基于節點高程差的DMA 邊界劃分研究

谷洋

（浙江大學建筑工程學院，杭州 310058）

0 引言

隨著智慧水務城市建設的逐漸推進，以被動檢漏為主的傳統技術手段和以經驗為主的管理模式已經無法適應日趨龐大和復雜的供水管網。作為管網漏損控制的最小管理單元，獨立計量區域（District Metered Areas,DMAs）逐漸成為了漏損主動管理最有效的途徑之一，通過關閉管道閥門將部分管段截斷，把供水管網劃分成若干個相對獨立的區域，并在每個區域入口和出口管道上加裝流量計，實現對各分區流量的實時監測，能及時發現供水管網漏損點的位置，并修復止損，提升管網的精細化和網格化管理水平[1]。

DMA 分區管理的基礎在于分區邊界管段的確定，根據目前的研究，主要有人工經驗分區和算法自動分區兩種方法。其中，人工經驗分區是指根據管理者的主觀經驗，綜合考慮行政邊界、河流道路、用戶數量等要素劃定DMA 邊界，并利用水力模型檢驗分區效果。但實踐表明對于結構復雜的大型環狀管網，使用人工經驗分區存在諸多局限性。一來管網規模的增大會增加分區校驗的難度和時間；二來經驗法沒有充分考慮到供水管網的水力運行條件，難以確定邊界閥門的最佳安裝位置。因此，很多學者進行了算法自動分區的研究。算法分區方法通常以圖論為基礎，通過將復雜的管網結構等效成拓撲圖模型，再借助算法完成DMA分區。

Sempewo[2]等以節點需水量和管段長度作為節點權重，以管徑作為邊的權重構建管網的加權拓撲圖，利用METIS 圖劃分軟件進行分區，使得各DMA 間邊界管段數量最小化。Di Nardo[3]等先提出了一種基于圖論和遺傳算法的DMA 分區方法，該方法指出節點和管段的最佳權重組合是需水量和耗散功率，并以耗散功率最小化為優化目標確定了閥門和水表的安裝位置；之后又提出使用譜聚類算法進行分區[4]，使用平均割和規范割兩種劃分方式，尋找最佳分區方案。Herrera[5]等先是以需水量和管徑作為節點和管段的權重構建相似矩陣，但運算效率較低。為了改進這一問題，又提出了一種多智能體自適應譜聚類算法[6]，該方法以水源為起始點，迭代搜索與之相似的節點形成DMA，但受水源數量的限制，計算得到的分區數量不能多于水源點數量。Diao[7]等提出了一種基于拓撲結構演化的DMA 分區方法，該方法依據復雜系統分解原理研究管網的社區結構（即DMA），并使用模塊度指標量化分區效果，使得社區內部連接邊密集，社區之間連接邊較少。

文中提出了一種基于節點高程差的供水管網DMA 邊界劃分方法，引入管網節點的高程差改進相似矩陣并使用譜聚類算法求解。通過選定合適的分區數量，使得改進結果在不影響分區規模均衡性的基礎上，改善同一分區內節點高程的均衡性。

1 供水管網DMA 分區邊界模型的建立與求解

1.1 基于節點高程差的相似矩陣的構造

在供水管網圖模型中，選取合適的管網屬性定義節點相似度（即管段權值），進而構建相似矩陣是求解DMA 劃分邊界最基礎、也是最關鍵的一步。

傳統譜聚類算法通常用高斯核函數構造相似矩陣，但在實際供水管網DMA 分區中，還要考慮地理條件、分區規模、供水安全性等因素對分區的影響。文中主要考慮地形高程這一因素，將地形高程的變化等效成管網標高的變化，因為在供水管網布置中，通常是順著地形高程的變化敷設供水管道地形的高程很大程度上決定了管網節點的高程[8]。而節點間的高程變化又直接影響到管網供水壓力的分布，尤其是針對山地或丘陵地區的供水管網，節點高程差較大容易造成供水壓力分布不均勻，形成局部的高低壓區域。高地勢區的用戶水壓通常難以保證，而低地勢區的用戶水壓會產生冗余，存在爆管和漏損的風險。同時，分區地勢跨度較大還會增加管道埋設的難度和施工成本，為日常的運營維護帶來困難。因此，在分區時應盡量保證同一個DMA 內節點高程的一致性。

