問題驅動教學的內在邏輯思考
——以“正方體截面的形狀”課題為例

■江西師范大學數學與統計學院 任琛琛 楊夢歡 楊蘇丹

高中數學立體幾何初步的學習要求有：運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質，并建立空間觀念。在“正方體截面的形狀”的教學過程中，可以利用問題驅動教學，培養學生的邏輯推理能力；通過教學模具的活動式探究，培養學生的操作實踐能力；結合教育技術中“幾何畫板”，培養學生的直觀想象能力。基于此，本文通過案例探究如何在高中數學教學中應用問題驅動法。

問題驅動教學法即基于問題的教學方法(Prob?lem-Based Learning，PBL)。問題驅動教學法是一種以學生為主體、以專業領域內的各種問題為學習起點，以問題為核心規劃學習內容，讓學生圍繞問題尋求解決方案的一種學習方法，這種方法不像傳統教學那樣先學習理論知識再解決問題。教師在教學過程中的角色是問題的提出者、課程的設計者以及結果的評估者。傳統的高中數學立體幾何的教學比較重視定理的推理過程，即使在強調發展學生核心素養的新課程標準下，高中立體幾何教學在操作上還是容易出現“滿堂灌”的形式，教師對立體幾何的推導過程做好了應有的設問，學生不必要也難以提出自己的思考和問題。學生在這樣的立體幾何學習過程中容易產生思維定式，不利于培養學生發現和提出問題的邏輯推理能力。史寧中先生曾言：“引導學生用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界。”基于此，筆者以章節起始課“正方體截面的形狀”為例，結合問題驅動教學和活動式課堂，關注和培養學生提出問題的能力。

一、了解學生，對“癥”下“藥”

在學習“正方體截面的形狀”之前，學生已經學習了“立體幾何初步”，對三維空間有初步的認識；對簡單的幾何體的基本特性和直觀圖、三視圖有基本了解；對空間的點、線、面的位置關系有了一定的理解，并初步學會用數學語言來描述和論證某些位置關系（特別是平行和垂直關系）；對直觀感知、操作確認、思辨論證和度量計算等方法有了一定的體驗；有一定的空間想象能力、初步有了推理論證和運用圖形語言進行交流的能力。但是學生對幾何體截面的概念不明晰，學生的抽象能力也處于初步發展的狀態。因此，筆者認為在教學過程中要關注學生對截面的概念學習，培養學生對立體幾何的截面空間想象能力。

二、把握目標，有“的”放“矢”

《普通高中數學課程標準》（2017年版2020年修訂）中立體幾何初步的學習要求有：運用直觀感知、操作確認、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質，并建立空間觀念。基于“正方體截面的形狀”的教學，利用問題驅動教學設置問題串，培養學生的邏輯推理能力；通過教學模具的活動式探究，培養學生的操作實踐能力；結合現代教育技術“幾何畫板”，彌補學生不便于操作難以得到較全的復雜模型的遺憾，為培養學生的直觀想象能力提供教學支點。學生通過“正方體截面的形狀”的課題學習，在利用小組討論、借助道具以及利用軟件的探究正方體截面實際操作過程中，體會“關注如何獲得知識，比關注得到別人給予的知識更重要”；體會到“問題是思考的結果，是深入思考的開始”；從而培養學生提出問題、分析問題、解決問題的數學學習能力。

三、設計教學，“層”層遞進

（一）創設情境、提出問題

通過視頻的展示，讓學生了解生活中有各種各樣幾何體截面的形狀。

【設計意圖】基于學生學情出發，大多數學生在學習立體幾何初步之前，對立體幾何的截面了解甚少，單獨講述什么是截面過于枯燥，由此筆者進行視頻導入，讓學生直觀感受截面形狀，得到截面的概念；拋出問題1：正方體的截面有哪些類型？

在學生的探究過程中，可以預設到學生容易得出的正方體截面為正方形和三角形的兩種情形。

（二）實驗探究、分析問題

探究活動1：教師明確給定實驗器材的標準，通過轉動裝有水的正方體，利用平靜的水面更好地反映正方體截面的形成及其變化特征。教師做示范展示，學生分小組利用實驗器材探究正方體的截面形狀類型。

【設計意圖】傳統的正方體截面教學是教師通過作圖向學生展示，這對學生的想象能力要求較高，而這階段的學生很難全部達到較高的抽象想象能力，因此筆者結合教具讓學生直觀感知正方體截面的形狀。活動預測大多數學生實驗探究將得到正方體截面結果可能是三角形、四邊形，個別同學也許會實驗得出六邊形截面。

探究活動2：教師用幾何畫板課件演示學生在活動1的探究結果。演示的過程中師生研討交流，討論問題2：會不會出現七邊形和八邊形？

【設計意圖】利用現代教育技術佐證實驗結果，彌補教具實驗中的客觀局限性，更清晰地模擬出正方體截面的形狀。通過截面概念的辨析，得到正方體截面多邊形的邊數上限為6，開啟對正方體截面形狀特征探究。

探究活動3：關于正方體三角形截面的探究。利用教具以及現代教育技術，小組探究正方體三角形截面形狀，拋出問題3：正方體有幾類三角形截面？小組派代表展示，教師點評，研究的過程中教師可以引導學生按角、按邊進行分類研究。

探究結果：按邊分類：等腰三角形（等邊三角形）、非等腰三角形。按角分類：銳角三角形，不會出現直角三角形和鈍角三角形。在此基礎上將利用余弦定理等方法對探究結果給予證明。

