“數學建模思想”在高考數學中的應用

鄭記科

(河南省駐馬店高級中學 463000)

高考數學，題型較多，題目新穎，難度較大.為了讓學生在有限的考試時間內做出更多的題，做對更多的題，從而取得更高的數學分數，在高考數學中引進“數學建模思想”是尤為重要的.“數學建模思想”的引用，對于學生來說，是幫助學生理解題很好的方式，簡化題目，這樣，能夠讓學生去很快地解決問題，從而有時間對求解的結果進行檢查，以此提高做題正確率，從而在高考數學中取得好成績.因此，下文將從“數學建模思想”的定義以及“數學建模思想”在高考數學中的基本形式介紹“數學建模思想”.

1 “數學建模思想”的定義

為了去探究“數學建模思想”在高考數學中的應用，應該先對“數學建模思想”有一個簡單的了解.“數學建模思想”其實可以理解為學生通過對文字性題目的分析，通過列方程組、不等式、函數，畫幾何圖形等，使復雜的題目簡單化，將文字性題目轉換為學生所熟悉的數學方程式、圖形等，從而更有利于學生去求解問題，提高做題效率等.在這樣的基礎上，通過“數學建模”，能夠讓學生以一個輕松愉悅的方式去學習數學，并且能夠在高考數學中，考出水平，考出優勢，這對于那些希望通過數學拉開差距，從而取得一個好的高考成績的學生是很重要的.

2 “數學建模”的基本高考題型

高考數學是一個考查學生綜合思維的學科，一般來說，高考數學題型較多，題目新穎，對于學生來說難度較大，但大部分題目都是可以通過“數學建模”來實現題目的簡單化的，從而有利于學生去求解，提高做題效率與正確性.根據數學知識點的不同，數學建模可以分成多種形式，高考數學的題型也可以分為多種模型，從而有利于學生去逐一地掌握知識點.

2.1 函數模型

例1在2016年的山東高考數學中有這樣一道函數題：已知函數F(X)的定義域為R，當X<0時，F(X)=X2-1；當-1≤X≤1時，F(-X)=-F(X)；當X>0.5時，F(X+0.5)=F(X-0.5)，求F(6).

解決這一類問題，可以通過“數學建模思想”來完成.學生給通過讀題目，分析出題目所給函數是一個組合函數，這一組合函數分為三段，在條件當X<0時，F(X)=X2-1中，可以畫出X<0時的函數圖像.而在條件當-1≤X≤1時，F(-X)=-F(X)中，可以發現該函數在-1≤X≤1區間內為奇函數，從而能夠畫出函數在-1≤X≤1上的圖像，從而得出函數式；而觀察條件當X>0.5時，F(X+0.5)=F(X-0.5)，可以發現函數在X>0.5上為周期函數，從而根據它們的周期規律，能夠畫出這一段的函數圖像，并得到函數式.因為F(6)在X>0.5內，求出第三段的函數式將X=6代入式子，就能進行結果的求解.通過逐步分析，輔助畫圖這一種“數學建模”的方法，能夠讓學生的解題思路更加清晰，也有利于計算結果的檢驗.

2.2 線性規劃模型

例2在2012年的廣東高考中有這樣一道線性規劃題：已知變量X，y滿足條件：X+y≤1；X-y≤1；X+1≥0.則Z=X+2y的最小值.

求解這一問題，學生可以通過“數學建模思想”，將題目所給信息，轉變為圖形，從而有利于學生更直觀地看出三個函數所處的位置.再將三條函數的相交點求出來.將Z=X+2y進行轉化，在圖上畫出y=0.5X這個函數.讓y=0.5X在平面直角坐標系中進行上下平移，最終找到Z=X+2y的最小值.這一方法，應用了空間想象與圖形輔助的“數學建模思想”.通過文字轉變為圖形這一方法，能夠讓學生更直觀地去求解這一類問題，從而為高考數學解題節省時間.

2.3 排列組合模型

例3甲、乙、丙、丁四人兩兩進行握手，問他們一共要握多少次手.

對于這一問題，應用“數學建模思想”，學生可以聯系實際，情節帶入，再應用數學知識進行求解，這樣往往能使問題簡單化.學生可以先假設自己是甲，就需要和其他三位同學進行三次握手；再假設自己是乙同學，因為已經和甲同學握過手了，所以還需要和丙、丁兩位同學進行兩次握手；再假設自己是丙，因為已經和甲、乙兩位同學握過手，所以只需和丁握一次手；當輪到丁時，他已經和全部四位同學握過手，所以不需要去再次握手.最終應用分類加法計數原理，計算出結果.對于像這樣的一些簡單的數學排列組合問題，可以這樣情景帶入，這樣便于學生去展開思考，最終解決問題.還可以通過一些簡單的文具，比如說筆，用四支筆，進行實際操作，兩兩配對，最終得到答案.通過情景帶入這種“數學建模思想”，能夠很好地解決排列組合這類問題.

