黏彈性基體中變截面撓曲電Timoshenko納米梁振動特性研究

吳 棟, 張大鵬, 雷勇軍

(國防科技大學 空天科學學院,長沙 410073)

壓電俘能器[1]能收集環境中因振動產生的機械能并將其轉化為供納米元器件使用的電能，在為納米元器件供電方面具有極大的應用潛力。在實際的工程應用中，開展壓電俘能器的振動特性研究有助于更好地發揮其工作性能。

分子動力學模擬和試驗的結果均表明，壓電納米元器件的力學性能在納米尺度下具有明顯的尺度效應[2-3]，經典連續介質力學因忽略了材料的尺度效應而難以準確表達壓電納米元件的力學特性[4]。非局部理論[5]的提出彌補了連續介質力學在尺度效應方面的不足，在描述納米材料的力學行為方面得到廣泛應用。劉燦昌等[6]基于線彈性非局部理論，建立軸向非線性伸長的兩端固支納米梁的動力學模型，研究非局部納米梁的主諧波共振響應。張大鵬等[7]基于非局部黏彈性理論，建立了Euler-Bernoulli梁的振動控制方程，利用傳遞函數法得到了振動控制方程的解。Lei等[8-9]考慮非局部效應分別研究了外加黏彈性阻尼下Timoshenko納米梁和Euler-Bernoulli納米梁的動力學特性。由于結構形式對納米梁的力學性能有較大的影響，為滿足不同的應用需求，需探索不同結構形式納米梁的振動特性。張大鵬等[10]考慮磁場的影響，基于非局部理論建立黏彈性基體上變截面納米梁的振動控制方程，并通過聯合傳遞函數法和攝動法求解振動控制方程。Roostai等[11]基于具有表面效應的非局部彈性理論，研究了非局部參數、表面能和軸向力對變截面納米梁自由橫向振動固有頻率的影響。Rajasekaran等[12]考慮非局部效應和截面非均勻性，采用軸向功能梯度材料對梁進行建模，研究了結構的靜力變形、穩定性和自由振動響應。Robinson等[13]基于具有軸向功能梯度的非局部Timoshenko梁模型，研究了非局部參數、截面非均勻性和邊界條件對結構屈曲載荷的影響。有學者指出[14-16]，為了更準確地預測壓電納米元件的力學性能，有必要將非局部理論與應變梯度理論相結合。Khaniki等[17]采用精確的非局部應變梯度理論，研究了變截面小尺度Euler-Bernoulli梁的屈曲行為。張英蓉等[18]基于非局部應變梯度理論，考慮納米梁的高階剪切變形建立其振動控制方程，并給出振動控制方程的納維級數解。撓曲電效應考慮非均勻應變場與電場之間的耦合關系，認為非均勻應變介質材料的電極化強度受電場、應變和應變梯度的影響。但目前綜合考慮非局部效應、截面非均勻性和撓曲電效應的研究還相對較少。

本文基于非局部Timoshenko梁模型，研究變截面撓曲電納米梁在黏彈性基體中的振動特性，基于攝動理論給出典型邊界條件下結構自由振動控制方程傳遞函數的求解方法，并通過算例對非局部參數、截面非均勻性、撓曲電系數和基體黏彈性對結構振動特性的影響規律進行分析，為壓電納米元器件的設計、分析和應用提供了理論依據。

1 振動控制方程與邊界條件

黏彈性基體中變截面Timoshenko納米梁的力學模型如圖1所示。以變截面撓曲電Timoshenko納米梁左右端面的中點連線為x軸，左端面的對稱軸分別為y軸和z軸建立坐標系o-xyz，其中z軸沿著變截面撓曲電納米梁的橫向振動方向。變截面撓曲電納米梁的長度和寬度分別為L和b，高度沿著x軸線性遞減，x=0和x=L處高度分別為h1和h2，有

hx=εx+h1,x∈[0,L]

(1)

圖1 黏彈性基體中變截面Timoshenko納米梁力學模型

式中，ε=(h2-h1)/L，下標“x”表示坐標x處的物理量。黏彈性基體采用visco-Pasternak黏彈性模型模擬，該模型在經典Pasternak彈性模型的基礎上考慮了黏性阻尼的影響。

