輪式機器人分數(shù)階滑模內(nèi)模速度控制器設(shè)計

王 鑫 劉怡明 王明明* 孫曉云

1(石家莊鐵道大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院 河北 石家莊 050043)2(蘇州大學(xué)機電工程學(xué)院 江蘇 蘇州 215137)

0 引 言

輪式機器人具有速度快、效率高的優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于礦山檢測、市政檢測等領(lǐng)域[1-2]。針對輪式機器人無刷直流電機(Brushless Direct Current Motor,BLDCM)驅(qū)動系統(tǒng)，傳統(tǒng)PID控制策略，速度響應(yīng)慢、抗干擾能力差、過度依賴精確的數(shù)學(xué)模型，文獻[3-4]將模糊控制與PID結(jié)合，雖然不需要精確的數(shù)學(xué)模型，但隸屬度函數(shù)的選取需要大量的經(jīng)驗，難達到最好的效果。文獻[5-6]將滑模控制應(yīng)用于BLDCM調(diào)速系統(tǒng)，使系統(tǒng)參數(shù)變化時不受影響，在內(nèi)外擾動下系統(tǒng)具有良好的魯棒性，但滑模控制易出現(xiàn)系統(tǒng)抖振。文獻[7]采用指數(shù)趨近律滑模算法對BLDCM進行調(diào)速控制，但在原點處存在帶狀高頻抖動。文獻[8]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與滑模控制結(jié)合，抑制了系統(tǒng)抖振，但未考慮調(diào)節(jié)時間。文獻[9]將分數(shù)階滑模控制應(yīng)用于消除永磁同步電機系統(tǒng)抖振，同時使系統(tǒng)具有較少的響應(yīng)時間。文獻[10]將內(nèi)模控制應(yīng)用于消除內(nèi)環(huán)干擾，使整個系統(tǒng)具有干擾抑制特性。

本文在深入研究輪式機器人運動方式與BLDCM調(diào)速的基礎(chǔ)上，結(jié)合分數(shù)階滑模控制與內(nèi)模控制提出一種輪式機器人分數(shù)階滑模內(nèi)模調(diào)速新方法。為了驗證算法的有效性，通過搭建MATLAB/Simulink與Carsim 聯(lián)合仿真平臺，在不同路面擾動的情況下進行啟動加速與速度突變的仿真實驗。實驗結(jié)果表明，分數(shù)階滑模內(nèi)模速度控制器可以有效地降低速度響應(yīng)時間，消除干擾，提高系統(tǒng)的魯棒性。

1 輪式機器人模型建立

1.1 Carsim簡介

Carsim是用于車輛動力學(xué)的專用仿真軟件，可以模擬道路和空氣動力輸入的響應(yīng)，并且主要用于預(yù)測和模擬總體車輛操縱穩(wěn)定性。本文借助Carsim的路面輸入響應(yīng)，進行輪式機器人在不同路面下的仿真實驗，用于輪式機器人速度控制器的開發(fā)。

1.2 BLDCM數(shù)學(xué)模型

針對BLDCM為兩相導(dǎo)通星形三相六狀態(tài)的情形，在理想狀態(tài)下，三相繞組的電壓平衡方程式為：

(1)

式中：Ua、Ub、Uc為三相繞組的相電壓；ea、eb、ec為三相繞組的反電動勢；ia、ib、ic為三相繞組的相電流；M為各相繞組之間的互感；r為各相繞組的電阻；L為各相繞組的自感。BLDCM定子繞組產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩可表示為：

(2)

式中：Te為電磁轉(zhuǎn)矩；ω為電機機械角速度。運動方程為：

(3)

式中：TL為負載轉(zhuǎn)矩；J為電機轉(zhuǎn)動慣量；B為阻尼系數(shù)。

1.3 輪式機器人差速運動模型建立

為了輪式機器人更加靈活、轉(zhuǎn)彎半徑更小、適應(yīng)更多的路況，建立前后四輪差速控制模型，將輪式機器人抽象成前、后兩個轉(zhuǎn)向模型進行分析，前后輪差速轉(zhuǎn)向模型的轉(zhuǎn)矩分配狀態(tài)直接由轉(zhuǎn)向模型進行確立。模型中內(nèi)外輪的轉(zhuǎn)矩比為：

(4)

式中：W為輪距；H為輪式機器人質(zhì)心到地面的高度；w為電機機械角速度；V為輪式機器人速度；g為重心加速度；θ為轉(zhuǎn)向角度。在轉(zhuǎn)向過程中，內(nèi)外側(cè)輪的轉(zhuǎn)矩差為ΔTp：

(5)

輪式機器人內(nèi)外側(cè)輪在轉(zhuǎn)向過程中所需的實際轉(zhuǎn)矩分別為：

Tin=Te-ΔTp

(6)

