基于三點(diǎn)公式的直角四面體優(yōu)化模型

向楓樺，楊賓峰，趙 震，李 博，郭嬌嬌

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院，陜西 西安 710077)

0 引言

磁場(chǎng)具有抗干擾能力強(qiáng)、穿透性強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)[1]，在室內(nèi)、水下、地下以及人體這些特殊環(huán)境中作用尤為突出[2-4]，已經(jīng)成為一個(gè)研究熱點(diǎn)，涉及磁場(chǎng)的技術(shù)主要有磁傳感器技術(shù)[5]和磁測(cè)量技術(shù)[6]。

常見(jiàn)的磁傳感器模型有平面模型和立體模型，平面模型主要有三角形、正方形和十字形等傳感器模型，立體模型主要有直角四面體、正四面體和正六面體等結(jié)構(gòu)。三角形傳感器的設(shè)計(jì)思想屬于兩點(diǎn)公式，由于兩點(diǎn)公式誤差較大，因此該結(jié)構(gòu)測(cè)量精度不高[7]。正方形傳感器采用三點(diǎn)公式中的端點(diǎn)公式，由于三點(diǎn)公式優(yōu)于兩點(diǎn)公式，因此該結(jié)構(gòu)測(cè)量精度優(yōu)于三角形結(jié)構(gòu)，但是在z軸方向誤差較大[8]。十字形傳感器采用三點(diǎn)公式中的中點(diǎn)公式，由于中點(diǎn)公式優(yōu)于端點(diǎn)公式，因此該結(jié)構(gòu)測(cè)量精度優(yōu)于正方形結(jié)構(gòu)，但是同樣在z軸方向誤差較大[9]。直角四面體傳感器雖然可以充分利用每個(gè)軸上的磁場(chǎng)信息，但是由于采用兩點(diǎn)公式，因此整體誤差較大[10]。正四面體傳感器運(yùn)用差分方程進(jìn)行求解，雖然方法新穎，但是最后的測(cè)量精度同樣不高[11]。正六面體傳感器采用三點(diǎn)公式中的端點(diǎn)公式設(shè)計(jì)思想，雖然充分利用了三個(gè)軸上的信息，但是測(cè)量點(diǎn)與磁偶極子位置偏差較大，測(cè)量精度同樣不高[12]。總之，傳統(tǒng)傳感器模型存在誤差大或者無(wú)法充分利用z軸磁場(chǎng)信息的問(wèn)題。本文針對(duì)此問(wèn)題，提出基于三點(diǎn)公式的直角四面體優(yōu)化模型。

1 磁場(chǎng)梯度張量與數(shù)值微分基礎(chǔ)

1.1 梯度張量矩陣

磁梯度張量(magnetic gradient tensor ,MGT)蘊(yùn)含了大量的磁場(chǎng)信息[13]。MGT是磁場(chǎng)梯度測(cè)磁技術(shù)的擴(kuò)展和發(fā)展，磁感應(yīng)強(qiáng)度的三分量在三個(gè)方向上的分量變化率就是磁梯度張量矩陣，磁梯度張量矩陣一共有9個(gè)元素[14]，記作G，如下式：

(1)

根據(jù)Maxwell方程組，磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度和旋度均為0，可以推出：

(2)

然后可以得出如下結(jié)論：

(3)

在式(3)中，可以看出梯度張量矩陣中的9個(gè)量只有5個(gè)獨(dú)立的元素。

1.2 梯度張量矩陣?yán)碚撝涤?jì)算

任意一點(diǎn)A(x,y,z)的磁場(chǎng)三分量為：

(4)

在式(4)中，可以看出Bx和By是關(guān)于x和y的輪換對(duì)稱多項(xiàng)式。

將式(4)中的磁場(chǎng)三分量分別求偏導(dǎo)數(shù)，得到理論上的獨(dú)立的五個(gè)磁梯度張量的表達(dá)式為：

(5)

1.3 數(shù)值微分基礎(chǔ)

如果一個(gè)函數(shù)f(x)滿足Δx=xk+1-xk=xk+2-xk+1足夠小這個(gè)條件時(shí)，并將這個(gè)函數(shù)記為f(x)=f(xk)。

則有：

1)兩點(diǎn)公式：

(6)

(7)

2)三點(diǎn)公式：

①端點(diǎn)公式：

(8)

