“問題導學”復習課問題設計藝術

陶新軍 陳華曲

[摘 要]“問題導學”復習課教學模式包括知識回顧、自主構建、應用探索、總結歸納四個環節。如何設置問題，提高學生思維能力，是教師應該思考的首要問題。

[關鍵詞]問題導學;提問;圓錐曲線;離心率

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）02-0001-04

筆者曾有幸聽了兩位教師教學“圓錐曲線離心率求值與范圍問題”的同課異構課，并從“如何設計問題”這一角度進行了點評。之所以選擇從“如何設計問題”的角度進行點評，是因為我校的黃河清校長在教學實踐中探索出了“問題導學”教學法，其涉及新授課教學模式與復習課教學模式。其中，“問題導學”復習課教學模式包括知識回顧、自主構建、應用探索、總結歸納四個環節。每一個環節都有導向性的問題，教師合理設計問題，才能更好地引導學生思考，進而提高學生的思維能力。但是，提問要與學生的智力水平和知識水平相適應，讓學生“跳一跳，能摘到果子”。那么，教師怎樣才能在教學中問到“點子”上呢？筆者以“圓錐曲線離心率求值與范圍問題”的教學設計為例對如何設計問題進行評析。

“圓錐曲線離心率求值與范圍問題”的教學設計如下：

一、教材分析

離心率是刻畫橢圓的扁平程度和雙曲線的開口大小的一個量。求離心率的大小和范圍問題是高考的熱點和難點。離心率問題既可以考查圓錐曲線的定義和性質，又可以綜合考查平面幾何、三角函數、平面向量等內容，還可以考查考生的邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力，更可以考查數形結合、轉化與化歸、函數與方程等數學思想方法。因此，它備受命題者青睞。在高考第一輪復習中，我們不僅要求“全”，而且要求“聯”。在高考第二輪復習中，我們不再要求“全”，而應要求“變”?；谝陨侠砟?，筆者設計了本課教學。

本節課是求圓錐曲線離心率問題的復習課，旨在通過精心設計課堂教學活動，鞏固學生的基礎知識，完善學生的知識結構，促進學生掌握解決問題的方法。

二、教學設計

（一）知識回顧

我們知道，離心率[e=ca]是刻畫橢圓的扁平程度和雙曲線的開口大小的一個量。

如圖1所示。

問題1：在橢圓和雙曲線中哪些線段分別表示[a， b， c]？

設計意圖：復習橢圓、雙曲線[a， b， c]和對應線段的關系，復習離心率的定義和范圍。

（二）自主構建

問題2：你們能解答下面的題目，并比較它們的相同點和不同點嗎？

（1）雙曲線[C：x24-y212=1]的離心率為 ? ? ? ?。

（2）橢圓[C：x2a2+y24=1]的一個焦點為[2， 0]，則橢圓[C]的離心率為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

設計意圖：這兩道題目的共同點是可以直接求解[a， c]，也可以直接求解離心率;不同點是第（1）題已知[a， b]，可以求[c];第（2）題已知[b， c]，可以求[a]。

[例1]若雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1（a>0， b>0）]的一條漸近線被圓[（x-2）2+y2=4]所截得的弦長為2，則橢圓[C]的離心率為? ? ? ? ? ? ? ? 。

A. 2 B. [3] C. [2] D. [233]

[思路引導一]

師：例1和前面兩題有什么區別？

生：前面兩題直接可以求解[a， b， c，]例1不能直接求解。

師：如何尋找關于[a， b， c]的等量關系？

生：可以從幾何圖形中尋找。

師：請在三角形背景下尋找關于[a， b， c]的等量關系。如圖2，在[△OAB]中，[AB=2]，[OB=2]，可以求解哪條線段的長度？

生：可以作圓心到弦的垂線，得到弦心距為[3]。

師：我們求解的弦心距[3]和雙曲線中的[a， b， c]如何建立關系？

生：通過點到直線的距離公式可以列出關于[a， b， c]的方程。

[思路引導二]

師：觀察[△OAB]，它有何特點？

生：[△OAB]是正三角形。

師：在[△OAB]中，[∠AOB]是多少？

生：[∠AOB=π3]。

師：[∠AOB]和雙曲線中的[a， b， c]如何建立關系？

生：[tan∠AOB=ba=3]。

問題3：通過以上題目，你能歸納出求離心率大小的基本步驟嗎？

設計意圖：例1不能直接求[a， b， c]的值，如何建立關于[a， b， c]的等量關系？通過教師的引導，學生探索發現，建立等量關系。學生歸納總結，教師再補充完善，歸納、總結求離心率大小的基本步驟：（1）通過已知條件畫出幾何圖形;（2）通過幾何圖形列出關于[a， b， c]的等式;（3）解等式（?；癁閍，c的齊次式）。

