基于VMD-KLD的橋梁撓度監測數據溫度效應分離方法

李雙江， 辛景舟,2， 付 雷,3， 唐啟智， 趙月明， 周建庭

(1. 重慶交通大學 省部共建山區橋梁及隧道工程國家重點實驗室，重慶 400074； 2.廣西交通投資集團有限公司，南寧 530000；3.貴州橋梁建設集團有限責任公司，貴陽 550000； 4.貴州畢節高速發展有限責任公司，貴州 畢節 551700)

撓度監測是橋梁健康監測的重要組成部分，是評價橋梁使用功能和安全性的重要監測指標[1]。一般來講，橋梁撓度主要由移動荷載、混凝土收縮徐變、溫度荷載等因素引起。移動荷載引起的撓度變化是橋梁微觀復雜力學機制的宏觀表達，包含著內在的力學演化過程。然而，由于溫度效應的影響，荷載引起的橋梁撓度往往被覆蓋，影響橋梁結構性能的評估與病害發生機理的判斷[2]。因此，分離橋梁撓度監測數據中的溫度效應，獲取荷載引起的真實撓度變化，對于準確掌握橋梁健康狀態、預測結構行為演化趨勢，具有重要的科學研究意義與工程應用價值。

當前，已有學者針對橋梁撓度成分分解問題展開了大量研究，大致可以分為兩類。一類是基于溫度與溫度效應相關性分析的方法，通過回歸分析建立溫度與溫度效應下撓度二者之間的因果關系，從而達到在溫度效應下撓度的分離。如梁宗保[3]通過分析溫度與溫度引起的撓度的相關性，結合小波多尺度分析手段提取了活荷載撓度信號，建立回歸方程達到剔除溫度效應。劉綱等[4]通過利用撓度信號的多尺度特性，結合粒子群優化和濾波算法，最終通過回歸統計分析手段剔除溫度效應。楊紅等[5-6]在劉夏平研究最小二乘支持向量機的基礎上，提出了多最小二乘支持向量機建模方法，該方法能夠更精確的確定溫度與溫度效應之間的非線性關系，最終精確分離出溫度效應下撓度。由于不同結構型式的力學演化機制不同，使得該類強調因果關系的分離方法的普適性較差；此外，由于大型橋梁結構的復雜性、服役環境的不確定性以及荷載作用的隨機性影響，精確關聯模型的建立難度較大。第二類方法立足不同撓度數據組成成分的周期差異，通過信號分解的方式，解離撓度的多尺度信息。如黃僑等[7-8]利用小波多尺度分析橋梁長期撓度監測信號時間多尺度特性，較好地分離了溫度效應。李明等[9]利用經驗模態分解(empirical mode decomposition，EMD)將溫度效應引起的撓度從主梁撓度時程中有效的分離出來。唐春會[10]提出分離橋梁撓度信號各單項效應的算法，通過EMD對接收信號進行通道擴展的方式構建獨立分量分析(independent component analysis，ICA)分離模型，較好的分離出了撓度信號。盡管EMD在處理非線性、非平穩信號時表現出一定的優勢，但仍存在分解時易產生模態混疊、端點效應等缺陷。此外，在分解的同時，往往還伴隨著真假本征模函數(intrinsic mode function，IMF)分量的產生，在準確剔除虛假IMF分量方面，目前還存在一定的難度。

基于以上問題的復雜性以及既有方法的不足，本文提出了基于VMD-KLD的橋梁撓度監測數據溫度效應分離方法，通過VMD克服EMD分解時產生的模態混疊等問題，基于KLD實現虛假特征信號分量的準確剔除，最后通過數值仿真算例與實橋監測數據，驗證了本文所提方法的有效性。

1 溫度效應分離方法

1.1 VMD

VMD算法是將時間序列信號經分解得到若干IMF分量，在每個IMF分量中，大部分都緊靠在中心頻率附近。簡言之，就是通過迭代搜尋變分模型最優解確定其中心頻率和帶寬，自適應地將信號分解成一系列具有稀疏特性的模式分量[11-13]。

VMD最終結果是將輸入源信號Y分解成K個具有特殊稀疏性的模式信號uk(t)，各個uk(t)之和等于輸入混合信號Y，才能保證每個uk(t)的帶寬之和最小。具體分解步驟如下[14-16]。

首先通過VMD方法定義時間序列非平穩性，即：

Y(t)=Ak(t)cos(φk(t))

(1)

式中：Y(t)為時間序列源信號；φk(t)為相位，且滿足φk(t)′≥0；Ak(t)為包絡線，且滿足Ak(t)≥0。

再利用Hilbert變換計算單個uk(t)的解析信號，即：

(2)

其次，將各個模式的頻譜調制到相應的基頻帶，即：

(3)