變截面撓曲電納米梁的橫截面積和橫截面慣性矩可分別表示為

(2)

1.1 振動控制方程

基于Yue等[19]對微尺度下等截面撓曲電Timoshenko梁的研究，并進一步考慮黏彈性基體和截面非均勻性的影響，即可得到黏彈性基體中變截面撓曲電納米Timoshenko梁的自由振動控制方程表達式為

(3)

(4)

式中:Q、M和Mγ分別表示變截面撓曲電納米梁所受的剪力、彎矩和扭矩;w和φ分別表示變截面撓曲電納米梁位移沿z軸的分量和截面相對于z軸的扭轉角;ρ表示變截面撓曲電納米梁的材料質量密度;NQ表示黏彈性基體對變截面撓曲電納米梁的作用力，為簡化計算，不考慮黏彈性基體的截面非均勻性，其表達式如下

(5)

式中，kG、kw和ct分別表示visco-Pasternak黏彈性基體的剪切彈性模量、Winkler彈性模量和阻尼系數。

同時，為了確定變截面撓曲電納米梁的力邊界條件，基于非局部理論給出了變截面撓曲電納米梁所受剪力Q、彎矩M和扭矩Mγ的表達式

(6)

(7)

(8)

將式(6)～式(8)代入變截面撓曲電納米梁的自由振動控制方程式(3)和式(4)，考慮非局部效應的黏彈性基體中變截面撓曲電納米梁的自由振動控制方程可表示為

(9)

kc44Axφ=[1-(e0a)2?2]Z

(10)

式中

(11)

(12)

為了方便計算，引入以下變量參數

(13)

將以上變量參數代入式(9)和式(10)，可將黏彈性基體中變截面撓曲電納米梁的自由振動控制方程表示為

(14)

(15)

1.2 邊界條件

為求解變截面撓曲電納米梁的自由振動控制方程，下面給出幾種典型邊界條件

(1) 固支端邊界條件

(16)

(2) 簡支端邊界條件

(17)

(3) 自由端邊界條件

(18)

自由振動控制方程組式(14)和式(15)以及邊界條件式(16)～式(18)共同構成了變截面撓曲電納米梁振動特性分析的定解問題。由于自由振動控制方程組式(14)和式(15)為變系數微分方程，無法直接利用傳遞函數法進行求解。針對該問題，本文首先通過攝動法將變系數微分方程組式(14)和式(15)轉化為常系數微分方程組，再利用傳遞函數法進行求解。

2 基于攝動理論的傳遞函數求解方法

2.1 傳遞函數法

將變截面撓曲電納米梁的自由振動控制方程式(14)和式(15)的解設為

(19)

將式(19)代入式(14)和式(15)，變截面撓曲電納米梁的自由振動控制方程可表示為

(20)

(21)

定義狀態向量

(22)

利用式(22)可將變截面撓曲電納米梁的自由振動控制方程改寫為狀態方程的形式

(23)

類似地，將變截面撓曲電納米梁的邊界條件改寫為狀態方程的形式

Mη(0,ω)+Nη(1,ω)=0

(24)

2.2 攝動法

由于變截面撓曲電納米梁的自由振動狀態方程式(23)為變系數微分方程組，不能直接利用傳遞函數法進行求解，可以利用攝動法將變系數微分方程組式(23)轉化為常系數微分方程組，再利用傳遞函數法求得變截面撓曲電納米梁的自由振動狀態方程式(23)的解。

假設變截面撓曲電納米梁的長度L遠大于兩端面高度之差h2-h1，因此前文定義的參數ε=(h2-h1)/L為無量綱小參數。根據攝動法原理，利用無量綱小參數ε對變截面撓曲電納米梁的自由振動狀態方程式(23)和邊界條件狀態方程式(24)進行參數分解，可得

ω=ω0+εω1+ε2ω2+…+εnωn

(25)

式中，ωj(j=0,1,2,…)是與固有頻率ω相關的參數。文獻[20]指出，一階攝動解的精度已能滿足實際計算需要，略去式(25)～式(29)中關于ε的高階項可得

ω=ω0+εω1

(30)

(31)

(32)

M(ω)=M0(ω0)+εM1(ω0,ω1)

(33)

