矩形板四周簡支時的撓度公式簡化

梁啟明

（中國電子科技集團(tuán)公司第二十二研究所 質(zhì)量管理部，新鄉(xiāng) 453000）

臺（門）板上主要受力的典型形式有整個臺板上分布均勻載荷、局部區(qū)域載荷以及集中力，見圖1。針對這3種典型的受力變形，偏理論的書籍一般都給出了經(jīng)典的通用公式，對工程指導(dǎo)的直觀性不強(qiáng)，如文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]，且運算量較大；偏應(yīng)用的書籍有相應(yīng)的表格、插圖可查，如文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]等多個版本的機(jī)械設(shè)計手冊，但全面性和簡潔性稍差，如沒有給出矩形板受局部均勻載荷的受力情況，許多情況下要用插值法計算等。本文的目的是將兩者的優(yōu)勢相結(jié)合，簡潔、快速、全面、直觀地獲得工程性運算結(jié)果。

根據(jù)維納經(jīng)典解法[1]給出的矩形板四邊簡支時的撓度變形w的通式為：

式中：Amn為系數(shù)。作用在矩形板上的載荷形式不同，其系數(shù)Amn值也不同。

1 載荷為整面均載

載荷為整面均載的分布，如圖1（c）所示。根據(jù)文獻(xiàn)[1]，得：

式中：q為載荷均載密度，N·m-2；D為抗彎剛度，D=Et3/[12(1-μ2)]；E為彈性模量，N·m-2；t為板厚，m；μ為泊松比；a為矩形板長邊尺寸，m；b為矩形板短邊尺寸，m；m、n為1、2、3、…任意正整數(shù)。

當(dāng)只關(guān)心板中心的撓度，即x=a/2、y=b/2時，有：

其中：

因此，式（1）可改為：

作為工程應(yīng)用，式（5）還可進(jìn)一步簡化。當(dāng)m=n＞1時，式（5）收斂很快。比如，取m=n=3時，相對于m=n=1時，只有1/36=1.37×10-3，對工程精度影響不大，所以可只考慮m=n=1時的情況。更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)氖牵瑢=1、n=1，m=1、n=3，m=3、n=1這3種情況代入式（5）求和后獲得撓度變形量，但要引入長寬比a/b進(jìn)行討論。這一方面較麻煩，另一方面對較多工程案例的整機(jī)設(shè)備長寬比a/b通常不大于3。在整面均勻受載的情況下，從工程角度只取m=1、n=1的變形撓度其精度值已夠用。于是，式（5）可簡化為：

鋼、鋁、銅材料的泊松比都為0.3，因此對于這3種材料，式（6）可進(jìn)一步簡化。結(jié)合D=Et3/(1-μ2)，代入式（6）后，得：

2 載荷為局部矩形塊均勻載荷

載荷為局部矩形塊均勻載荷的分布見圖1（b）。載荷P均布在矩形塊uv上，該情況下文獻(xiàn)[2]整理歸納有：

式中：P為載荷，N；ξ為矩形塊幾何中心距x軸的距離，m；η為矩形塊幾何中心距距y軸的距離，m；u為矩形塊在x軸方向的尺寸，m；v為矩形塊在y軸方向的尺寸，m；其他參數(shù)同前。

通常關(guān)心是矩形塊幾何中心與矩形板幾何中心重合時的情況，即ξ=a/2、η=b/2時，m、n取值的收斂性同上。參照撓度變形簡化公式，得：

對于鋼、鋁、銅薄板材料，載荷為局部矩形塊均勻載荷。矩形載荷塊的幾何中心與矩形板的幾何中心重合時，其撓度簡化公式為：

3 載荷為集中載荷P

載荷布置見圖1（a），根據(jù)文獻(xiàn)[1]，有：

式中：ξ為載荷P距x軸的距離；η為載荷P距y軸的距離；其他參數(shù)同前。

當(dāng)集中載荷作用在矩形板的幾何中心時，見圖1（a），引起的撓度最大，也是最被關(guān)心的情況。令ξ=a/2、η=b/2，此時有：

當(dāng)m、n為偶數(shù)時，因此偶數(shù)情況可不考慮；當(dāng)m、n為奇數(shù)時因此式（11）可簡化為：

m、n取值的收斂性與前述相比少了1/mn項，即收斂性相對變慢。為討論方便，增加長寬比項，將長寬比f=a/b代入式（13）后，得：

稱Q為收斂系數(shù)項：

代入式（1），同時考慮集中力作用在矩形板幾何中心以及m、n都為偶數(shù)時，式（1）的重三角函數(shù)正弦為0，求和時不予考慮。而m、n取自然奇整數(shù)時，重三角函數(shù)正弦為1的因素，得：