VMD分解通過求解約束的變分問題，將信號重構分解為一系列IMF分量，故該約束變分問題描述為

(4)

式中：?t為對函數求時間t的偏導數；uk為模態分量；ωk為模態分量的中心頻率；δ(t)為雷克分布函數；j為虛數單位；{uk}={u1,u2,u3,…,uk}；{ωk}={ω1,ω2,ω3,…,ωk}；其中*為卷積符號。

為了將約束變分問題轉化為非約束性變分問題，VMD引入了懲罰因子γ和拉格朗日乘法算子λ。其中，γ的取值保證信號的重構精度，λ可使約束條件保持嚴格性，擴展得到的拉格朗日表達式，即：

(5)

(6)

迭代更新中心頻率ωk值，表達式為

(7)

迭代更新λ值，表達式為

(8)

式中,η為拉格朗日乘數的更新系數。

迭代停止條件為

(9)

式中,ρ為收斂門限。

1.2 K-L散度

在概率論和信息論中，K-L散度，又被稱為相對熵，是用來描述兩個概率分布P對Q之間關系的一種方法，由S.Kullback和R.ALeibler在1951年提出[17-20]。

設P(y)和Q(y)是Y取值的兩個離散概率分布，則P對Q的KLD值為

(10)

(11)

(12)

(13)

在式(11)、(12)中：P(y)為核密度估計；K(u)為高斯核函數；h為給定的正數，一般稱之為平滑參數或窗寬。

在式(10)中，將其進行推導，可以得到以下幾點結論：如果P(y)和Q(y)是兩個完全相同的函數，那么二者的KLD值為0；若二者KLD值越大，則兩個函數存在的差異越大，反之，兩個函數存在的差異越小；KLD值是不對稱的，即DK-L(P‖Q)≠DK-L(Q‖P)；KLD值具有非負性，即DK-L(P‖Q)≥0。

在現實情況中，定義P為數據的真實分布，Q為數據的理論分布，Qk={Q1,Q2,…,Qk-1,Qk}為真實混合信號經過VMD分解后的理論子信號，通過比較理論子信號和真實混合信號的親疏性來選取最佳子信號進行分析。信號分布大多數呈現為單峰和對稱的，通過式(10)，還可以求得在對稱情況下DK-L(P,Q)的最終KLD值，即：

DK-L(P,Q)=DK-L(P‖Q)+DK-L(Q‖P)

(14)

利用能量測度法[21]驗證KLD方法剔除虛假分量的有效性，各分量能量值為

(15)

最后通過KLD值判斷各分量信號，即KLD值越小，證明理論與實際越匹配，為真實信號分量；反之，為虛假信號分量[22]。

1.3 基于VMD-KLD的溫度效應分離方法

本文通過將VMD與KLD結合分離橋梁撓度信號。首先，用VMD分解信號，對獲得的若干模態分量進行核密度估計；其次，結合KLD計算各分量與源信號的散度值，對各散度值歸一化處理，進而準確剔除虛假分量；最后，利用Pearson相關系數評價分解得到的各撓度成分結果。VMD-KLD算法分離橋梁源信號流程圖，如圖1所示。

圖1 VMD-KLD算法分離橋梁源信號流程圖

2 數值算例

2.1 模型概況

橋梁在運營期間由溫度效應引起的撓度變化主要是受日溫差和年溫差的影響，在橋梁服役期間還有部分因恒載、預應力損失及混凝土收縮徐變而產生的長期撓度。為了能夠更好的模擬其撓度信號，通過有限元軟件建立了某大跨連續剛構橋模型并進行結構仿真分析。

采用有限元軟件計算主橋跨中撓度值為：整體升溫1 ℃，跨中撓度f′=1.72 mm(上拱)；截面梯度溫度升高1 ℃，跨中撓度f″=-1.71 mm(下撓)。取每天的整體日溫差為8 ℃，截面溫差為4 ℃，年溫差為30 ℃。

假設溫度變化引起橋梁結構變形呈線性關系，總溫度為T0(t)=T1a(t)+T1b(t)+T2(t)，其中，整體日溫差T1a(t)=4sin(πt/12)，截面日溫差T1b(t)=2sin(πt/12)，年溫差T2(t)=15sin(πt/4 380)。跨中總撓度為f0(t)=f1(t)+f2(t)+f3(t)，另外，整體日溫差效應f1a(t)=6.88sin(πt/12)，截面日溫差效應f1b(t)=-3.42sin(πt/12)，日溫差效應為f1(t)=3.46sin(πt/12)，年溫差效應f2(t)=25.8sin(πt/4 380)。

由于長期撓度是由預應力損失、混凝土收縮徐變以及結構損傷等因素引起，采用JTGD62—2018《公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規范》計算該橋梁長期撓度變形f3，并用指數型函數進行擬合，最終得到長期撓度變形。各個情況下撓度信號的時程曲線和頻譜，如圖2所示。

