數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的滲透研究

雷霞霞

(甘肅省隴南市成縣鐔河學區(qū) 甘肅 隴南 742509)

引言

隨著新課程標準改革不斷深入，初中數(shù)學教學也面臨諸多新要求和新挑戰(zhàn)，需要教師在傳授知識和技能的同時，充分調(diào)動學生主觀能動性，使所有學生在課堂學習中都有所獲得、并找到適合自己的發(fā)展方式。在這一背景下，越來越多教師認識到課堂教學引入數(shù)學思想的重要性，這其中就包括數(shù)形結(jié)合思想。所謂“數(shù)形結(jié)合”思想，就是將“數(shù)”和“形”貫穿到初中數(shù)學教材中，使二者相互轉(zhuǎn)換、相互融合，以此來將復雜知識簡單化、抽象知識具象化。這種教學思想能夠?qū)⒅R、能力和智力有機結(jié)合，有利于引導學生更好的感知和理解題目，使學生在解題中達到“柳暗花明又一村”的效果，確保學生在潛移默化中建立空間觀念和應(yīng)用意識，并提高推理能力和邏輯能力。

1.數(shù)形結(jié)合思想概述

1.1 數(shù)形結(jié)合思想含義。初中數(shù)學包括幾何和代數(shù)兩方面學習內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合思想就是建立這兩個學習內(nèi)容基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。也就是將幾何與代數(shù)有機融合，在發(fā)揮其優(yōu)越性的同時解決數(shù)學問題。其實際應(yīng)用可以概括為兩個方面：第一，以“形”為主的教學思想。即借助圖形的直觀性特點，將隱藏在圖形中的數(shù)據(jù)關(guān)系加以明確[1]。如：將一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)轉(zhuǎn)換為圖象方式，在k和b不同取值的條件下，能夠使學生更加直觀的觀察函數(shù)上升或下降情況。第二，以“數(shù)”為主的教學思想。即借助數(shù)據(jù)嚴謹性特點，對圖形性質(zhì)進行闡述。如：引導學生求二元一次方程的根時，如果只觀察圖象則很難保證實數(shù)根的嚴謹性，而通過計算數(shù)值則能夠彌補圖象存在的不足。

1.2 數(shù)形結(jié)合的意義。

1.2.1 字面意義。數(shù)形結(jié)合相對于化歸思想、函數(shù)思想而言，其字面意義相對清晰。其中“數(shù)”代表數(shù)值、代數(shù)、數(shù)學、算數(shù)等意思。泛指數(shù)學概念、數(shù)學性質(zhì)等命題。“形”則代表圖形、幾何、空間等意思。泛指圖形表征[2]，例如：符號、實物等。“結(jié)合”則是指二者相互依存、相互滲透。如此，就能夠更加深入的了解“數(shù)形結(jié)合”的含義，也就是將數(shù)學中的空間形式和數(shù)量關(guān)系有機融合，以此來表達數(shù)學知識的本質(zhì)。

1.2.2 深層意義。初中數(shù)學教學內(nèi)容包括兩個方面，分別為代數(shù)和幾何，其中代數(shù)即數(shù)量關(guān)系，幾何即空間形式。在此基礎(chǔ)上對“數(shù)形結(jié)合”的意義進行分析，可以概括為以下內(nèi)容：第一，在一定條件下，“數(shù)”與“形”相互聯(lián)系。簡單來說就是數(shù)學教學中，很多抽象數(shù)量關(guān)系可以通過形象的圖形表達，同時，一些直觀的圖形性質(zhì)也可以通過數(shù)量關(guān)系闡述。第二，在一定條件下，“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)換。在引導學生探究數(shù)量關(guān)系時，可以借助直觀圖形進行分析。在探索圖形時，也可以借助數(shù)量關(guān)系來體現(xiàn)。雖然“數(shù)”與“形”在數(shù)學教學中屬于兩個不同版塊，但將二者有機統(tǒng)一，能夠達到化繁為簡的教學效果，有利于開拓學生思維，培養(yǎng)學生數(shù)學意識[3]。