文中利用管網節點間的高程差ΔHij來構造相似矩陣，相似矩陣表示為：

式中，ΔHmax為管網所有節點間高程差的最大值，m；ΔHij為節點i、j 間的高程差，m；NP為管網的管段數。

為檢驗算法的改進效果，文中選用一種基于局部標準差的自適應譜聚類算法[9]作為改進前的算法進行對比，該算法在傳統譜聚類算法上進行改進，為每個樣本點i 設定一個局部標準差尺度參數σstd,i，避免了人為設定全局尺度參數σ 對算法本身的影響，改進前算法的相似矩陣表示為：

式中，||xi-xn||表示樣本點i、n 間的歐式距離；p 為預先設定的樣本點i 的計算近鄰數；σstd,i反映了樣本點i 與其前p個近鄰點間距離的標準差。

1.2 DMA 分區數量的選擇

使用譜聚類算法進行DMA 分區時，分區數量k的選擇是很關鍵的一步，它直接影響著分區規模的大小、經濟可行性和水力可靠性。傳統方法依據用戶數、用戶需水量和管線長度等因素擬定分區數量，但主觀性較強，而且對于大型復雜管網耗時耗力，直接擬定的分區數量很難滿足最佳水力運行條件。文中選用邊界管段數量、聚類有效性指標STDI[10，11]和模塊度Q 三個指標評估DMA 的邊界劃分方案，初步選擇合適的分區數量。其中，聚類有效性指標STDI 定義為：

式中，xtotal為所有節點的質心；xN為第N個分區中所有節點的質心；xi為第N個分區中的第i個節點；n為第N個分區的節點數量；k 為分區數量。模塊度Q 定義為：

式中，m 為管網管段數；Wij為管網圖模型的相似矩陣；di、dj為節點i、j 的度；δ 為克羅內克函數，用于判斷節點i 和j 是否在同一個DMA 內，若節點i 和j 同屬于一個DMA，則δij=1，否則δij=0。

邊界管段的數量越少，表明需要安裝的閥門和流量計的數量越少，經濟成本越低；聚類有效性指標STDI 可以有效表征子圖內部的緊密性和子圖間的分離性，STDI 的值越大，表明聚類的效果越好；模塊度Q來源于社區發現算法，用來定量描述社區劃分的模塊性水平，Q 的最大值是1，Q 值越接近1，表明DMA 劃分效果越好。

1.3 DMA 邊界模型的求解

文中使用譜聚類算法求解DMA 邊界模型，它是一種基于譜圖劃分理論的聚類算法，基本思想是以樣本對象為頂點V，以樣本間相似度對連接邊E 賦權重w，構造無向有權圖G=（V，E），進而將聚類問題轉化為圖的最優劃分問題[12]。求解時需要運用維度規約的思想對問題進行連續放松來減少約束，將其轉化為相似矩陣或Laplacian 矩陣的譜分解問題[13]，使劃分得到的子圖內部相似度最大，子圖間的相似度最小。圖1 為使用譜聚類算法求解DMA 邊界模型的基本流程。

圖1 DMA 邊界模型的求解流程

這里分別使用基于局部標準差和節點高程差的自適應譜聚類算法作為改進前后的算法對供水管網節點進行聚類，兩種算法的唯一區別在于相似矩陣的構造。對于改進后的譜聚類算法，只需要導入管網模型外部文件（.inp），便可利用EPANETH 功能函數提取節點高程等參數，直接生成相似矩陣；但對于改進前的算法，還需要導入管網地圖文件（.map）中的節點坐標，并人為給定計算近鄰數p，才能得到相似矩陣。

2 算例驗證

2.1 算例管網介紹

采用文獻［14］中的Modena 管網，所有數據均沿用原文。該管網有268個需水節點，4個水源節點，317根管段，管網總長約72km，總需水量為406.94L/s，需水節點標高的最大值為30.39m，最小值為41.83m，管網最小服務水壓為14m。

2.2 DMA 分區數量的初選

預設管網的分區數量范圍為2～15個，取改進前算法的計算近鄰數p=2，并依次使用改進前后的譜聚類算法求解得到不同的聚類方案，最后計算不同分區數量對應的邊界管段數、聚類有效性指標STDI 和模塊度Q 進行對比評估。圖2、圖3 分別為不同分區數量下3個指標的比較。

圖3 分區聚類有效性指標和模塊度的比較

從圖2 可以看出，隨著分區數量的增加，邊界管段的數量逐漸增多，意味著安裝閥門和流量計的數量和費用會隨之增加。對比算法改進前后的指標值可以發現，當分區數量大于3個時，引入節點高程差改進后的邊界管段數量較改進前均有增加，原因在于Modena 管網標高分布呈單向層次（即西高東低），在構造相似矩陣時，沿管網等高線方向的管段權值較大，這樣聚類就會使得分區層次相對明顯，但產生的邊界長度也會隨之增加，需要“截斷”更多的管段。因此在確定分區數量時，應優先選擇邊界管段數量較少，且算法改進對其影響較小時對應的分區數量。