(a) 日溫差效應時程曲線及頻譜圖

圖3 總模擬撓度信號的時程曲線

2.2 溫度分離方法的實現流程

通過VMD對跨中總模擬撓度信號分解，預先確定其K值，模態數K取值的大小決定了分解得到各IMF分量的準確性，過小易導致欠分解，過大易導致過分解。故本文采用觀察中心頻率法確定K取值，結果見表1。從表中可以看出，在K=5時，出現了中心頻率值為4.286 6和4.287 6極為相近的模態分量，證明此時K=5已經存在過分解，故K取4。VMD、EMD分解后IMF1-IMF4時程曲線及頻譜分別如圖4、圖5所示。

表1 不同模態數K對應下的中心頻率

(a) VMD分解后的IMF1時程曲線及頻譜圖

(a) EMD分解后的IMF1時程曲線及頻譜圖

由圖4、圖5可知，將VMD與EMD分解后得到的各分量頻譜圖與原模擬撓度信號頻譜圖對比，可得日溫差效應撓度時程曲線。

2.3 虛假分量剔除

由圖4可知，由于模擬撓度信號實際只存在3個撓度成分，故存在1個虛假分量。利用源信號與分解后分量信號的關聯程度區分真假分量，此類方法現在已涉及較多，其中區分程度較好的方法是互信息、K-L散度、相關系數。本文將VMD和EMD分解得到的分量利用K-L散度、互信息兩種方法做對比，相關系數對結果進行效果評價，能使結果呈現更加直觀。求取KLD及互信息值并做歸一化處理，結果見表2。

表2 各IMF分量與總模擬撓度信號的歸一化KLD值及互信息值

由表2可知，各分量的KLD值存在量級差距或倍數關系，各分量的互信息值穩定在平均值0.25上下，后者區分出虛假分量較難。證明KLD方法用來區分真實分量與虛假分量比互信息方法更好。

為了確定KLD方法的可靠性，減少虛假分量的干擾，將VMD、EMD分解得到的各分量利用能量測度法與KLD方法剔除虛假分量相互校核，結果如圖6所示。由圖6可知，VMD中IMF4與EMD中IMF3的KLD值最大時，能量值也最低，則認為該分量與源信號關聯度較小，可信度低，為虛假分量，予以剔除。通過能量測度法結果證明了KLD方法具有選優的特點。

圖6 各分量歸一化KLD和能量值結果對比圖

根據KLD方法得到各效應下時程曲線，為了克服各效應下撓度幅值變化的不確定性，將VMD-KLD分離得到的最優分量和各效應模擬撓度信號通過傅里葉變換后，進行幅值對比計算，將幅值比值作為系數，與篩選得到的最優分量相乘作為最終的日溫差(IMF3)、年溫差(IMF2)效應下撓度和長期撓度(IMF1)，結果如圖7所示。與圖2相比，發現分離得到的各撓度成分與原始各撓度時程曲線波動規律十分相似。

(a) 日溫差撓度時程曲線

2.4 分離效果評價

本文采用Pearson相關系數對分離結果進行效果評價。相關系數ρlini越趨近于1，IMF分量與源信號的相關程度越強，分離效果就越好。設li為第i個源信號，ni為經VMD分解后得到的與li相對應的分量信號，兩者之間相關系數計算公式如下

(16)

式中：i為第幾個分量信號；cov(li,ni)為li(t)與ni(t)的協方差。

經KLD篩選得到VMD與EMD仿真信號分離后真實特征信號，計算各效應撓度相關系數，并進行效果比較，結果見表3。

表3 VMD與EMD仿真信號分離前后相關系數

由表3可知，VMD-KLD與EMD-KLD在日溫差效應、年溫差效應與長期撓度中各相關系數都趨近于1。從相關系數結果可以看出VMD分解得到的低頻撓度分量更加準確，日溫差效應、年溫差效應和長期撓度效果分別提升了4.43%、10.84%和8.81%，主要原因是VMD采用一種非遞歸的處理手段，將信號分解轉化為變分分解模式，其實質是多個自適應維納(Wiener)濾波器組，能夠實現信號頻域內各個分量的自適應分割，能有效避免模態混疊、過包絡、欠包絡、端點效應等問題，具有較好的復雜數據分解精度及較好的抗噪聲干擾；EMD采用遞歸分解得到的子分量較不穩定；在分離過程中，受到了頻率接近的溫差效應相互影響。通過二者比較，基于VMD與KLD結合的橋梁撓度監測數據溫度效應分離效果更加精確。