Tout=Te+ΔTp

(7)

根據(jù)輪式機器人運動方式，利用MATLAB/Simulink與Carsim建立四輪差速運動模型，通過Simulink和Carsim的接口設(shè)置來完成輪式檢測機器人的驅(qū)動系統(tǒng)與整車模型之間的信號傳遞, 實現(xiàn)將電機轉(zhuǎn)矩直接加載到車輪上。每一個車輪由一個BLDCM進行控制。Carsim系統(tǒng)輸入輸出如表1所示。

表1 Carsim系統(tǒng)輸入輸出

Simulink和Carsim控制結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 控制結(jié)構(gòu)

2 輪式機器人調(diào)速系統(tǒng)設(shè)計

2.1 分數(shù)階滑模控制簡介

分數(shù)階滑模控制是由分數(shù)階算子與滑模控制結(jié)合而成的。一般將分數(shù)階微積分的基本操作算子定義為aDta，具體形式為：

(8)

式中：a為階次，Re(a)為其實部；α是操作算子的下限，t為上限；τ為積分的導(dǎo)數(shù)。

隨著對分數(shù)階的認知與分析，常用的為Grünwald-Letnikov(GL型)、Caputo(C型)和Riemann-Liouville(RL型)。

其中RL型分數(shù)階微積分定義為：

(9)

式中：m∈N；a滿足m-1

RL函數(shù)的分數(shù)階積分的Laplace變換為：

L[αDt-af(t)]=s-aL[f(t)]=s-aF(s)

(10)

2.2 速度環(huán)分數(shù)階滑模控制

利用BLDCM數(shù)學(xué)模型，忽略粘滯摩擦系數(shù)的影響，改進式(3)為：

(11)

則BLDCM的狀態(tài)方程為：

(12)

式中：

(13)

(14)

電流i為輸出，轉(zhuǎn)速偏差為輸入。

取分數(shù)階積分滑模面為:

(15)

式中：c為滑模面增益，且c>0。指數(shù)趨近律為：

(16)

式中：ε>0;k>0。

則分數(shù)階滑模控制的控制結(jié)果為：

(17)

分數(shù)階滑模控制的結(jié)果，使得輸出的電流變?yōu)榉謹?shù)階積分，降低了電流環(huán)輸入的波動，提高了系統(tǒng)魯棒性。

2.3 分數(shù)階滑模穩(wěn)定性分析

采用李雅普諾夫穩(wěn)定性來分析分數(shù)階滑模控制的有效性，設(shè)李雅普諾夫函數(shù)為：

(18)

對其求導(dǎo)得：

s×[-εsgn(s)-ks]=

-εs·sgn(s)-ks2

(19)

加入干擾項后，有新的狀態(tài)方程：

(20)

為了滿足李雅普諾夫函數(shù)，有：

(21)

2.4 電流環(huán)內(nèi)模控制

結(jié)合內(nèi)模控制器原理可知，內(nèi)模控制系統(tǒng)輸出為：

(22)

式中：R(s)為系統(tǒng)輸入；Y(s)為系統(tǒng)輸出；CIMC(s)為內(nèi)模控制器；G(s)為實際被控對象；GM(s)為被對象數(shù)學(xué)模型；D(s)為擾動。

根據(jù)BLDCM結(jié)構(gòu)，電流環(huán)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 電流環(huán)結(jié)構(gòu)

假定被控對象與模型匹配，則:

(23)

根據(jù)內(nèi)模控制器的設(shè)計原則，將模型GM(s)分解成：

GM(s)=GM+(s)GM-(s)

(24)

式中:GM-(s)具有最小相位特征，而GM+(s)則為模型非最小相位部分，包含時滯環(huán)節(jié)和右半平面零點。

為保證內(nèi)模控制器的可實現(xiàn)性，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性，引入低通濾波器f(s)，將電流內(nèi)環(huán)看成一階慣性系統(tǒng)，則電流內(nèi)模控制器CIMC(s)為：

(25)

(26)

則電流環(huán)內(nèi)模控制器傳遞函數(shù)為：

(27)

存在λi使得：

Y(s)=R(s)

(28)

從式(27)與式(28)容易看出，電流環(huán)內(nèi)模控制器只需調(diào)節(jié)一個參數(shù)λi，使得控制參數(shù)調(diào)節(jié)更加簡便，并且可以消除負載變化帶來的干擾D(s)，從而提高系統(tǒng)的魯棒性。

3 系統(tǒng)仿真與分析

3.1 仿真平臺

為了驗證分數(shù)階滑模內(nèi)模調(diào)速方法的優(yōu)越性，利用MATLAB/Simulink與Carsim軟件進行仿真實驗，并與整數(shù)階滑模內(nèi)模控制、分數(shù)階滑模PID控制進行對比分析。

