模擬器基于開普勒參數(shù)的GLONASS 衛(wèi)星位置預(yù)測?

徐 倩 宋茂忠

（南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院 南京 211106）

1 引言

GLONASS 實(shí)時(shí)模擬器普遍使用的是DSP+FPGA 架構(gòu)，以DSP 為控制核心進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)字運(yùn)算［1~2］。DSP 端需要實(shí)時(shí)將計(jì)算的衛(wèi)星號、載波頻率字、碼頻率字、碼初相和電文初相等數(shù)據(jù)傳送給FPGA 處理［3］。GLONASS ICD 建議采用四階Run?ge-Kutta數(shù)值積分法來計(jì)算衛(wèi)星位置［7~8］，該算法需反復(fù)迭代，積分步驟太多，難以滿足GLONASS模擬器的實(shí)時(shí)計(jì)算［4］。

針對GLONASS 積分運(yùn)算的弊端，柯福陽等提出了自動積分步長的龍格庫塔積分法，在原有積分模型基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化，但是效果有限［5］，朱海波等提出了一種快速定軌方法，每一歷元只需由上一歷元信息通過一次積分即可算出，但是歷元之間的數(shù)據(jù)具有依賴性［6］。積分法如果想在一段較長的時(shí)間內(nèi)保持計(jì)算精度，必然意味著反復(fù)迭代。

而開普勒軌道根數(shù)法計(jì)算衛(wèi)星位置，公式簡單，無需反復(fù)迭代［9~10］，本文提出了一種基于開普勒軌道根數(shù)的GLONASS 衛(wèi)星定位算法，通過導(dǎo)航電文先獲得多組衛(wèi)星的位置矢量數(shù)據(jù)，然后通過擬合算法將GLONASS衛(wèi)星位置的計(jì)算通過一組軌道參數(shù)來實(shí)現(xiàn)。所有位置的計(jì)算只依賴于一組星歷參數(shù)，滿足了模擬器實(shí)時(shí)傳輸數(shù)據(jù)的需要。

2 軌道根數(shù)擬合算法

軌道根數(shù)可以用于描述衛(wèi)星在太空中運(yùn)行位置、運(yùn)動方向等狀態(tài)信息。對軌道根數(shù)的求解精確程度也大大影響著我們定位算法的精確度。軌道根數(shù)的擬合大多數(shù)利用的是衛(wèi)星在運(yùn)行軌道中的位置坐標(biāo)，擬合出的結(jié)果表示為六個(gè)開普勒軌道根數(shù)和九個(gè)攝動調(diào)和參數(shù)［11］。

2.1 基本模型

由于GPS是目前最為成熟的衛(wèi)星系統(tǒng)，我們以GPS的6個(gè)開普勒軌道參數(shù)和9個(gè)攝動參數(shù)作為狀態(tài)參數(shù)進(jìn)行擬合。由多個(gè)離散的衛(wèi)星地固坐標(biāo)位置，可以擬合出相應(yīng)的狀態(tài)參數(shù)。這里離散的坐標(biāo)位置我們通過GLONASS 的導(dǎo)航電文，由Run?ge-Kutta積分算出。

根據(jù)GPS衛(wèi)星位置的計(jì)算方法，我們列出算法的狀態(tài)方程和觀測方程為

式中Y是觀測列矢量，含m個(gè)觀測量，每個(gè)列矢量都對應(yīng)相應(yīng)時(shí)刻的衛(wèi)星位置分量。t是位置坐標(biāo)對應(yīng)的時(shí)刻，t0是狀態(tài)參數(shù)的參考時(shí)刻，X表示衛(wèi)星的狀態(tài)參數(shù)，X0即是待估測的狀態(tài)參數(shù)，這里取

由于式（1）和式（2）都不是線性方程，無法直接求解。于是為了求解，我們必須將這兩個(gè)方程線性化，并進(jìn)行迭代求解。

令Xi0是狀態(tài)參數(shù)X0的第i次迭代的初值，由此可以將式（2）在Xi0處進(jìn)行展開，舍去二階以上的小量，得

令

x0表示狀態(tài)參數(shù)第i次迭代的初值Xi0所求的值X0的差：

y表示t時(shí)刻下的觀測列矢量與第i次迭代的初值Xi0所求的觀測列矢量的差：

于是，

式中：v為誤差方程。

根據(jù)最小二乘原理，可得

因此，每次迭代后，狀態(tài)參數(shù)為

當(dāng)滿足式（12）時(shí)，不再迭代。

2.2 衛(wèi)星位置矢量對狀態(tài)參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

經(jīng)過轉(zhuǎn)換可得

由式（13）和式（14）可推出觀測列矢量對所求狀態(tài)矢量的偏導(dǎo)數(shù)，這里不再給出推導(dǎo)過程。

將所得偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算結(jié)果帶入式（7），經(jīng)式（10）反復(fù)迭代后，即可求得滿足精度需求的6 個(gè)開普勒軌道根數(shù)和9 個(gè)攝動參數(shù)，再將該參數(shù)用于GLONASS 模擬器計(jì)算衛(wèi)星位置，即可實(shí)現(xiàn)在滿足衛(wèi)星位置精度需求的同時(shí)，極大地降低了求解的時(shí)間復(fù)雜度。

