運(yùn)用參數(shù)方程求雙曲線弦長

郝秋梅

[摘 要]求雙曲線的弦長是幾何與代數(shù)的綜合運(yùn)用，也是高中數(shù)學(xué)的考點(diǎn)和難點(diǎn)之一。運(yùn)用雙曲線的參數(shù)方程求弦長，不但能簡化計(jì)算過程，而且能提高計(jì)算準(zhǔn)確率，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

[關(guān)鍵詞]參數(shù)方程;雙曲線;弦長

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）02-0014-03

參數(shù)方程是以參變量來表示曲線上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡的坐標(biāo)方程，是曲線在同一坐標(biāo)系下的另一種表示形式。雙曲線是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，與向量、解析幾何、直線方程等知識聯(lián)系緊密。在教學(xué)中，教師基本上只講解用公式[AB=1+k2x2-x1=1+1k2y2-y1]求解弦長，其他方法一概略過。在考試中，一旦雙曲線方程或弦所在直線方程復(fù)雜、不易化簡時(shí)，采用傳統(tǒng)解法（聯(lián)立雙曲線方程與弦所在直線方程，再利用韋達(dá)定理和兩點(diǎn)間距離公式）求解，會(huì)使計(jì)算難度增加，求解過程煩瑣，學(xué)生往往會(huì)因?yàn)橛?jì)算量過大而半途而廢或出錯(cuò)。為了解決此類問題，本文引進(jìn)參數(shù)方程求解雙曲線的弦長。雖然定理證明過程比較復(fù)雜，但結(jié)論比傳統(tǒng)解法更加簡潔，同時(shí)也體現(xiàn)了解決數(shù)學(xué)問題方法的多樣性。

一、性質(zhì)推導(dǎo)

性質(zhì)1 直線l：[y=kx+m]過雙曲線[x=acos φ，y=btan φ]（[φ]為參數(shù)）的焦點(diǎn)[F2（c， 0）]與雙曲線交于[A]，[B]兩點(diǎn)，則[l]被雙曲線截得的弦長[AB=2ab2（1+k2）b2-k2a2]。（如圖1）

證明：設(shè)[A（asec φ1， btan φ1）]，[B（asec φ2， btan φ2）]。

因?yàn)橹本€[l]的斜率為[k=b（tan φ2-tan φ1）a（sec φ2-sec φ1）]，則[tan φ2-tan φ1=kab（sec φ2-sec φ1）]。

故弦長[AB=]

[（asec φ2-asec φ1）2+（btan φ2-btan φ1）2=a1+k2sec φ2-sec φ1]。

因?yàn)橹本€[l]與直線[AF2]的斜率相同，即[k=btan φ1asec φ1-c]，所以[tan φ1=kb（asec φ1-c）]。

又由[sec2φ1=1+tan2φ1]，得[sec2φ1=1+k2b2（asec φ1-c）2]。

化簡得[1-k2a2b2sec2φ1+2k2acb2sec φ1-k2c2b2-1=0]，該式是關(guān)于[sec φ1]的一元二次方程。

根據(jù)一元二次方程的判別式得，[Δ=2k2acb22-41-k2a2b2-k2c2b2-1=41+k2>0]，

故該一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即

[sec φ1=-k2ac±b21+k2b2-k2a2]。

令[sec φ1=-k2ac+b21+k2b2-k2a2]，則由雙曲線參數(shù)方程的性質(zhì)得[sec φ2=-k2ac-b21+k2b2-k2a2]。

因此，弦長[AB=a1+k2sec φ2-sec φ1=2ab2（1+k2）b2-k2a2]。

性質(zhì)2 直線[l]：[y=kx+m]與雙曲線[x=acosφ，y=btanφ]（[φ]為參數(shù)）交于[A]，[B]兩點(diǎn)，且與[x]軸交于點(diǎn)[C]，則[l]被雙曲線截得的弦長[AB=2ab（1+k2）（m2-k2a2+b2）b2-k2a2]。（如圖2）

證明：當(dāng)[k≠0]時(shí)，設(shè)[A（asec φ1， btan φ1）]，[B（asec φ2]，[btan φ2）]。

因?yàn)橹本€[l]的斜率為[k=b（tan φ2-tan φ1）a（sec φ2-sec φ1）]，所以[tan φ2-tan φ1=kab（sec φ2-sec φ1）]。

故弦[AB=]

[（asec φ2-asec φ1）2+（btan φ2-btan φ1）2=a1+k2sec φ2-sec φ1]。

因?yàn)橹本€[l]與[x]軸交于[C]點(diǎn)，所以[C-mk， 0]。

又直線[l]與直線[AC]的斜率相同，即[k=btan φ1asec φ1+mk]，所以[tan φ1=kabsec φ1+mb]。

又由[sec2φ1=1+tan2φ1]，得[sec2φ1=1+kabsec φ1+mb2]，

化簡得[1-k2a2b2sec2φ1-2kamb2sec φ1-m2b2-1=0]，該式是關(guān)于[sec φ1]的一元二次方程。

根據(jù)一元二次方程的判別式得

[Δ=-2kamb22-41-k2a2b2-m2b2-1=4（m2-k2a2）b2+4=4m2k2-a2b2k2+4>0]。

故該一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即

[sec φ1=kam±bm2-k2a2+b2b2-k2a2]。

令[sec φ1=kam+bm2-k2a2+b2b2-k2a2]，則由雙曲線參數(shù)方程的性質(zhì)得

[sec φ2=kam-bm2-k2a2+b2b2-k2a2]。

因此，弦長[AB=a1+k2sec φ2-sec φ1=2ab（1+k2）（m2-k2a2+b2）b2-k2a2]。

當(dāng)[k=0]時(shí)，雙曲線的弦長就變?yōu)閇AB=2ab2+m2b]，滿足上述公式。

性質(zhì)3 直線[l]：[x=m]與雙曲線[x=acos φ，y=btan φ]