【設計意圖】根據分類原則先確定研究的路徑，通過直觀想象、數學建模和演算等邏輯推理的數學思考探究結論，利用分類討論融入分類思想。

探究活動4：關于正方體四邊形截面的探究。同樣利用教具、幾何畫板對正方體四邊形截面探究，引導學生利用邊、角分類進行探究。拋出問題4：正方體可以截出幾類不同的四邊形？會有正四邊形嗎？并且讓學生小組討論如何利用立體幾何公理、定理證明四邊形不可能出現直角梯形。

探究結果：兩組對邊分別平行；只有一組對邊平行；不會出現直角梯形。（如圖1）

圖1

【設計意圖】通過觀察四邊形截面形狀，找出共性，從而引導學生能從截面定義解釋為什么四邊形截面一定有一組對邊平行，探究過程中分類討論再次融入分類思想。

探究活動5：關于正方體五邊形截面的探究。利用關于對正方體的四邊形截面的探究活動的方法對正方體五邊形截面探究，按照之前探究活動提出問題5：正方體五邊形截面會有怎樣的性質？會有正五邊形嗎？

探究結果：兩組邊分別平行。

【設計意圖】利用四邊形討論的方法，類比探究正方體截面五邊形的特征，融入類比思想，并探究得出不會出現正五邊形。

探究活動6:關于正方體六邊形截面的探究。類比四、五邊形截面的探究方式，得到六邊形截面的特征。

探究結果：三組邊分別平行。

【設計意圖】通過問題“正方體中,試畫出其中三條棱的中點P,Q,R的平面截得正方體的截面形狀”的解決；實現探究：正方體會出現正六邊形截面。

探究活動7：根據活動的探究進程，自然拋出問題6：正方體的截面最多有多少種？歸納有哪有幾種正多邊形？師生共同歸納總結：正方體截面最多會出現正三角形、正方形、正六邊形。

（三）小試牛刀，解決問題

習題1：一個棱長為3的正方體給定三個點M、N、P(如圖2)，若

圖2

試一試，如何沿著這三個點做出一個截面？

活動重點：準備一個道具和彩筆。各組的同學共同討論，看哪一組畫得好，畫得快，說得清。

【設計意圖】通過畫圖訓練，讓學生結合探究活動的直觀感知，抽象出截面形狀，落實從直觀想象到抽象思維的轉化，同時小組探究也有助于解決學生在訓練過程中遇到的難點，教師可以分組進行點撥，提高課堂效率。

（四）課堂小結，歸納問題

教師在這個環節可以從學習的主要內容以及探究的方法兩方面展開，滲透教知識、學經驗的新課程標準教學理念。

歸納問題：主要用到立體幾何中的哪些公理與定理（師生共同進行建構知識系統）以及探究的步驟？回顧我們是怎樣研究正方體的三角形截面的？我們在數學建模、演算、推理驗證時，感悟到什么數學思想，應用了那些數學知識，沿用了什么活動經驗？

【設計意圖】課堂不應只關注知識的發生發展，也應關注學生的思維生長，注重學習、活動經驗的積累，讓學生總結，讓學生學會用“數學的語言表達問題”。

（五）課后思考、延伸問題

學習不僅發生在課堂上，非常有必要把空間和時間延續到課外，教師應根據學生的學情布置相應的課后思考題，供學有余力的同學深度學習。筆者基于學生的基礎能力，布置了如下思考題：

(1)通過對正方體截面形狀的探究方法，能否類比到其他幾何體？（如圓錐、圓柱、正四面體等。）

(2)與正方體的棱平行的截面有何特征？與正方體體對角線垂直的截面有何特征？

四、設計反思，追“本”溯源

立體幾何研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關系。高中“立體幾何初步”的教學重點是幫助學生逐步形成空間觀念，應遵循從整體到局部、從具體到抽象的原則，提供豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現空間幾何體，幫助學生認識空間幾何體的結構特征，進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能。“正方體截面的形狀”在立體幾何的教學中屬于較為抽象以及較難的知識點，筆者的教學設計利用上述七個探究活動和六個問題串，通過活動的層層遞進，問題的逐步深入，讓學生體會數學的基礎知識、基本技能、數學的思想方法和活動經驗在探究活動中的運用。從簡單的截面形狀——三角形出發到多邊形，自然引導學生由一般到特殊思考：截面正多邊形的類型。在活動探究的過程，活動3到活動6這四個活動讓學生利用已有的互動探究經驗，反復利用分類、類比思想解決問題，最后通過立體幾何定理讓學生從理論的高度上驗證猜想，得出結論，提供了嚴密的邏輯推理范式，學生可以養成嚴謹的邏輯思維。眾所周知，邏輯推理能力是高中立體幾何非常重要的一種能力，其中合情推理（分類、類比）占有非常大的比例。因此本節課的設計即是新知的探究，也是促進立體幾何能力的培養和提升的實踐設計。

五、結語

問題驅動教學法能提高學生學習的主動性，提高學生在教學過程中的參與程度，容易激起學生的求知欲，活躍思維，能達到訓練學生主動探求知識、自主創新思維的學習目的。通過設計探究活動，利用問題層層遞進引導學生探究正方體的截面，可有效幫助學生掌握相關知識。在問題串的引導下，學生對探究活動和動手實踐驗證充滿興趣，學習積極性得到極大激發，可有效提高探究能力和思維能力，邏輯思維與學習效果也能得到有效提升。