(9)

②中點(diǎn)公式：

(10)

2 基于三點(diǎn)公式的直角四面體模型

2.1 直角四面體模型

傳統(tǒng)直角四面體模型一共4個(gè)傳感器，每個(gè)軸上都分布兩個(gè)傳感器，相鄰傳感器之間的距離相等，如圖1所示。

圖1 直角四面體傳感器模型Fig.1 Right-angle tetrahedral sensor model

根據(jù)兩點(diǎn)公式，得到MGT的獨(dú)立元素表達(dá)式為：

(11)

2.2 基于端點(diǎn)公式的直角四面體模型

由于端點(diǎn)公式需要用3個(gè)點(diǎn)來(lái)計(jì)算導(dǎo)數(shù)，因此每個(gè)軸上需要3個(gè)傳感器。如圖2所示，該模型一共7個(gè)傳感器，每個(gè)傳感器的型號(hào)大小一樣，每個(gè)軸上都分布3個(gè)傳感器，相鄰傳感器之間的相等，大小均為d。

圖2 基于端點(diǎn)公式的傳感器模型Fig.2 Sensor model based on endpoint formula

根據(jù)端點(diǎn)公式，得到MGT的獨(dú)立元素表達(dá)式為：

(12)

2.3 基于中點(diǎn)公式的直角四面體模型

如圖3所示，該模型一共6個(gè)傳感器，每個(gè)軸上都分布2個(gè)傳感器，相鄰傳感器之間的距離相等，大小為d。

圖3 基于中點(diǎn)公式的傳感器模型Fig.3 Sensor model based on midpoint formula

根據(jù)中點(diǎn)公式，MGT的獨(dú)立元素表達(dá)式為：

(13)

在式(13)中，由于該模型既可以測(cè)量出Bxy，又可以測(cè)量出Byx，并且兩者的值大小不一樣，為了充分利用磁場(chǎng)的信息，因此，對(duì)于Bxy是取兩者的平均值，其他量也類似。

3 仿真分析與優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 測(cè)量陣列

利用Matlab軟件，對(duì)基于中點(diǎn)公式和基于端點(diǎn)公式的測(cè)量陣列進(jìn)行理論仿真。以磁偶極子為原點(diǎn)建立三維坐標(biāo)系，采樣陣列為81個(gè)點(diǎn)，其中z軸的距離恒定為1 m，x軸從-2 m到2 m，間隔為0.5 m，取9個(gè)點(diǎn)、y軸從-2 m到2 m，間隔為0.5 m，也取9個(gè)點(diǎn)，建立如圖4所示的一個(gè)9×9的方格測(cè)量陣列。

圖4 測(cè)量陣列分布Fig.4 Measurement array distribution

3.2 不同傳感器模型的對(duì)比

為了比較不同傳感器模型的測(cè)量精度，在上述的測(cè)量陣列上對(duì)MGT中的5個(gè)獨(dú)立元素進(jìn)行仿真計(jì)算，并與理論值進(jìn)行對(duì)比分析，在Matlab中分別得到基于端點(diǎn)公式和中點(diǎn)公式的獨(dú)立元素分布圖，如圖5所示。

在圖5中：基于中點(diǎn)公式的傳感器模型的獨(dú)立元素分布曲線基本上與理論曲線一致；基于端點(diǎn)公式的傳感器模型獨(dú)立元素分布曲線與理論曲線在曲線形狀和曲線寬度上不一致。

為了進(jìn)一步比較傳感器模型的精度，引入了常見(jiàn)的精度最高的十字形傳感器模型，與基于三點(diǎn)公式的兩種改進(jìn)型模型進(jìn)行對(duì)比分析。

相對(duì)誤差計(jì)算公式：

(14)

得到的相對(duì)誤差分布如表1所示。

表1 不同模型傳感器的相對(duì)誤差對(duì)比Tab.1 Error comparison of different model sensors

在表1中，基于中點(diǎn)公式的傳感器由于在x-y平面的設(shè)計(jì)與十字形相同，因此兩者的定位精度一樣，但是由于增加了z方向的傳感器，因此，在z方向上測(cè)量精度更高。

