條件，首先構造一個Lyapunov泛函：

x(v-h(v)),r(v),v)+

u(x(δv-τ0),r(δv),v)Iv≥0|2+

|g(x(v),x(v-h(v)),r(v),v)|2]dvds

t≥0

(3)

{x(s)∶-2τ*-2τ≤s≤0}=φ∈

C([-2τ*-2τ,0];Rn)，r(s)=r0，

f(x,y,i,s)=f(x,y,i,0)，u(x,i,s)=

u(x,i,0)，g(x,y,i,s)=g(x,y,i,0)。

對于U∈C2,1(Rn×S×R+;R+)，定義算子LU:Rn×Rn×S×R+→R：

(4)

下面給出關于U的假設。

假設3假設存在函數U∈C2,1(Rn×S×R+;R+)以及3個正數λ1、λ2以及λ3使

LU(x,y,i,t)+λ1|Ux(x,i,t)|2≤

-λ2|x|2+λ3|y|2

(5)

對所有(x,i,t)∈Rn×S×R+，(x,y,i,t)∈Rn×Rn×S×R+成立。

在說明結果之前，依次給出一個引理和定理。

定理1令假設1、假設2以及假設3成立。假設存在正定對稱矩陣Pi(i∈S)使得λ2>λPM∶=maxi∈Sλmax(Pi)，λ3≤λPm∶=mini∈Sλmin(Pi)。令

(6)

若τ>0,τ0>0充分小，且滿足

(4(τ+τ0)+2)L2+4θ(τ+τ0)2K2+λPM

(7)

則對于任意初值φ∈C([-2τ*-2τ,0];Rn)以及r0∈S，受控混雜SDDE(式(2))在均方意義下是H∞穩定的，即

(8)

證明：給定φ∈C([-2τ*-2τ,0];Rn)以及r0∈S，將受控混雜SDDE(式(2))的解x(t)看成是過程，對式(3)中定義的Lyapunov泛函使用廣義公式[6]，則有

(9)

其中M(t)是初值為M(0)=0的連續鞅。根據假設1、假設2、引理1以及條件(7)易知

(10)

其中

τ0)(4(τ+τ0)+2)L2-4θ(τ+τ0)2K2-λPM。

注意到t-δt+τ0≤τ且當t

f(x(s),x(s-h(s)),r(s),s)+u(x(δs-τ0),r(δs),

s)Is≥0|2+|g(x(s),x(s-h(s)),r(s),s)|2]ds，

當0≤t

r(s),s)+u(x(δs-τ0),r(δs),s)Is≥0]ds+

綜上可得，

f(x(s),x(s-h(s)),r(s),s)+u(x(δs-τ0),r(δs),s)·

Is≥0|2+|g(x(s),x(s-h(s)),r(s),s)|2]ds

(11)

對任意t≥0成立。令

則由式(10)和(11)可推出

(12)

由條件式(7)可知λ>0。又根據式(9)可知

(13)

其中

θ(τ+τ0)2[(4(τ+τ0)+2)L2+(τ+τ0)K2]‖φ‖2

是正數。則由式(13)可得

即式(8)成立。證畢。

(14)

(15)

則受控混雜SDDE(式(2))的解對于任意t≥0，均滿足

(16)

證明：由定理1的證明可知，x(t)和x(δt-τ0)在0≤t

首先，考慮t≥kτ的情形。令n≥k為整數，則δt-τ0=nτ-τ0≥0對任意t∈[nτ,(n+1)τ)成立，在這種情形下，可以得到

(17)

另外注意到

(18)

將式(18)代入式(17)可得

(19)

由Gronwall不等式可得

(20)

然后，考慮0≤t

顯然該式與式(19)一致。因此式(20)對0≤t

整理可得

(21)

定理2假設定理1和引理2中的條件均成立，則受控混雜SDDE(式(2))均方漸近穩定，即

對任意初值φ∈C([-2τ*-2τ,0];Rn)以及r0∈S成立。

證明：給定φ∈C([-2τ*-2τ,0];Rn)以及r0∈S。根據公式，當t≥0時，有

根據假設1及假設2可知

x(δs-τ0)|2ds，

該處以及下文中的C代表一個正數，它的取值可隨著項的不同而改變。由引理2可得(令α=0)

(22)

又

將上式代入式(22)并應用定理1的結論可知，存在正數C，使得對任意t≥0都有

E|x(t)|2≤C

[f(x(t),x(t-h(t)),r(t),t)+u(x(δt-τ0),

r(δt),t)]+|g(x(t),x(t-h(t)),r(t),t)|2)dt≤

對任意0≤t1

|E|x(t2)|2-E|x(t1)|2|≤C(t2-t1)

即E|x(t)|2在t∈R+關于t一致連續。

2.2 指數穩定性

第2.1節構造的狀態和模態同時離散的反饋控制器討論了混雜SDDE(式(1))的漸近穩定性問題，并證實了當t趨于∞時，E|x(t)|2將趨近于0，但不知道E|x(t)|2趨于0的速率。本節為研究E|x(t)|2以及x(t)趨向于0的速率，對混雜SDDE(式(1))的指數穩定性進行研究。首先，給出以下假設。