（三）應用探索

[例2]雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1] [（a>0， b>0）]的兩個焦點為[F1]，[F2]，若[P]為雙曲線上的一點，且[PF1=2PF2]，求雙曲線[C]離心率的取值范圍。

[思路引導一]

師：例2和例1有何不同？

生：例1是求離心率的大小，例2是求離心率的取值范圍。

師：例2中哪些條件是固定的？

生：[PF1=2PF2]。

師：例2中哪些條件是變化的？

生：[P]為雙曲線上的一動點。

師：動點意味著變化，變化就會產生不等關系，本題中動點P在哪些位置有變化？

生：[P]點從右上方運動到[A]點，[PF2]的長度逐漸變小;從[A]點運動到右下方，[PF2]的長度逐漸變大。

師：你能用[a， b， c]來表示這些變化嗎？

生：[PF2≥c-a]。

[思路引導二]

師：觀察[△PF1F2]，你能用[a， b， c]來表示這些變化嗎？

生：[PF1+PF2≥2c]。

[思路引導三]

師：我們學習了雙曲線的第二定義，[PF2]的長度如何表示？

生：[PF2=ex0-a]。

師：參考思路引導一，我們能用[a， b， c]來表示[PF2]嗎？

生：[PF2=ex0-a=2a]，即[x0=3ae]。

師：本題中雙曲線的范圍是多少？

生：[x0≥a]，亦即[x0=3ae≥a]。

問題4：通過以上思路，你能否歸納出求離心率范圍的基本步驟？

設計意圖：例2是求離心率的取值范圍。解答例2的關鍵在于確定[a， b， c]的不等關系。題目只給了兩焦半徑的等量關系，難點在于挖掘題目中的隱含條件，確定不等關系。一方面，可通過幾何圖形定性分析，找到邊的不等關系;另一方面，可通過定量計算，利用雙曲線的性質，由方程過渡到不等式，從而確定不等關系。教師引導學生總結歸納出求離心率取值范圍的基本步驟：（1）通過已知條件畫出幾何圖形;（2）通過幾何圖形列出關于[a， b， c]的不等式;（3）解不等式（?；癁閍，c的齊次式）。

問題5：若將條件[PF1=2PF2]改為[PF1=γPF2（γ>1），]結果又會怎樣呢？

問題6：在問題5的前提下，若將條件雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1（a>0， b>0）]改為橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，結果又會怎樣呢？

設計意圖：將圓錐曲線類型由雙曲線改為橢圓，其他條件不變，離心率的取值范圍又會怎樣變化呢？題目的變式，旨在考查學生在條件變化后對離心率取值范圍問題的掌握情況，滿足不同層次學生的學習需求，提升學生的數學學科核心素養。

（四）總結歸納

問題7：本節課我們復習了哪些知識？用到了哪些數學思想方法？

1.求離心率大小的基本步驟：

（1）通過已知條件畫出幾何圖形;

（2）通過幾何圖形列出關于[a， b， c]的等式;

（3）解等式（常化為[a， c]的齊次式）。

2.求離心率取值范圍的基本步驟：

（1）通過已知條件畫出幾何圖形;

（2）通過幾何圖形列出關于[a， b， c]的不等式;

（3）解不等式（?；癁閇a， c]的齊次式）。

3.用到了數形結合、轉化與化歸、函數與方程等數學思想方法。

設計意圖：學生通過總結歸納，完善數學知識結構，掌握數學思想方法，培養數學學科核心素養。

三、教學反思

復習課是比較常見的課型。復習是完善學生知識結構的關鍵環節。復習中，教師應設計一系列具有遞進性、挑戰性和探究性的問題，引導學生學習，進行高水平的思維訓練。這樣，學生既可以鞏固數學知識，促進知識內化，又可以培養去偽存真、舉一反三的思維能力，逐步提升數學學科核心素養。

以“問題”為載體，以學生的“學”為目標，以教師的“導”為主線組織課堂教學，是“問題導學”教學模式的核心。教師在進行教學設計時，既要考慮知識之間的聯系，又要考慮知識的變化，還要考慮學情。為此，教師會對專業的知識進行深入的探討和研究，久而久之，教師的專業水平會得到極大的提升。