以輪式機器人速度作為外環(huán)，根據(jù)實際速度與設(shè)定的速度偏差進行控制，使輪式機器人速度快速地跟隨給定速度變化，電流環(huán)作為內(nèi)環(huán)，速度環(huán)的控制輸出作為電流控制的輸入，緊緊跟隨速度環(huán)的變化進行控制，最后結(jié)合Carsim反饋的輪式機器人輪速信息，完成整個系統(tǒng)的控制。速度環(huán)和電流環(huán)分別由控制器AVR和ACR控制，速度控制器AVR使用分數(shù)階滑模控制器；電流控制器ACR為內(nèi)模控制器。輪式機器人調(diào)速系統(tǒng)(單個輪子)動態(tài)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 輪式機器人調(diào)速系統(tǒng)(單個輪子)結(jié)構(gòu)

設(shè)定輪式機器人車長：820 mm；車寬：695 mm；車高：356 mm；車重：65 kg；車輪半徑：150 mm；輪距：602 mm；軸距：504 mm；電機額定功率5 kW；電阻(Rs)：0.125 Ω；電感(T1)：3.75 mH；反電動勢(ke)：0.25 V·(r·min)-1；電流反饋系數(shù)(ki)：36；PWM延遲系數(shù)(Ts)：0.4。

3.2 仿真效果分析

在Carsim中，根據(jù)不同的地面滾動摩擦系數(shù)與滑動摩擦系數(shù)，選取瀝青與碎石兩種不同的路面擾動進行仿真實驗。設(shè)置啟動速度為2.88 km/h，突然加速實驗在1 s時速度由2.88 km/h變?yōu)?.50 km/h；突然減速實驗在1 s時速度由2.88 km/h變?yōu)?.50 km/h。

根據(jù)所建模型，首先在瀝青地面的情況下進行仿真實驗。瀝青地面突然加速過程如圖4所示。

圖4 瀝青地面突然加速過程

瀝青地面突然減速過程如圖5所示。

圖5 瀝青地面突然減速過程

根據(jù)參數(shù)設(shè)置對碎石路面進行仿真實驗，碎石地面突然加速過程如圖6所示。

圖6 碎石路面啟程突然加速過程

碎石地面突然減速過程如圖7所示。

圖7 碎石地面突然加速過程

由圖4-圖7可知，分數(shù)階滑模內(nèi)模在輪式機器人速度變化過程中，速度快速跟隨到設(shè)定值且基本上無超調(diào)。為了進一步證明本文算法的有效性，選取超調(diào)量σ、上升時間Tr與時間乘絕對誤差積分準則ITAE進行評估，對圖4、圖6前1 s數(shù)據(jù)進行處理，數(shù)據(jù)處理結(jié)果如表2所示。

表2 數(shù)據(jù)處理結(jié)果

由表2數(shù)據(jù)分析可知，在不同的地面干擾情況下，分數(shù)階滑模內(nèi)模控制較分數(shù)階滑模PID控制在保持快速性的同時降低了系統(tǒng)超調(diào)；分數(shù)階滑模內(nèi)模控制速度響應(yīng)優(yōu)于整數(shù)階滑模內(nèi)模控制，且在保持快速性的同時只存在少量的超調(diào)，證明控制系統(tǒng)具有良好的動態(tài)響應(yīng)；從ITAE指標(biāo)也可以看出，分數(shù)階滑模內(nèi)模控制瞬態(tài)響應(yīng)的振蕩性小。

綜上所述，分數(shù)階滑模內(nèi)模速度控制器對于外部干擾具有較強的抗干擾能力、響應(yīng)速度快、響應(yīng)速度曲線波動小，能夠快速達到設(shè)定速度，并以設(shè)定速度平穩(wěn)運行。

4 結(jié) 語

在不同路面的擾動下，為了提高輪式機器人的響應(yīng)速度，降低外部擾動對調(diào)速系統(tǒng)的影響，改善系統(tǒng)抖振。本文在輪式機器人無刷直流電機調(diào)速系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，結(jié)合分數(shù)階滑模控制與內(nèi)模控制策略，提出一種調(diào)速控制新方法。通過搭建MATLAB/Simulink與Carsim聯(lián)合仿真平臺，與分數(shù)階滑模PID控制和整數(shù)階滑模內(nèi)模控制進行對比實驗，實驗結(jié)果表明，分數(shù)階滑模內(nèi)模控制器能有效降低速度響應(yīng)時間，減少擾動對速度控制的影響，消除系統(tǒng)抖振，提高系統(tǒng)的魯棒性，可應(yīng)用于以速度調(diào)控為主導(dǎo)的控制系統(tǒng)。