擾動輸入時偏差傳遞函數(shù)計算方法探討

張甲英 肖美玲

（湖南交通工程學院高科技研究院 湖南·衡陽 421001）

在自動控制原理的教學當中，傳遞函數(shù)是一個非常重要的概念，計算給定輸入信號的閉環(huán)傳遞函數(shù)相對容易，而當計算系統(tǒng)輸出對擾動信號的傳遞函數(shù)時，一般需要對系統(tǒng)框圖進行等效變換。計算擾動輸入時的閉環(huán)傳遞函數(shù)或相對于擾動的偏差傳遞函數(shù)時，假設給定輸入信號為0，并將系統(tǒng)框圖變換為類似于計算給定輸入信號時的傳遞函數(shù)的圖形，以方便計算。但在框圖等效變換過程中，需要把綜合節(jié)點變換為一個環(huán)節(jié)或使信號符號發(fā)生變化，對原框圖變化較大。本文將綜合節(jié)點變換為一個反相器環(huán)節(jié)，而對其他環(huán)節(jié)都不做任何變更，可簡化系統(tǒng)變換過程，而且物理意義明確，并在此情況下研究系統(tǒng)對擾動輸入時傳遞函數(shù)的計算方法。

1 求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般方法

控制系統(tǒng)的分析，是通過系統(tǒng)的相關傳遞函數(shù)進行的。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖往往是比較復雜的，因此，難于直接求出系統(tǒng)的各種傳遞函數(shù)。于是在求取傳遞函數(shù)之前，一般都進行結(jié)構(gòu)簡化，得到如圖1所示的“典型結(jié)構(gòu)”后，才能容易求出相關的傳遞函數(shù)[1]。在圖1的典型結(jié)構(gòu)中，R(s)是給定輸入信號，B(s)為主反饋信號，E(s)為偏差信號，Y(s)是系統(tǒng)的輸出信號，N(s)為擾動輸入信號，G1(s)、G2(s)是前向通道的傳遞函數(shù)，H(s)為反饋通道傳遞函數(shù)。

圖1：系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖

對應圖1結(jié)構(gòu)圖，給定輸入作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)(擾動輸入N(s)=0時)為：

2 反相器環(huán)節(jié)的引入

由于自動控制原理課主要討論的是單輸入單輸出的關系，所以在求取擾動輸入作用下的傳遞函數(shù)時，都假設給定輸入信號為0，即R(s)=0，在此情況下研究擾動輸入時閉環(huán)傳遞函數(shù)和偏差傳遞函數(shù)。擾動輸入單獨作用下系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。對于此種情況，有的教材沒有詳細的推導過程，直接給出擾動作用下的偏差傳遞函數(shù)[1]，學生理解起來還是比較困難的。在此，本文引入一個反相器環(huán)節(jié)，可將此結(jié)構(gòu)圖變換為如圖1所示的典型結(jié)構(gòu)圖樣式，然后再利用類似(1)式的計算方法，即可很方便的求得擾動作用下的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)。

圖2：擾動輸入單獨作用下系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖

由圖1可知，E(s)=R(S) B(S)，當R(S)=0時，

也就是說，此時E(s)與B(s)信號相反，信號從B(s)到E(s)相當于經(jīng)過一個反相器，他們的傳遞函數(shù)G0(s)可通過式(2)求得，即：

即反相器環(huán)節(jié)相當于一個傳遞函數(shù)為-1的環(huán)節(jié)。

因此，可將圖2變換成類似于圖1那樣的典型結(jié)構(gòu)圖，結(jié)果如圖3所示。在變換過程中，只是把一個綜合相加點換成反相器(-1)環(huán)節(jié)，而其他環(huán)節(jié)、信號流向以及信號正負號都不變，然后利用前向通道傳遞函數(shù)、反饋通道傳遞函數(shù)的概念，很容易的求得擾動作用下的系統(tǒng)變換傳遞函數(shù)。

圖3：擾動輸入作用下偏差輸出的結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)圖3，擾動作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可安下式計算：

計算結(jié)果與資料[1]相同。

3 -1環(huán)節(jié)的應用

圖4：擾動作用下偏差輸出的等效變換結(jié)構(gòu)圖

圖4(a)在等效變換過程中，E(s)的符號發(fā)生了變化，原圖中的E(s)變?yōu)?E(s)，有的學生理解有困難，在求取傳遞函數(shù)時，信號的符號也需要細致的處理，難以直接求得相對應的傳遞函數(shù)。而圖4(b)除了將綜合節(jié)點變換為反相器(-1)環(huán)節(jié)外，結(jié)構(gòu)圖中的其他信息都沒有改變。按照圖4(b)很容易的求得擾動作用下的偏差傳遞函數(shù)：

計算結(jié)果同資料[1][2]。

4 -1環(huán)節(jié)合理性討論

在計算擾動作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)或偏差傳遞函數(shù)時，假設給定輸入信號為0，即R(s)=0，這樣就會使E(s)=R(s) B(s)=0 B(s)= B(s)，根據(jù)此公式，從理論上講，偏差信號E(s)就相當于反饋信號B(s)的反向得到的，因此，用反相器(-1)環(huán)節(jié)代替綜合環(huán)節(jié)（相加）在理論上是合理的，有理論基礎。

在實際的結(jié)構(gòu)圖等效變換過程中，只是用反相器(-1)環(huán)節(jié)代替綜合環(huán)節(jié)(相加)，而結(jié)構(gòu)圖的其他各部分都沒有發(fā)生變化，變換過程也相對簡單。

變換后的圖形簡單，概念清晰，計算方法相對簡單，學生容易理解，結(jié)果也是正確的。

綜上所述，采用反相器環(huán)節(jié)(-1)，代替綜合環(huán)節(jié)(相加)是合理可行的方法。

5 結(jié)論

在自動控制原理的教學當中，計算擾動輸入時的閉環(huán)傳遞函數(shù)或相對于擾動的偏差傳遞函數(shù)是一個重要內(nèi)容。本文在對系統(tǒng)框圖進行等效變換過程中，引入反相器(-1)環(huán)節(jié)，可使變換過程變得相對簡單，概念清晰，計算傳遞函數(shù)相對簡單。引入反相器環(huán)節(jié)(-1)，在理論上是合理的，實際變換過程簡單，計算結(jié)果正確，是合理可行的方法。