（[φ]為參數(shù)）交于[A]，[B]兩點(diǎn)，且與[x]軸交于點(diǎn)[C]，則[l]被雙曲線截得的弦長[AB=2bm2-a2a]。（如圖3）

證明：當(dāng)[m≠c]時(shí)，設(shè)[A（asec φ， btan φ）]，[B（asecφ]， -btan [φ]）。

因?yàn)橹本€[l]與[x]軸交于[C]點(diǎn)，所以[C（m， 0）]。

由圖可知[asec φ=m]，則[sec φ=ma]。

又由[sec2φ=1+tan2φ]，得[tan2φ=m2a2-1=m2-a2a2 ]。

因此，弦長[AB=2atan φ=2bm2-a2a]。

當(dāng)[m=c]時(shí)，弦[AB]是雙曲線的通徑，即[AB=2b2a]。

二、應(yīng)用提升

[例1]過雙曲線[x=1cosθ，y=3tanθ]（[θ]為參數(shù)）的左焦點(diǎn)[F1]，作傾斜角為[π6]的直線[AB]，其中[A， B]分別為直線與雙曲線的交點(diǎn)，則[AB]的長為? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

解：由題意知[a=1， b=3]，[∵]直線[AB]的傾斜角為[π6]，[∴k=tanπ6= 33]。

則由性質(zhì)1得

[AB=2×1×32×1+33232-332×1=3]。

評注：本題是求解雙曲線的焦點(diǎn)弦問題，已知[a， b]和直線的傾斜角，求弦長[AB]。若采用傳統(tǒng)解法（聯(lián)立雙曲線方程與直線方程，再結(jié)合韋達(dá)定理求解）會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量過大，給解決問題增加難度，但運(yùn)用性質(zhì)1求解則會(huì)降低難度，大大簡化計(jì)算過程。

[例2]已知雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1（a>0， b>0）]的左、右焦點(diǎn)分別為[F1， F2]，離心率為3，直線[y=2]與[C]的兩個(gè)交點(diǎn)A、B間的距離為[6]。則雙曲線[C]的標(biāo)準(zhǔn)方程為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

解：由題意知[e=ca=3，AB=2ab2+m2b?]

[b2+a2a2=9，2ab2+22b=6?a=1，b=22。]

故雙曲線[C]的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x2-y28=1]。

評注：本題求的是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，實(shí)際上就是求出[a， b]的值，利用離心率、弦長公式以及[c2-a2=b2]得到有關(guān)[a， b]的方程組，從而解出[a]和[b]。弦長公式是解決本題的關(guān)鍵，若學(xué)生不能熟練運(yùn)用弦長公式，則會(huì)加大解題難度、增加計(jì)算量。

[例3]已知直線[l]：[y=kx+1]與雙曲線[C]：[x=33cosθy=tan θ]，（[θ]為參數(shù)）交于[A， B]兩點(diǎn)，若[AB=43]，求[k]的值。

解：由題意知[a=33， b=1， m=1]。由性質(zhì)2得[43=2×33×1×（1+k2）1-k23+11-k23]，

即[13k4-77k2+102=0]，所以[k=±2]或[k=±66313]。

評注：本題已知雙曲線的參數(shù)方程和弦長求直線的斜率[k]，值得注意的是直線[l]恒過點(diǎn)[（0， 1）]，它是雙曲線虛軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，這說明直線的斜率一定存在。運(yùn)用性質(zhì)2可求得直線[l]的斜率[k]。這樣不但能簡化計(jì)算過程，而且能提高學(xué)生的解題速度與準(zhǔn)確率，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

由于雙曲線具有3種不同形式的參數(shù)方程，所以它的弦長公式的表達(dá)形式也各不相同。本文僅介紹了其中一種類型的雙曲線弦長公式及應(yīng)用，該弦長公式可起到化繁為簡的作用，對于提升學(xué)生分析問題與解決問題的能力有一定的幫助。其中性質(zhì)1是雙曲線的焦點(diǎn)弦公式（無論直線與雙曲線的哪一支相交，都可用該公式求解），它的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量小，[a， b， k]及弦長[d]可知三求一。性質(zhì)2適用于解決不經(jīng)過焦點(diǎn)的一般類弦長問題，應(yīng)用比較靈活和廣泛。性質(zhì)3適用于直線斜率不存在時(shí)求弦長的問題，它形式簡單、容易記憶。

以上3條性質(zhì)都有它的使用條件，在解題的過程中我們要具體問題具體分析，根據(jù)題目已知條件選擇對應(yīng)的弦長公式和解題方法，這樣既能讓學(xué)生提高解題效率，又能鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 方志平.橢圓、雙曲線過焦點(diǎn)的弦長公式及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（13）：49-51.

[2]? 潘繼軍，張海芳，李榮玲.圓錐曲線焦點(diǎn)弦的幾個(gè)重要結(jié)論[J].科教導(dǎo)刊（下旬），2020（15）：46-47.

[3]? 劉志新.換個(gè)“角度”求橢圓弦長[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2009（1）：22-23.

[4]? 鐘德光，蔡方明，陳宇鵬.求橢圓弦長，方法知多少？[J].理科考試研究，2018（7）：21-23.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）

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