較多工程案例的整機(jī)設(shè)備臺（板）的長寬比f=1～3（事實上，長寬比大于3后，f的影響已相對穩(wěn)定，這也可從機(jī)械設(shè)計手冊的相應(yīng)表格中看出）。在該范圍內(nèi)分別取幾個f值，對應(yīng)m=1、3、5、7…和n=1、3、5、7…進(jìn)行不同的組合求和對比，有以下結(jié)果。

（1）m、n取值到5時，Q收斂性已很好。比如，取f=3、m=5、n=1時，Q=2.3%；取f=1、m=3、n=5時，Q=8.6×10-4。可見，在工程角度其精度已滿足需求。

（2）對m=1、3、5和n=1、3、5分別取值組合對Q求和后，有：

①當(dāng)f=3，∑Q≈0.39，該數(shù)值與單獨m=1、n=1的Q=0.27值比約為1.44；

②當(dāng)f=1，∑Q≈0.28，該數(shù)值與單獨m=1、n=1的Q=0.25值比約為1.11。

兼顧這兩者，把式（16）乘大于1的系數(shù)取1.25，集中力作用在矩形板幾何中心的撓度變形簡化公式為：

鋼、鋁、銅材料的泊松比都為0.3，因此對于這3種材料，式（17）可進(jìn)一步簡化。結(jié)合D=Et3/(1-μ2)，代入式（17）后，有：

以上的簡化公式對于不是對變形要求嚴(yán)格的場合，直接按公式計算，不需再按經(jīng)典公式考慮m、n不同取值組合再求和，也不需按機(jī)械設(shè)計手冊考慮不同的長寬比對應(yīng)不同的參數(shù)查表、看插圖后才能計算。

4 簡化公式計算與手冊查表計算對比與結(jié)論

以實驗工件的尺寸、材料為例，表1是集中載荷、四邊簡支約束時簡化公式計算與手冊圖表計算的對比，表2是整個矩形面均布載荷、四邊簡支約束時簡化公式計算與手冊圖表計算的對比。表1中，手冊公式查表（集中載荷，四周簡支）。表2中，手冊公式查表（均布載荷，四周簡支）。

從表1數(shù)據(jù)可以看出，矩形面作用為集中載荷、四邊簡支約束時幾種工件的相對誤差有的都比較大，如工件1的相對誤差最大，約8%。對于臺（門）板變形要求不嚴(yán)的情況，該誤差是可以接受的（因為變形誤差的絕對值不大，比如工件1的兩種方法的誤差絕對值約為6.4 mm）。如果對變形控制較嚴(yán)的情景，還需按相關(guān)理論公式或手冊圖標(biāo)進(jìn)行調(diào)整。

表1 集中載荷、四邊簡支約束時簡化公式與手冊表格（公式）計算撓度對比

從表2數(shù)據(jù)可以看出：整個矩形面均布載荷、四邊簡支約束時幾種工件的相對誤差都比較小，說明簡化公式直接進(jìn)行應(yīng)用是可行的。

表2 整個矩形面均布載荷、四邊簡支約束時簡化公式與手冊表格（公式）計算撓度對比

5 結(jié)語

應(yīng)力公式基于撓度變形的相關(guān)公式，而撓度變形在公式工程手冊中沒有直接的解析式，偏于理論的書籍給出的過于復(fù)雜，不便于直接應(yīng)用。對于實際工程應(yīng)用，本文將兩者進(jìn)行了結(jié)合。當(dāng)需要知道矩形臺（門）板的有關(guān)撓度變形時，進(jìn)行了較合理的推導(dǎo)與驗算比較。