N(ω)=N0(ω0)+εN1(ω0,ω1)

(34)

將式(30)～式(34)代入變截面撓曲電納米梁的自由振動狀態方程式(23)和邊界條件狀態方程式(24)，并略去關于ε的高階項可得

(35)

(36)

通過以上變換可將變系數狀態方程式(23)和式(24)轉化為如式(35)和式(36)所示的常系數狀態方程組，可利用傳遞函數法進行求解。

2.3 基于攝動理論的傳遞函數解法

根據攝動法原理和式(32)，令ε=0可得F0(ω0)的表達式為

F0(ω0)=[Fmn|ε=0]6×6

(37)

(38)

根據傳遞函數法，變截面撓曲電納米梁固有頻率的零階攝動值ω0可通過求解如下特征方程得到

det[M0(ω0)+N0(ω0)eF0(ω0)]=0

(39)

顯然，變截面撓曲電納米梁自由振動控制方程的零階攝動值ω0為高為h1的等截面撓曲電Timoshenko納米梁的固有頻率，其相應振型為

(40)

式中，V0表示矩陣[M0(ω0)+N0(ω0)eF0(ω0)]的零特征值對應的特征向量。對于式(36)，其通解為

(41)

(42)

式中

(43)

然后，根據變截面撓曲電納米梁的邊界條件，選取對應的邊界條件選擇矩陣M和N，將式(42)代入式(36)中的第二個方程，可得

[M0(ω0)+N0(ω0)eF0(ω0)]R0+

ω1[M11V0+N0(ω0)eF0(ω0)V11(1)]+

ω1N11eF0(ω0)V0+N10eF0(ω0)V0+

M10V0+N0(ω0)eF0(ω0)V10(1)=0

(44)

根據矩陣的初等變換，有

M0(ω0)+N0(ω0)eF0(ω0)=[P][λ][P]-1

(45)

式中，[λ]和[P]分別表示矩陣[M0(ω0)+N0(ω0)·eF0(ω0)]的特征值組成的對角矩陣和與特征值相對應的特征向量組成的矩陣。將式(45)代入式(44)可得

[λ][P]-1R0+ω1D1+D0=0

(46)

式中

(47)

由式(39)可知，[λ]必有一個零特征值，由式(46)可得變截面撓曲電納米梁的固有頻率一階攝動值為

(48)

根據式(30)，變截面撓曲電納米梁固有頻率的一階攝動解為

ω=ω0+εω1

(49)

同理，可以得到固有頻率的高階攝動解，在此不再贅述。

3 算例分析

本節首先通過與文獻結果進行對比，驗證所建模型和控制方程求解方法的正確性。在此基礎上，再系統研究非局部效應、截面非均勻性、撓曲電系數和基體黏彈性對變截面撓曲電納米梁振動特性的影響規律。如無特殊說明，變截面撓曲電納米梁的幾何參數設置如下：梁的長度L和寬度b分別為200 nm和25 nm，高度h1和h2分別為25 nm和12.5 nm；材料參數設置如下[20-22]：楊氏模量c11和剪切模量c44分別為131 GPa和42.9 GPa，橫向撓曲電系數f3113和切向撓曲電系數f3131分別為5 V和1 V，質量密度ρ、倒介電常數α33和壓電系數d31分別為6 020 kg/m3、0.79×108V·m/C和1.87×108V/m，visco-Pasternak黏彈性基體的Winkler彈性模量kw、剪切模量kG和阻尼系數ct分別為0.1 GPa/nm、0.25 GPa/nm和0.1 MPa·ns/nm。定義錐度系數c*=1-h2/h1以表征撓曲電納米梁的截面非均勻性，顯然c*=0表示等截面撓曲電納米梁。

3.1 正確性驗證

文獻[19]研究微尺度下表面效應和撓曲電效應對等截面Timoshenko梁振動特性的影響規律，基于變分原理和哈密頓原理得到了撓曲電納米梁的控制方程和邊界條件，研究了均勻載荷下結構的靜態彎曲和自由振動問題，但其忽略了撓曲電納米梁的尺度效應和在實際工程應用中的工作環境，且未對變截面梁的振動特性進行研究。本節先忽略黏彈性基體和非局部效應的影響，通過和文獻[19]對比簡支邊界條件下撓曲電納米梁的前三階無量綱固有頻率，以驗證本文模型和求解方法的正確性。