3 實橋驗證

3.1 工程概況

鵝公巖軌道大橋位于九龍坡區謝家灣至南岸區海峽路段，該橋全長為1 650.5 m，主橋長為1 120 m，橋面寬度為22 m，主梁為鋼梁-混凝土梁混合結構，主墩為鋼筋混凝土結構。其中，主跨為600 m的五跨連續鋼箱梁自錨式懸索橋，跨徑在同類橋梁中為世界之最。橋型現場布置如圖8所示。

圖8 鵝公巖軌道大橋現場橋型布置圖

為保障橋梁的功能性、耐久性和安全性，該橋建立了健康監測系統。該系統主要由傳感器子系統、數據采集與傳輸子系統、數據處理分析子系統、數據存儲與管理子系統、預警子系統組成。主要監測撓度、應力、溫濕度、索力等指標，該橋撓度監測測點布置如圖9所示。

圖9 鵝公巖軌道大橋監測測點布置

3.2 實測撓度數據處理及效果評價

為了驗證本文方法對實橋數據的分離效果，采集主橋跨中時間段為2019年12月1日—2020年12月1日一年的撓度數據進行分離，采樣頻率為1 h/次，采集得到的橋梁撓度監測數據如圖10所示。由于實測撓度數據中包含了大量高頻信號，首先，采用巴特沃斯低通濾波算法處理[23]，剔除掉環境噪聲和移動荷載等外界高頻信號；其次，對濾波后得到的撓度信號通過VMD和EMD進行分解，再利用各分量KLD值剔除虛假分量；最后，采用相關系數進行效果評價。

(a) 上游側橋梁撓度信號

在長期撓度數據分離中，因年溫差效應時間跨度較長、變化簡單且緩慢，還受到混凝土徐變等多方面因素而減小變化，所以實際年溫差效應幅值小于日溫差效應幅值變化，考慮到影響橋梁長期撓度變化的因素較多且復雜，針對實際撓度信號，本文只給出了日溫差效應和年溫差效應分離結果。各分量KLD值計算結果見表4。

表4 主橋跨中實測撓度分解后計算歸一化KLD值結果

由表4可知，經KLD方法篩選后，確定上、下游日溫差效應分量，VMD分解結果為S-IMF2、X-IMF2，EMD分解結果為S-IMF4、X-IMF4；年溫差效應分量，VMD分解結果為S-IMF10、X-IMF9；EMD分解結果為S-IMF12、X-IMF11。最后將VMD、EMD上、下游日溫差效應、年溫差效應對比，結果如圖11、圖12給出。

(a) VMD分解得到的上游側日溫差效應撓度變化

(a) VMD分解得到的年溫差效應撓度變化

由圖11和圖12可得，上、下游側分離出的各撓度成分之間具有較高相關性；日溫差撓度幅值上、下游主要變化區間為[-15,15]mm，年溫差撓度幅值主要變化區間為[-6，6]mm；將VMD、EMD結合KLD方法分離出的各撓度效應采用相關系數突出效果變化程度，見表5。

表5 上、下游實測撓度信號分離前后相關系數結果

從表5可知，上、下游實測撓度信號分離前后兩者的相關系數均大于0.90，同EMD-KLD方法相比，基于VMD-KLD的橋梁撓度溫度效應分離方法日溫差效應、年溫差效應分離效果分別提升了12.35%和5.57%，分離效果更為精確。

4 結 論

為剔除溫度效應對橋梁撓度的影響，將VMD與K-L散度融合，提出了一種分離橋梁撓度監測數據溫度效應的新方法，通過不同橋型(剛度差異導致信號特征不同)的數值仿真與監測數據驗證，得出以下結論：

(1) VMD通過構造并求解約束變分問題實現低頻撓度信號的分解，實質是可以實現信號頻域內各個分量的自適應分割，有效克服了傳統EMD算法分解信號產生的模態混疊等問題，從模型先進性角度，具有理論上的優勢。

(2) 結合歸一化互信息和KLD值可知，VMD與EMD分離得到的互信息值都穩定在0.25左右，不易區分真假分量；而KLD值之間有較大區分度，呈現出量級差距或者倍數關系，更易區分真假分量。

(3) 將VMD-KLD算法應用到模擬撓度信號和實測撓度信號的分離，模擬撓度信號分離結果表明，分離值與實際值相關系數均大于0.97，趨近于理想值；主跨跨中對稱測點實測撓度信號分離得到的各撓度效應分量相關系數均大于0.90，具有較高相關性。驗證了VMD-KLD算法分離橋梁監測數據中各溫度撓度效應成分的有效性。同EMD-KLD相比，仿真信號分離日、年溫差效應和長期撓度分離效果分別提升了4.43%、10.84%和8.81%，實測信號分離日、年溫差效應分別提升了12.35%和5.57%，從分離效果角度上，本文方法精度更高。

本文方法可為橋梁結構真實響應的獲取與狀態評估奠定基礎。