1.3 數(shù)形結(jié)合思想特點。

1.3.1 形象性特點。在初中數(shù)學教學中，如果教師僅采用數(shù)據(jù)推導和語言表達的方式開展教學活動，那么學生則很難形成完整的知識網(wǎng)絡(luò)。而引入數(shù)形結(jié)合思想，通過圖形推導數(shù)據(jù)，通過數(shù)據(jù)分析圖形，可以使學生形成形象思維。例如：在平面直角坐標系中，如果教師只通過變化口訣來表達有序?qū)崝?shù)對的移動情況，學生很難在頭腦中構(gòu)造點的距離和移動方向。而通過圖象來表達，則能夠直觀的觀察點的運動軌跡。

1.3.2 直觀性特點。圖形本身具有直觀性特點，在解決數(shù)學問題時，將數(shù)據(jù)與圖形有機融合，能夠使二者相互轉(zhuǎn)換，在發(fā)揮圖形直觀性優(yōu)勢的同時，真實反映數(shù)據(jù)之間存在的關(guān)系，便于學生更好的理解數(shù)學知識，找到解題規(guī)律[4]。例如：傳統(tǒng)數(shù)學教學中，涉及到的數(shù)據(jù)分析內(nèi)容，大多通過方差大小判斷其穩(wěn)定程度，這種方式不僅復雜繁瑣，而且無法保證分析結(jié)果準確性。而通過直觀圖象表示，能夠使學生根據(jù)圖象中點的離散情況，分析數(shù)據(jù)穩(wěn)定性。

1.3.3 雙向性特點。針對不同數(shù)學題目，其解題思路和解題方法也不盡相同。結(jié)合題目實際情況，將數(shù)與形相互轉(zhuǎn)換和融合，能夠使一些復雜問題簡單化。例如：在求方程根時引入函數(shù)圖象，通過直角坐標系表達題目中的數(shù)據(jù)，能夠使數(shù)據(jù)計算更加簡單，如此既能夠提高結(jié)算結(jié)果準確率，還能夠節(jié)約計算時間。同時，針對一些根據(jù)數(shù)量關(guān)系求解的題目，可以采用圖形方式檢驗結(jié)果，反之亦可。

2.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的滲透原則

2.1 等價性基本原則。數(shù)形結(jié)合思想并非適用于所有數(shù)學問題，只有涉及到幾何與代數(shù)性質(zhì)互等的情況下，才能夠?qū)崿F(xiàn)相互融合、相互轉(zhuǎn)變的目標。結(jié)合數(shù)學教學經(jīng)驗總結(jié)來看，由于很多圖象在表達形式上存在一定局限性，所以無法準確現(xiàn)實數(shù)據(jù)，無法保證解題過程的嚴謹性[5]。

例如：數(shù)軸教學是初中生最初接觸數(shù)形結(jié)合的開端，教師需要引導學生掌握初中數(shù)學教學中能夠接觸到的實數(shù)，并通過數(shù)軸表示出來。由于實數(shù)和數(shù)軸中的點相互對應(yīng)，所以只有確保二者性質(zhì)相互等價，才能夠互相轉(zhuǎn)換，從而突出數(shù)學教學的嚴謹性和規(guī)范性。

2.2 雙向性基本原則。將數(shù)形結(jié)合思想引入初中數(shù)學教學中，對某些問題進行單方面的幾何分析或代數(shù)分析，并不能從本質(zhì)上揭露數(shù)學知識。只有二者相互滲透相互轉(zhuǎn)換，才能夠充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用和功能[6]。

例如：在推導平方差和完全平方公式過程中，不僅要通過“數(shù)”來推導多項式的乘法法則，還要通過“形”的方式推導四邊形面積變化情況。如此才能夠?qū)?shù)據(jù)直觀化，將圖象邏輯化，使學生在二者相互轉(zhuǎn)換中理解知識之間存在的聯(lián)系。

2.3 簡單性基本原則。數(shù)學教學中涉及到的不同題目，解題方式不盡相同，一些題目比較偏向于圖象法，其解題過程較為簡單。一些題目則需要通過準確計算數(shù)據(jù)得到結(jié)果。可以看出，解決數(shù)學問題并沒有明確規(guī)定哪種類型題目必須使用哪種方法，需要結(jié)合實際情況來發(fā)分析。