假設4假設存在兩個正數c1，c2使得

c1|x|2≤U(x,i,t)≤c2|x|2

對所有(x,i,t)∈Rn×S×R+成立。

定理3令假設1～4以及引理1成立，θ定義同式(6)，令

(4(τ+τ0)+2)L2-4θ(τ+τ0)2K2-λPM(λ>0)

(23)

且

(24)

其中，γ>0是方程

(τ+τ0)γe(τ+τ0)γ(H1+

(25)

的唯一解，該方程中

H1=4θ(τ+τ0)2(L2+K2)+2θ(τ+τ0)L2，

H2=2θ(τ+τ0)L2(2(τ+τ0)+1)，

H3=4θ(τ+τ0)2K2

(26)

其中t≥0。根據Lyapunov泛函的定義式(3)以及式(12)和(13)，可推得

(27)

令

u(x(δv-τ0),r(δv),v)|2+|g(x(v),

x(v-h(v)),r(v),v)|2]dvds。

則由式(3)及假設4可知

(28)

首先，由假設1、假設2及引理2可得

H2E|x(v-h(v))|2+

H3E|x(v)-x(δv-τ0)|2Iv≥0]dv

(29)

其中，H1、H2、H3的定義如式(26)所示。將式(29)代入式(28)，并將結果進一步代入式(27)可得，對于z≥τ+τ0，有

(30)

其中，

(31)

(32)

(33)

代入式(30)可得

又式(25)成立，故對任意t≥τ+τ0都有

c1eγtE|x(t)|2≤C

成立，顯然該定理中結論式(23)成立。根據Mao等[6]的研究結論，可由式(23)得到該定理中的另一結論即式(24)。證畢。

3 算 例

在實際應用中，二次型常被用于構造Lyapunov函數。本節使用二次型U(x,i,t)=xTQix，其中Qi是n×n階對稱正定矩陣。令c1=mini∈Sλmin(Qi)，c2=maxi∈Sλmax(Qi)，假設4顯然成立。進一步給出以下假設。

假設5假設存在對稱正定矩陣Qi∈Rn×n(i∈S)以及兩個正數λ4和λ5，使得對所有的(x,i,t)∈Rn×S×R+以及(x,y,i,t)∈Rn×Rn×S×R+都有

2xTQi[f(x,y,i,t)+u(x,i,t)]+

trace[gT(x,y,i,t)Qi(x,i,t)g(x,y,i,t)]+

(34)

成立。

根據上述假設，可以立刻得到定理3的推論。

推論1若假設1、假設2以及假設5成立。令

c1=mini∈Sλmin(Qi)，c2=maxi∈Sλmax(Qi)，

λ6=2maxi∈S‖Qi‖，

在推論1的基礎上，給出如下算例：

例1考慮一個線性不穩定混雜SDDE：

dx(t)=(A(r(t))x(t)+Ad(r(t))·

x(t-h(t)))dt+(B(r(t))x(t)+

Bd(r(t))x(t-h(t))dw(t)t>0

(35)

系統中的矩陣分別為

混雜SDDE(式(35))并不是均方指數穩定的。因此要構造一個基于狀態和模態的離散觀測的反饋控制器。假設受控混雜SDDE的形式如式(36)所示。

dx(t)=(A(r(t))x(t)+Ad(r(t))x(t-h(t))+

F(r(δt))G(r(δt))x(r(δt-τ0)))dt+

(B(r(t))x(t)+Bd(r(t))x(t-h(t))dw(t)。

(36)

選定

則可以求得

0.910 5>1 152(1-e-τ-τ0)+21 256.240 4(τ+τ0)

(4(τ+τ0)+2)+331 776(τ+τ0)2+0.5，

21 256.240 4(τ+τ0)(4(τ+τ0)+2)≤0.14，

τ+τ0≤0.020 8。

(37)

式(37)只有在τ+τ0<0.000 220 7時才成立。

根據推論1，若令Fi和上文給定的一樣，同時確保τ+τ0<0.000 220 7，則該例中基于狀態和模態同時離散的受控SDDE(式(36))呈均方指數穩定且幾乎必然指數穩定。電腦仿真結果(見圖1)也表明該結論成立。

圖1 用Euler-Maruyama方法估計混雜SDDE(式(36))的路徑(步長為10-6，初值 x1(0)=2，x2(0)=2，r(0)=1)

4 結 語

本文構造了利用系統狀態和模態同時離散觀測且狀態觀測帶有延遲的反饋控制器，研究了非線性變時滯混雜系統的鎮定問題。通過構造Lyapunov泛函，建立了非線性變時滯混雜系統在均方意義下H∞穩定、漸近穩定和指數穩定的充分條件。此外，得到了兩次狀態和模態觀測時間間隔的上限。