由表1可知，本文方法求得的等截面撓曲電納米梁(c*=0)前三階無量綱固有頻率與文獻[19]得到的等截面撓曲電納米梁前三階無量綱固有頻率的誤差最大僅為0.097 9%，驗證了本文所建模型和求解方法的正確性。此外，表1給出了錐度系數c*分別為0.25和0.5時變截面撓曲電納米梁的前三階無量綱固有頻率。

表1 S-S邊界條件下撓曲電納米梁的前三階無量綱固有頻率

表2 C-F邊界條件下變截面SWCNT的前三階固有頻率/GHz

3.2 非局部參數的影響分析

圖2所示為不同邊界條件下變截面撓曲電納米梁前兩階固有頻率頻率比ωNL/ωL隨非局部參數α的變化曲線，其中錐度系數c*取0.5，ωL表示非局部參數α為零時計算得到的結構固有頻率值。由圖2可知，C-F邊界條件下變截面撓曲電納米梁的一階固有頻率隨著非局部參數α的增大而增大，而其余邊界條件下變截面撓曲電納米梁的一階固有頻率隨著非局部參數的增大而減小，減小幅度隨著邊界連接剛度的增大而增大。各邊界條件下變截面撓曲電納米梁的二階固有頻率實部比和虛部比均隨著非局部參數α的增大而減小，減小幅度同樣隨著邊界連接剛度的增大而增大，各邊界條件下變截面撓曲電納米梁二階固有頻率受非局部參數α的影響由小至大的順序為：C-F

(a) 實部

圖3所示為C-S邊界條件下不同錐度系數c*對應的變截面撓曲電納米梁一階固有頻率比ωNL/ωL隨非局部參數α的變化曲線。由圖3可知，隨著錐度系數c*的增大，非局部參數α對撓曲電納米梁一階固有頻率比ωNL/ωL實部和虛部的影響明顯減小，當c*=0時，撓曲電納米梁一階固有頻率比ωNL/ωL的變化幅度最大，而當c*=0.7時，撓曲電納米梁一階固有頻率比ωNL/ωL的變化幅度最小。表明等截面撓曲電納米梁受非局部參數α的影響最大，變截面特性能減小非局部參數α對撓曲電納米梁的影響，且錐度系數c*越大，撓曲電納米梁受非局部參數α的影響越小。

(a) 實部

3.3 錐度系數的影響分析

圖4所示為不同邊界條件下撓曲電納米梁前兩階固有頻率比ω/ωc0隨錐度系數c*的變化曲線，其中非局部參數α取0.1，ωc0表示錐度系數c*=0時計算得到的結構固有頻率值。由圖4可知，在C-F邊界條件下，變截面撓曲電納米梁的一階固有頻率大于等截面納米梁的一階固有頻率，且隨著錐度系數c*的增大呈線性增大；而其余邊界條件下變截面撓曲電納米梁的一階固有頻率小于等截面撓曲電納米梁的一階固有頻率，且隨著錐度系數c*的增大而減小，減小幅度隨著邊界連接剛度的增大而增大。變截面撓曲電納米梁的二階固有頻率比ω/ωc0隨著錐度系數c*的增大呈線性減小，且減小幅度同樣隨著邊界連接剛度的增大而增大，不同邊界下錐度系數c*對變截面撓曲電納米梁二階固有頻率比ω/ωc0的影響由小至大的順序為：C-F

(a) 實部

圖5所示為C-S邊界條件下不同非局部參數α對應的變截面撓曲電納米梁一階固有頻率比ω/ωc0隨錐度系數c*的變化曲線。由圖5可知，C-S邊界條件下變截面撓曲電納米梁的前兩階固有頻率比ω/ωc0的減小幅度隨著非局部參數α的增大而減小，當不考慮非局部效應(α=0)時，錐度系數c*對撓曲電納米梁的振動特性影響最大，表明變截面撓曲電納米梁的結構剛度隨著錐度系數c*的增大而明顯減小，且增大非局部參數α可以削弱結構對錐度系數c*的敏感程度。