3 GLONASS衛(wèi)星數(shù)據(jù)驗(yàn)證

選用GLONASS 導(dǎo)航系統(tǒng)7 號衛(wèi)星的數(shù)據(jù)進(jìn)行測試，第一個(gè)歷元選取2017 年5 月12 日10 時(shí)15分，擬合算法共選取了8 個(gè)歷元，歷元間隔3 分鐘，第一個(gè)歷元為2017 年5 月12 日10 時(shí)15 分，最后一個(gè)歷元間隔為2017 年5 月12 日10 時(shí)36 分。由于導(dǎo)航電文只能提供15分、45分時(shí)刻的導(dǎo)航數(shù)據(jù)，因此其他時(shí)刻的衛(wèi)星位置數(shù)據(jù)只能通過其最近時(shí)刻的已知衛(wèi)星位置數(shù)據(jù)用Runge-Kutta積分法算出。

圖1是由8 個(gè)衛(wèi)星位置擬合出的6 個(gè)開普勒軌道參數(shù)和9 個(gè)攝動參數(shù)結(jié)果。對應(yīng)的時(shí)間是GPS周1948，GPS周內(nèi)秒339300.000。

圖1 3分鐘間隔擬合開普勒參數(shù)

圖2是兩種方法計(jì)算出的八個(gè)點(diǎn)的衛(wèi)星位置誤差圖，不同坐標(biāo)分量由不同顏色表示。

圖2 不同坐標(biāo)分量的誤差圖

由圖2 可知，隨著時(shí)間的后移，外推能力逐漸減弱，誤差開始增大。在圖3 所示的時(shí)間內(nèi)，衛(wèi)星位置外推算法的精確性都可以得到保證，各個(gè)坐標(biāo)分量的誤差不超過40cm，GLONASS 導(dǎo)航電文每隔30min 更新一次，最大外推時(shí)間為前后15min，該擬合算法完全可以滿足GLONASS衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的精度需求。

上述數(shù)據(jù)是由原始數(shù)據(jù)每3min 一個(gè)衛(wèi)星位置擬合得出，為了獲得更加精確的擬合結(jié)果，我們還可以改變衛(wèi)星位置的間隔時(shí)間，研究不同間隔時(shí)間下的衛(wèi)星位置擬合出的開普勒參數(shù)所計(jì)算出的衛(wèi)星位置的精確性。

圖3~5是GLONASS 5 號 衛(wèi) 星 在2020 年2 月21日2 時(shí)15 開始的以2min 間隔、3min 間隔、4min 間隔、8min 間隔、12min 間隔下的擬合結(jié)果計(jì)算出的衛(wèi)星位置不同分量下的對比誤差圖。

圖3 不同間隔下的X軸的誤差圖

圖4 不同間隔下的Y軸的誤差圖

圖5 不同間隔下的Z軸的誤差圖

由圖可知，用于擬合的衛(wèi)星位置間隔越小，擬合出的開普勒參數(shù)精度相對越高，計(jì)算出的衛(wèi)星位置越精確；所有間隔的擬合精度都呈現(xiàn)出了隨著外推時(shí)間的推移，精度越來越低的現(xiàn)象，在GLONASS衛(wèi)星前后外推15min 的時(shí)間內(nèi)，小間隔擬合能夠保持一個(gè)較高的精度，滿足了實(shí)時(shí)衛(wèi)星導(dǎo)航模擬器的計(jì)算需求。

4 結(jié)語

本文設(shè)計(jì)的開普勒參數(shù)擬合算法能夠生成較為精確的開普勒軌道根數(shù)，擬合外推時(shí)間遠(yuǎn)大于GLONASS 星歷的最大外推時(shí)間，可在不改變GLONASS 廣播電文參數(shù)的前提下，在客戶端用于GLONASS 衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)衛(wèi)星位置的計(jì)算。算法只需通過C++軟件平臺實(shí)現(xiàn)，成本低、效率高，能夠更精確、更快地計(jì)算出衛(wèi)星位置，避免了Runge-Kutta積分的反復(fù)迭代，具有一定應(yīng)用價(jià)值。