選取效果最好的中點(diǎn)公式模型，仿真得到的三維分布圖如圖6所示。

圖5 獨(dú)立元素的對(duì)比圖Fig.5 Contrast figure of individual elements

圖6 三維分布圖Fig.6 Three-dimensional distribution

在圖6中，Bxx關(guān)于x軸對(duì)稱，Bxy關(guān)于x軸和y軸平分線對(duì)稱，Bxz關(guān)于x軸和z軸平分線對(duì)稱，Byy關(guān)于y軸對(duì)稱，Byz關(guān)于y軸和z軸平分線對(duì)稱。

3.3 目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建

將磁場(chǎng)三分量以函數(shù)形式表示為：

(15)

在基于中點(diǎn)公式的傳感器中，不再以等距建立模型，在x，y軸上，增加一個(gè)偏量ad，z軸方向增加一個(gè)偏量bd，同時(shí)保持同一個(gè)方向的傳感器的距離為2d，建立的磁場(chǎng)梯度的5個(gè)獨(dú)立元素的誤差函數(shù)如下。

構(gòu)建以下這個(gè)優(yōu)化模型，在-1～1范圍內(nèi)，求解f(a,b)的最小值，具體模型如下所示：

(16)

(17)

3.4 親和力計(jì)算

親和力計(jì)算公式為：

(18)

式(18)中，tk是抗原和抗體k的結(jié)合強(qiáng)度。

結(jié)合強(qiáng)度tk采用海明距離計(jì)算，表達(dá)式為：

(19)

3.5 免疫克隆算法實(shí)現(xiàn)流程

步驟1 初始化

設(shè)置免疫個(gè)體的維數(shù)為2，最大免疫代數(shù)為200次，免疫范圍的上限為1、下限為-1，免疫初值為0，相似度閾值為0.2，變異概率為0.7以及目標(biāo)函數(shù)為f(a,b)等。

步驟2 計(jì)算個(gè)體濃度和激勵(lì)度

分別對(duì)個(gè)體進(jìn)行濃度和激勵(lì)度計(jì)算，并將激勵(lì)度按升序排列。

步驟3 免疫循環(huán)

免疫循環(huán)階段不斷計(jì)算親和度和免疫種群激勵(lì)度，對(duì)抗體進(jìn)行促進(jìn)和抑制，保留親和度最高的個(gè)體[16]。

步驟4 群體更新

再生新種群的刺激度，使免疫種群與新種群融合。

3.6 仿真分析

在200次的迭代運(yùn)算后，目標(biāo)函數(shù)達(dá)到了一個(gè)最優(yōu)值為1.262 6×10-9，其中a為-8.157 4×10-2，b為6.813 4×10-2，迭代曲線如圖7所示，將優(yōu)化后的算法與前面基于中點(diǎn)公式的模型進(jìn)行對(duì)比，如表2所示。

圖7 親和度進(jìn)化曲線圖Fig.7 Affinity evolution curve

在圖7中，經(jīng)過(guò)200次的迭代運(yùn)算后，目標(biāo)函數(shù)的值達(dá)到了一個(gè)最小值，此時(shí)就可以得到最佳優(yōu)化模型。

表2 優(yōu)化模型與原模型的誤差對(duì)比Tab.2 Error comparison of optimization model and original model

在表2中顯然可以看出，相對(duì)于基于中點(diǎn)公式的原模型來(lái)說(shuō)，5個(gè)磁場(chǎng)獨(dú)立分量經(jīng)過(guò)優(yōu)化之后，誤差明顯減小，說(shuō)明優(yōu)化的結(jié)果是理想的。

4 結(jié)論

本文提出基于三點(diǎn)公式的直角四面體優(yōu)化模型。該模型運(yùn)用三點(diǎn)公式重新對(duì)直角四面體模型進(jìn)行設(shè)計(jì)并提出新的梯度張量計(jì)算公式，兩種結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比分析，得出基于中點(diǎn)公式的直角四面體模型效果好的結(jié)論。在此基礎(chǔ)上，基于免疫克隆算法對(duì)基于中點(diǎn)公式的直角四面體模型進(jìn)行優(yōu)化處理，再次提高對(duì)梯度張量的測(cè)量精度。仿真結(jié)果表明，本方法能充分利用磁場(chǎng)的三軸信息對(duì)磁場(chǎng)梯度張量進(jìn)行測(cè)量，并能夠提高磁梯度張量的測(cè)量精度。