3.數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學教學中的滲透方法

3.1 數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)與代數(shù)中的滲透方法。初中數(shù)學教學中涉及到數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容，主要涵蓋有理數(shù)預(yù)算、函數(shù)表達等內(nèi)容。以有理數(shù)為例，滲透數(shù)形結(jié)合思想，具體可以體現(xiàn)在以下方面：第一，數(shù)的體現(xiàn)。初中階段涉及到的數(shù)學計算需要將有理數(shù)作為基礎(chǔ)。按照定義對有理數(shù)進行分類，可以分為整數(shù)和分數(shù)兩種。按照性質(zhì)符號進行分類，可以分為正數(shù)、零以及負數(shù)三種[7]。具體如圖1所示。第二，形的體現(xiàn)。初中數(shù)學中的數(shù)軸概念，與溫度計讀數(shù)相類似。需要選擇代表性數(shù)據(jù)，結(jié)合所選數(shù)據(jù)與分類在數(shù)軸上的分布情況，可以讀出正確數(shù)值。如圖2所示，0往左的點保濕數(shù)大，0往右的點表示數(shù)小，正數(shù)大于負數(shù)。

圖1

圖2

在此基礎(chǔ)上，教師可以結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想為學生設(shè)置以下問題，如圖3所示，判斷有理數(shù)大小關(guān)系( )，并給出以下四個答案。學生在解題過程中通過直觀的數(shù)軸，能夠直接得出正確答案，即答案“D”。

圖3

3.2 數(shù)形結(jié)合思想在計算公式中的滲透方法。初中數(shù)學教材中涉及到的計算公式相對較少，其中平方差及完全平方公式，能夠通過滲透數(shù)形結(jié)合思想方式進行推導[8]。具體來說：

第一，數(shù)的體現(xiàn)。教師可以通過引入教學情境的方式來解答問題。如：“某正方形花圃變長為a米，后通過改造，其變長變?yōu)?a+2)米，寬變成(a-2)米，求花圃面積？”學生們通過數(shù)據(jù)計算能夠得出以下算式：

(a+2)(a-2)=a2-2a+2a-4=a2-4

學生直接采用多項式乘法法則計算公式，不僅能夠得出最終結(jié)果，還能夠歸納出平方差公式，即：(a+b)(a-b)=a2-b2。在此基礎(chǔ)上，還能夠繼續(xù)推導出類比平方差公式，即(a+b)2·(a+b)2=(a+b)(a-b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2。由此得出完全平方公式，即(a+b)2=a2+2ab+b2

第二，形的應(yīng)用。數(shù)學學科與其他學科不同，需要學生深刻領(lǐng)悟數(shù)學知識，并通過自主觀察、自行總結(jié)找到知識規(guī)律，這就需要教師在實際教學中提高學生的概括能力和觀察能力。具體可以從學生的日常生活入手，激發(fā)學生的學習興趣和探索欲望。如圖4所示，已知某長方形的長和寬分別為a+b米和a-b米，在該長方形中裁剪出一個小長方型，長為a-b，寬為b(a>b>0)，將裁剪掉的部分拼成圖4，計算面積，可以得出以下等式：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2，在此基礎(chǔ)上可以推導出平方差公式，(a+b)(a-b)=a2-b2。

學生通過計算，能夠深刻理解“兩個數(shù)的平方差是二者之和與二者之差的乘積”這一概念。

圖4

3.3 數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的滲透方法。初中數(shù)學7年級教材中，首次涉及到函數(shù)概念，在后續(xù)學習中，函數(shù)概念以循序漸進的方式與各種知識相結(jié)合。將數(shù)形結(jié)合思想引入函數(shù)教學中，可以從以下方面分析：

第一，數(shù)的體現(xiàn)。在實際教學中，教師需要設(shè)置以下問題，引出函數(shù)有關(guān)知識，調(diào)動學生思維：問題一“已知電視的對角線長度為34英尺，將其換算為公制為多少厘米？”問題二“對不同電視尺寸進行計算，并換算成公制，為多少厘米？”問題三“已知某電視對角線長度為x英寸，換算公制后為y厘米，能否用y和x代數(shù)式表示？”問題四“區(qū)分以上問題中的常量和變量，并探究哪個變量能夠確定y值？”在分析第三個問題時，y可以用含x的代數(shù)式來表示，即y=2.54x，這里的2.54為常量，y和x為變量。X取值能夠決定y取值，所以可以通過代數(shù)式總結(jié)函數(shù)概念。其解題思路如下：問題一：2.54×34=86.36(厘米)，問題二：電視機對角線長度為42英寸，換算公制為2.54×42=106.68(厘米)，問題三：y=2.54x，問題四，2.54為常量，y和x是變量，x取值能夠決定y取值。