四、教學評析

（一）問題設計要激發學生的學習興趣

好的開端是成功的一半。若一節課的開始，教師設計學生感興趣的問題，會極大地激發學生的學習熱情和學習興趣。怎樣才能設計學生感興趣的問題呢？教師要在課前做足功課，根據教學內容提前對問題進行預設。教師可以結合當前的熱門事件設計問題，可以根據數學的發展與歷史故事設計問題，可以根據章頭提示設計問題。本節課是高考第二輪復習課。復習課是教師依據學生的記憶規律，通過特定的教學活動對學生已有的知識進行鞏固、拓展的課型。復習課的“知識回顧”環節重點要激發學生的學習興趣。在教學中，甲、乙兩位教師一開始都給出了近三年高考全國卷離心率的考點分布圖和離心率的公式。教師甲布置學生自己看離心率的考點分布圖，然后講解離心率公式。這樣導入課堂就顯得有些嚴肅，學生參與度不高。課堂一開始，學生的積極性沒有被調動起來，課堂氣氛有些沉悶。教師乙是布置學生讀有關離心率的考點，然后提問：“離心率考了幾次？”學生答：“三次?！苯處熞艺f：“重要事情說三遍，可見離心率很重要?！边@個提問很簡單，學生容易回答，一下就激發了學生的學習熱情和學習興趣。這樣的提問，不僅有利于本節課教學的開展，還間接強調了離心率的重要性。

（二）問題設計要留夠學生思考時間

教師設計好問題并提問學生后要耐心等待，給學生足夠的時間思考、回答，不要剛提出一個問題，學生還沒回答，又馬上提出下一個問題，導致課堂結束后還留下多個問題給學生。有的學生課后沒有思考，久而久之也懶得思考，極大地影響了思考問題的積極性。

建構主義理論認為，學習不應被看成對教師所授予知識的被動接受，而應是學習者以自身已有的知識和經驗為基礎的主動建構活動。這就要求教師合理引導，把學習自主權交給學生。下面對例1進行點評。

點評：對于例1，教師用5分鐘講了兩種解法，還寫了板書，提了8個問題，時間很倉促，學生沒有時間思考，更不用說動筆計算了。教師“滿堂灌”加“滿堂問”，上完一節課，自己很累，而學生收獲不大。

（三）問題設計要注意嚴謹性

數學是一門嚴謹的學科，教師要利用有限的課堂時間培養學生思維的嚴謹性。教師可以設計問題，讓學生回答，學生回答問題時可能知識運用不嚴謹，也可能思維不嚴謹，還可能表述不嚴謹。教師要不斷發現學生存在的問題并完善學生的解答。下面繼續對例1進行點評。

點評：對于例1，教師先畫圖，由弦長是2，半徑是2，可知△[AOB]是等邊三角形，然后提問：“直線的傾斜角為多少？”筆者認為這樣提問不合理、不嚴謹。因為漸近線有2條，教師只畫出了一條。若教師把2條漸近線都畫出來，構圖成等邊三角形，然后再提問：“漸近線的傾斜角為多少？”這樣更嚴謹，學生也不至于漏解。

（四）問題設計要體現開放性

教師設計問題，不要僅局限于記憶類的問題，要設計一些開放性的問題，讓學生“想探索、能探索”，培養學生的發散性思維。下面對例2進行點評。

點評：對于例2，求離心率范圍，關鍵是建立[a， b， c] 的不等式，也就是建立[PF2≥AF2=c-a]這一關鍵不等式。教師提問：“這里有哪個特殊點啊？”學生答：“[A]，[F2]。”教師又問：“哪個點更特殊？”學生回答：“[A]點?！苯處熢賳枺骸半y道往無窮大處就不特殊嗎？”教師的提問往答案處引導，這樣和告訴學生答案類似，限制了學生的思維。本題[P]點是動點，[F2]是定點，若教師提問：“怎樣確定[PF2]的范圍？”則更開放，更能引發學生思考，更有利于提高學生的思維能力，真正實現學科育人。

（五）問題設計要體現多樣性

教師設計問題要多樣化，如一節有記憶類的提問，有開放性的提問，還有針對不同層次學生的提問，避免單一提問。如果只問成績好的學生，成績不好的學生就會想：“反正老師也不會問我，我不用思考了。”這樣，連公平、公正都做不到，非常不利于學生的成長。

設計問題要注意質量。有的教師就常問“是不是”“對不對”，學生也習慣性地回答“是”“對”。這樣的提問沒什么效果。

總之，通過聽課、評課讓筆者受益匪淺，學習他人長處，提高自我。每次學習都讓筆者意識到自己還有需要提高的地方，這種感覺讓筆者找到了作為教師有別于其他行業的責任感與幸福感。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 陳康，黃河清.《黃河清“問題導學”教學法》復習課教學課例評析[J].中學教學參考，2012（8）：4-6.

（責任編輯 黃桂堅）