2.4 立體幾何模型

例4在一個圓柱體的物體上，一小蟲子在圓柱體的側面上進行爬行，從底上爬到與之相對的頂上，已知圓柱體的高為10cm，圓柱體的圓的半徑是4cm，問小蟲爬過的距離.

解決這一類問題，需要用到圖形結合的“建模思想”，學生需要在草稿紙上畫出一個圓柱體，在圓柱體上根據題目信息標注出小蟲的起始點.聯系實際生活，學生應該知道圓柱體應該是立體的；再結合課本知識，知道圓柱體的側面展開是一個長方形，長方形的長就是底面或頂面圓的周長.而小蟲爬行的距離為長方形的一頂點到另一邊中點的距離，為一直角三角形的斜邊.通過圓的周長公式算出圓的周長，取一半就是長方形同一側頂點到中點的距離，就是直角三角形的一直角邊，而圓柱體的高就是直角三角形的另一條直角邊.通過直角三角形的邊與邊關系的公式，就能夠求解出斜邊，就是題目所要求的結果.這一“數學建模”的過程，應用了圖形結合，實際聯系等方式.

2.5 概率統計模型

例5簡單的概率模型如：甲在一次比賽中獲勝的概率為0.6，乙在一次比賽中獲勝的概率為0.4，問甲乙兩位同學進行三次比賽，采用三局兩勝制，那么甲乙兩同學獲勝的概率分別為多少.

解決這一類問題，學生同樣可以應用“數學建模思想”，將這一問題與現實生活聯系起來，進行“數學建模”.同學假設自己是甲，那么甲同學獲勝分三種情況，一種是甲同學連續獲勝兩次，從而直接結束比賽，這種情況甲同學獲勝的概率則為0.6*0.6；另一種情況是甲第一次獲勝，第二次失敗，第三次再獲勝，從而贏下比賽，這種情況，通過計算，獲勝的概率為0.6*0.4*0.6.第三種情況，則是甲同學第一次失敗，后兩次獲勝，而這種結果出現的概率為0.4*0.6*0.6；最后通過分類加法計數原理，將三次概率相加就是甲同學獲勝的概率.計算乙同學獲勝的概率也是一樣的.通過“數學建模”，往往能夠讓學生在解決概率統計這類問題時，思路更加地清晰，從而解題的效率也就更高.

在高考數學中，題型大概就是這些，對于不同種類的題型，應用相似的數學建模思想，往往也能夠給數學題目建立起模型，從而方便學生去觀察，去找出解決問題的最優方法，以此來提高學生的做題速度與正確性，從而取得一個好的數學成績.這是教會學生去應對高考數學的一種很重要的方法.

3 數學建模思想在課堂中應用的措施

3.1 設立問題情境，激發學生興趣

一些學生在高中學習生涯中，總是感覺數學比較難學，成績較難提高.其實學習數學知識并沒有想象中的那么困難，只是學生在思想中對數學的恐懼，才造成學習數學困難的假象.建模思想是高中數學學習當中非常重要的一項內容，主要體現為主體性原則，從根本上來說，就是通過設置問題情境，使學生擁有對數學探究的熱情，讓學生對建模產生興趣.

3.2 在高中數學課堂講解的過程中，要滲透數學建模思想

教師在數學課程中深入講解數學概念，可以有力地滲透建模思想：第一，要通過分析數學理論本身所具有的一些特殊性，對數學當中的其他內容進行滲透，如在《三角函數》教學過程中，可利用三角函數的特性展開積極引導.第二，要注意數學教材當中一些規律性知識內容的總結延伸，使學生能夠深入理解數學概念具有的普遍性.第三，通過對數學理論和模型間的相互聯系，促使學生對概念產生更深的認識，進而全面理解數學建模同有關理論間的轉換作用.

3.3 在應用題教學當中，數學建模思想的應用

知識與實際問題結合的題目在逐年增多，利用數學運算來體現出數學事物的變換規律，建模方法更科學，數學結論更加可靠.因此，在實際應用題講解過程中，需要進行一些基礎知識的擴展，利用數學模型來實際解決問題.第一，在分析應用題的過程中，不僅要對題目更深層次的含義進行研究，而且還要將其進行變式.第二，依據一些原有的條件對數學模型進行有效求解.第三，依據數學模型體現出來的一些規律，展開科學預估.

“數學建模思想”能夠幫助學生去應對高考數學中不同種類的題型，“數學建模”的過程，往往是根據數學題目中的一些條件，將復雜的文字表述轉變為學生容易理解的解方程組、觀察圖形，聯系實際等形式，從而讓學生能夠有條理地去分析問題，從而快速地求解出答案.“數學建模”的過程，不僅有利于學生去快速解決問題，也有利于學生去檢驗結果，從而提高學生做題的正確性.因此，“數學建模思想”在高考數學中的應用，對于學生來說發揮著巨大的作用.