圖2 分區邊界管段數量的比較

從圖3 可以看出，隨著分區數量的增加，STDI 逐漸減小，Q 逐漸增大，且當分區數量大于6個時，指標值的變化速度減緩，表明聚類效果不再有明顯改變。對比算法改進前后的指標值可以發現，引入節點高程差使得STDI 和Q 值均有所增加，且當分區數量k=3、4、5時，STDI 值變化較大，表明引入節點高程差使得分區內部聯系更加緊密，體現出改進后算法的明顯優勢；相比之下，Q 對于算法改進的敏感度不強。因此在確定分區數量時，應優先選擇STDI 和Q 值均較大時對應的分區數量，還應兼顧算法改進對指標變化的影響。

綜合考慮以上3個評價指標，初選DMA 分區數量為3個或4個，得到對應的改進前后分區示意圖如圖4、圖5 所示。

圖4 分區數量k=3 時的Modena 管網DMA 邊界劃分結果

圖5 分區數量k=4 時的Modena 管網DMA 邊界劃分結果

2.3 DMA 邊界劃分結果分析

2.3.1 分區高程均衡性評價

為了驗證改進算法在DMA 邊界劃分中的優化效果，文中選用分區節點高程變差系數Cv,H衡量各DMA內高程的均勻性，指標定義為：

式中，Hav為分區內節點的平均高程，m；Hi為分區內節點i 的高程，m；n 為分區內的節點數。Cv,H越小，表明分區內節點的高程值越接近，算法改進的效果越明顯。

表1、表2 分別為分區數量為3個和4個時，各分區在算法改進前后的節點高程變差系數的比較。通過計算得到，改進后DMA 分區內高程均衡性分別提高了16.06%和23.39%，表明引入節點高程差構造相似矩陣對改善分區高程均勻性、克服地勢對DMA 分區的影響有較大意義，且當分區數量為4個時，高程改進效果更明顯。

表1 分區數量k=3 時的各分區節點高程變差系數的比較

表2 分區數量k=4 時的各分區節點高程變差系數的比較

2.3.2 分區規模均衡性評價

在DMA 分區管理中，分區規模的大小會直接影響管理的難度和效果，規模相差較大會提高管網漏損和爆管的識別定位難度，增加不必要的經濟成本，因此文中另選用分區規模均勻度FS對劃分方案進行核算，確保算法在改善分區高程均衡性的同時，不破壞分區規模的均衡性。指標定義為：

式中，Wd,i為第i個分區的總需水量，L/s；Wd,av為所有分區的平均需水量，L/s；k 為分區數量。從定義可以看出，FS是用需水量來表征分區規模差異性的，即FS越小，表明各分區需水量差異越小，分區規模越均衡。

表3、表4 分別為分區數量為3個和4個時，各分區在算法改進前后的需水量和節點數量的比較。通過計算得到，當k=4 時，改進前后的FS分別為25.63 和22.49，引入節點高程差使得分區規模均衡性提高了12.25%；但當k=3 時，改進前后的FS分別為11.92 和35.78，指標增加了近2 倍，顯然，節點高程差的引入破壞了分區規模均衡性，不利于DMA 的計量管理。

表3 分區數量k=3 時的各分區需水量和節點數量的比較

表4 分區數量k=4 時的各分區需水量和節點數量的比較

綜上所述，將Modena 管網分為4個DMA 更為合理，既實現了較好的聚類效果，節約邊界設備的布置成本，又可以在不影響分區規模的基礎上提高分區高程的均勻性，降低地勢跨度對DMA 分區的影響，從而間接改善供水壓力分布，維持管網的供水安全性。

3 結語

文中將供水管網等效成節點和管段的無向有權圖，提出了一種基于節點高程差的DMA 邊界劃分方法。該方法引入管網節點高程差改進相似矩陣，并使用譜聚類算法求解，盡可能保證同一分區內節點高程分布更加均勻。同時從邊界管段數量、聚類有效性指標和模塊度3個指標量化聚類效果，確定合適的分區數量。文中使用Modena 實例管網驗證了分區方法的有效性，可以為水務公司，尤其是山地或丘陵地區的水司提供DMA 分區方法的參考。