第二，形的體現(xiàn)。如圖5所示，觀察溫度變化情況，回答一下幾個問題：問題一：( )時溫度最高，達到( )度。問題二：共( )個小時，溫度維持在31℃之上。問題三：9時溫度為( )℃、12時溫度為( )℃、21時溫度為( )℃。問題四：從( )時到( )時氣溫呈上升趨勢。問題五“圖象中哪些為變量”。學生通過觀察圖像可以對數(shù)軸有更加深刻的認識，并通過數(shù)軸得出準確的數(shù)據(jù)。解題結(jié)果如下：問題一15時溫度最高，為37℃；問題二：共10個小時溫度維持在31℃以上。問題三：9、12、21時的溫度分別為26℃、31℃、33℃；問題四：從3時到15時溫度不斷上升；問題五：圖象中溫度和時間均為變量。

圖5

3.4 數(shù)形結(jié)合思想在綜合與實踐中的滲透方法。初中數(shù)學中的綜合與時間，主要是引導學生通過所學數(shù)學知識，解決實際生活中遇到的問題。眾所周知，初中數(shù)學教學大多以課堂學習為主，實地調(diào)查機會較少，所以開展綜合與實踐教學活動時，主要通過數(shù)學知識解決問題。例如：在多邊形的密鋪教學過程中，教師需要從以下方面入手：首先，可以通過不同圖形在地板中的拼接情況，讓學生了解密鋪的概念，同時掌握哪些圖形能夠滿足密鋪需求。在此基礎(chǔ)上，教師可以設(shè)計教學活動，為學生分法不同形狀的圖形，引導學生通過自行操作或小組合作的方式進行拼接，同時歸納哪些性質(zhì)詭辯性能夠密鋪，并在操作中找到規(guī)律。學生操作完畢后，教師可以開展交流活動，并設(shè)置以下問題“是不是任何四邊形或三角形圖案都能夠密鋪？”學生通過動手和探索可以得出以下結(jié)論：第一，在確保四邊形形狀和大小相同的情況下，可以實現(xiàn)密鋪。第二，三角形即便形狀和大小不同，也能夠?qū)崿F(xiàn)密鋪[9]。與此同時，教師需要引出下一個問題：“多邊形具備那種性質(zhì)能夠密鋪？”通過實踐來看，引入數(shù)形結(jié)合思想，既能夠從“數(shù)”的層面對多變形內(nèi)角和進行計算，有能夠從“形”的層面對多邊形進行拼接，如此既能夠使學生切身參與到數(shù)學活動中，又能夠激發(fā)學生的探索積極性。長此以往有利于幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣，從而提高教學有效性。

由此可見，在解決復雜問題過程中，通過數(shù)形結(jié)合思想，能夠?qū)栴}簡單化，有利于學生以更加直觀、更加便捷的方式得出最終結(jié)果，如此不僅能夠節(jié)約學生時間，還能夠提高學生數(shù)學知識應(yīng)用意識，從而達到數(shù)學教學的最終效果。

結(jié)束語

綜上所述，初中數(shù)學涉及到諸多概念、理論和定義，對于學生而言學習難度較大，如果教師依然沿用傳統(tǒng)灌輸式教育方法，憑借口語講述和公式推導的方式引導學生學習，則很難使學生形成完整的知識結(jié)構(gòu)，不利于學生掌握數(shù)學知識，自然無法達到理想的數(shù)學教學效果。而引入數(shù)形結(jié)合思想，使“數(shù)”與“形”相互融合、相互滲透，能夠數(shù)學知識簡單化，便于學生以更加直觀、更加靈活的方式發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識之間的規(guī)律，從而提高解題能力，并培養(yǎng)學生的空間思維和邏輯思維，從而有效提高教學有效性。