(a) 實部

3.4 撓曲電系數的影響分析

文獻[23]指出，撓曲電系數對變截面納米梁的固有頻率虛部無影響作用，因此本文僅分析撓曲電系數對變截面撓曲電納米梁固有頻率比ω/ω0實部的影響規律，其中非局部參數α取0.1，錐度系數c*取0.5，ω0表示撓曲電系數(橫向撓曲電系數f3113或切向撓曲電系數f3131)為零時計算得到的結構固有頻率值。圖6所示為C-S邊界條件下變截面撓曲電納米梁前兩階固有頻率比ω/ω0實部隨撓曲電系數的變化曲線。由圖6(a)可知，變截面撓曲電納米梁固有頻率實部隨著橫向撓曲電系數f3113的增大線性增加，且增加幅度隨著頻率階次的增大而增大，表明橫向撓曲電系數f3113能增加變截面納米梁的結構剛度；橫向撓曲電系數f3113對變截面撓曲電納米梁的影響幅度隨著切向撓曲電系數f3131的增大而減小，表明增大切向撓曲電系數f3131可削弱結構對橫向撓曲電系數f3113的敏感程度。由圖6(b)可知，變截面撓曲電納米梁固有頻率實部隨著切向撓曲電系數f3131的增大而減小，且減小幅度隨著頻率階次的增大而增大，表明切向撓曲電系數f3131能削弱變截面納米梁的結構剛度；切向撓曲電系數f3131對變截面撓曲電納米梁的影響幅度隨著橫向撓曲電系數f3113增大而增大，表明增大橫向撓曲電系數f3113可增加結構對切向撓曲電系數f3131的敏感程度。

(a) 不同切向撓曲電系數下橫向撓曲電系數f3113對固有頻率比ω/ω0實部的影響曲線

3.5 黏彈性基體的影響分析

圖7所示為C-S邊界條件下不同錐度系數c*對應的撓曲電納米梁一階固有頻率隨黏彈性基體的阻尼系數ct的變化曲線。由圖7可知，在C-S邊界條件下，當黏彈性基體的阻尼系數ct小于不同錐度系數c*對應的臨界阻尼系數ct_crit時，變截面撓曲電納米梁固有頻率的實部隨著黏彈性基體阻尼系數ct的增大而減小，且臨界阻尼系數ct_crit隨著錐度系數c*的增大而減小；固有頻率的虛部隨著黏彈性基體阻尼系數ct的增大呈線性增大。當黏彈性基體的阻尼系數ct大于不同錐度系數c*對應的臨界阻尼系數ct_crit時，變截面撓曲電納米梁固有頻率的實部為零，即不再發生往復振動；固有頻率的虛部繼續增加，增大趨勢逐漸減小。

(a) 實部

4 結 論

本文以黏彈性基體中的Timoshenko納米梁為研究對象，綜合考慮了非局部效應、截面非均勻性、壓電效應和撓曲電效應等因素，建立了黏彈性基體中的變截面撓曲電Timoshenko納米梁的自由振動控制方程和邊界條件，基于攝動理論給出了典型邊界條件下變截面撓曲電納米梁自由振動控制方程的傳遞函數求解方法，通過算例驗證了所建模型和自由振動控制方程求解方法的正確性，并較系統地研究了非局部參數α、錐度系數c*、橫向撓曲電系數f3113、切向撓曲電系數f3131和黏彈性基體的阻尼系數ct對撓曲電納米梁振動特性的影響規律。主要結論如下：

(1) C-F邊界條件下變截面撓曲電納米梁的一階固有頻率隨著非局部參數α和錐度系數c*的增大而增大，高階固有頻率則隨著非局部參數α和錐度系數c*的增大而減小。

(2) 非局部參數α對變截面撓曲電納米梁固有頻率的影響隨著錐度系數c*的增大而減小；錐度系數c*對變截面撓曲電納米梁固有頻率的影響程度隨著非局部參數α的增大而減小。

(3) 增大切向撓曲電系數f3131可削弱結構對橫向撓曲電系數f3113的敏感程度；增大橫向撓曲電系數f3113可增加結構對切向撓曲電系數f3131的敏感程度。

(4) 增大錐度系數c*能減小撓曲電納米梁不發生往復振動對應的臨界阻尼系數ct_crit。