原來，它們的本質是一樣的

成維嘉

在有理數的學習中，我們知道，“減去一個數，等于加上這個數的相反數”，這便把有理數的減法轉化為加法，使得有理數的加減混合運算統一成加法。因此，加法與減法本質是一樣的。而根據“除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數”，我們便把除法轉化為乘法。因此，乘法與除法本質上也是一樣的。那么，在本章的學習中，同底數冪的除法可以轉化為同底數冪的乘法嗎？它們的本質也是一樣的嗎？

同底數冪的乘法運算性質是：am·an=am+n（m、n為正整數）。同底數冪的除法運算性質是：am÷an=am-n（a≠0，m、n為正整數，m>n）。在規定了零指數冪a0=1（a≠0）和負整數指數冪a-n=[1an]（a≠0，n為正整數）的意義后，冪的運算性質的適用范圍隨之擴大到整數范圍，同底數冪的除法運算性質擴展為am÷an=am-n（a≠0，m、n為整數）。這時不再需要強調m、n為正整數，也不再需要關注m與n的大小關系。同時，我們可以用同底數冪的乘法運算性質推導出同底數冪的除法運算性質。具體思路是：首先，把除法轉化為乘法，am÷an=am?[1an];其次，根據a-n=[1an]（a≠0，n為正整數），得到am?[1an]=am?a-n;再次，根據同底數冪的乘法運算性質，得到am?a-n=am+（-n）=am-n;最后，am÷an=am?[1an]=am?a-n=am+（-n）=am-n。這個過程中，有am÷an=am?a-n，同底數冪的除法就轉化為同底數冪的乘法了。原來，同底數冪的乘法、除法本質上是一樣的。

根據乘方的意義，我們還可以發現（[ba]）n=[bnan]（a≠0，n是整數）。同學們，你能用類似上述的方法推導出這個結論嗎？

教師點評

小作者不僅能正確地認識與理解冪的運算性質，而且能借助已有的知識，以理馭算，研究發現新問題，體現出數學的理性思考，是一種創新意識。“原來，它們的本質是一樣的”是一個了不起的發現。

（指導教師：宋志娟）

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