高中數學課堂上的分類討論思想應用策略

張在強

(江蘇省揚州市江都區大橋高級中學 225211)

1 引言

分類討論思想是七大數學思想方法之一，屬于邏輯思維方法中的重要內容，能夠在簡化數學問題、產生數學思維模式等方面起到必不可少的作用.具體講，分類討論思想及其所支持的方法，在于學習者面對同一問題時，可以從不同方向給出不同答案，這將使其思考問題的方式更加全面，從而提升答案準確度.在高中階段的數學學習過程中，分類討論屬于學生經常要用到的一種思想方法，它可以起到把思維細化的作用，所以可以順利提升學習期間的探索結果的科學性.例如在面對一些典型數學習題時，一些問題能夠從已知條件出發得出不同答案，此時便需要學生在解題時，用分類解答的形式加以應對，最后再對于各自的答案與情況進行分析、篩選.整個過程中，分類討論思想將產生極為重要的作用，而教師便需要正視這種作用發揮的可能性，給學生提供對應的支持與引導.

2 高中數學課堂上的分類討論思想運用方向

2.1 概念分類方向

分類討論思想并非一種表象化的思維模式，對數學來講，它是一種習慣性的思想，若教師能夠有意識地把分類討論思維模式應用到課堂教學之中，則學生在遇到需要做分類討論的任務時，便會從這種思想基本認知角度出發，自然而然地嘗試進入全新思維模式下的問題思考進程，從而確保解題方向的準確性.而高中數學課堂上教師的分類討論運用，一個基本方向便在于對概念分類的重視，即教師需要指導學生從概念角度著手，使之意識到分類討論策略的實施特點.例如當開展函數教學之際，函數的定義域是一個非常值得討論的重要問題，若需要針對函數不同變化情況加以討論，便要留意函數定義域.如此方能確保接下來的計算及討論可行性，在函數學習時定義域設置可對最終結果造成極大影響.

2.2 運用分類方向

前述概念分類的主要宗旨在于幫助學生認知數學分類思維，并進行運用的初步嘗試，然而學生如果想順利應用分類討論思維處理實際問題，還可能面對來自于不同方向的阻礙.比如在一方面，針對問題的分析可能遇到思維混亂的阻礙.很多學生對遇到的復雜問題，表現為不知如何落筆，不如從何解起.在另一方面，學生會面臨根據基本概念完成解題時忽略題目中隱藏條件的阻礙，這將使解題過程存在疏漏.針對這些情況，如果進一步強調分類討論思想在實際解題活動中的運用方向，則可以有效促進學生理解題意，讓其在解題期間探索出一條清晰的解題思路.

3 高中生分類討論思想形成的思想準備

為了更有效地幫助高中生構建分類討論思想，并使思想轉化為能力、發揮出作用，全面提升數學基礎鞏固效果，使學生擁有必要的獨立思考能力和信息篩查、整合能力等，將成為教師指導學生擁有必要思維準備的選擇.

3.1 給學生提供夯實基礎的引導

形成與利用分類討論思想的前提在于，學生面臨一個具體數學問題之際，可以考慮到有可能出現的全部情況，這便需要學生擁有足夠扎實的基礎知識，對公式、定理等限制條件、適用范圍，能夠做到深入理解和記憶，只有這樣才能確保面對需要分類討論的問題時，以全面的、合理的形式來應對.例如當涉及到求解定義域類問題時，需要學生對常見限制條件有所認知，包括分母不能是0，偶次根號之下的數一定要大于或者等于0，等等.當處理概率統計之類的問題時，一些隱含條件也應當提醒學生留意，同現實情況不相符合的條件要及時舍去.再者，教師還需要留意提升學生題目、文字理解能力的引導，以便學生可以做到能獨立從題目、文字中提取有關信息，發現重點在哪里，條件是什么，結論如何取得，隱藏信息怎么找到，等等.

3.2 給學生提供信息整合的幫助

學生應當在信息整合和篩選方面擁有足夠的進步空間，針對每一種可能的情況進行解決后，學生應當做各種結果的篩選和分析，了解它是否與此一小類條件相符合，且可以順利解決問題.而若想做到上述要求，便需要學生在教師的幫助下，取得篩選信息、整合信息的基本能力，也就是教師要給學生提供對應的幫助，讓其對各求解答案(其中可能并非全部為解決問題的正確答案)進行驗證，在此期間訓練整合、篩選能力.舉例而言，當借助三角形面積公式，所得到的與三角形面積最大值相對應的高，可能在數學關系式內與要求相符，然而它卻又有置于圖形中無法構成一個三角形的可能性，或者關于最大值的問題中，依靠導數求解而得到的函數最大值，有可能并未位于此函數定義域范圍之內，等等，這些情況均要求學生在解答完畢后，針對不同情況做篩選、整合.而教師則應當在此過程中，給予其分類討論方面的必要提示.

3.3 給學生提供獨立思維的培養

在全面考慮可以滿足條件的可能情況后，學生應當獨立地把每一種情況做出處理，使之于特定條件下得到解決，這便需要學生的獨立思考能力不會被輕易地影響，即教師要在學生應用分類討論思想時，做出獨立思維培養的努力.例如把分類討論思想應用到函數解題中，能夠有效改善解題積極性和系統性，為了訓練學生的獨立思維，高中數學教師應當在教學中把分類討論思想融入到課堂中，使學生從本質上認可函數結果會因變量而出現變化，且為了保障獨立思維被鞏固，還可以使之針對參數變量做進一步討論和分析，并于函數解題應用時，展現出分類討論思想的強勁優勢.與此同時，在學生向自己請教問題時，教師也需要側重于引導，而非直接傳授給學生問題答案，只有通過這些做法，才能使學生掌握問題處理的主動權，以既獨立的且恰當的方式得到問題的答案.

4 高中生分類討論思想形成的實踐策略

基于前述思想準備，學生可與教師共同針對具體的分類討論課題，進行學習與實踐，此項工作一般可包括如下步驟.

4.1 尋找分類討論內容

高中數學教學期間，教材是毫無疑問的教學活動開展的重要依據，所以教師應當視其為有效滲透與實踐分類討論思想的前提，對教材內容展開深入挖掘工作，從中提取出有價值的課題，讓學生類比劃分與逐類討論知識點的切入口.在此過程中，教師需要深入閱讀與研讀教材內容，意識清晰地將分類討論思想滲透進來，只有這樣才能打破傳統教學模式束縛，引導學生因分類討論思想而取得數學思維進步.例如當涉及到空間幾何體結構內容時，教師即可以重視在其中滲透分類討論思想的作用，于教學時借助多媒體技術手段，將金字塔、電線桿、交通錐、足球等圖片一一呈現在學生面前，讓大家對這些物體進行分類，且分析概括得到不同類別物體所具有的共性特征.在此期間，學生將有機會了解旋轉體與多面體的概念及內涵.接下來教師則可以引導學生做不同類型內容不同點和結構特點的分類討論，并組織學生基于棱柱定義完成對于正棱柱、斜棱柱和直棱柱等更具體分類下的詳細認知.

4.2 做好科學類別劃分

當在教材中發現分類討論思想滲透可能性后，做好科學類別劃分將變為必要的工作，由于高中數學教學時，分類討論思想所具有的完整性和全面性等方面特點，因此教師可以指導學生嘗試從不同層面對數學知識或者數學問題進行分析和討論，從而確保討論過程的系統性和有序性.具體可以突出下述幾方面原則，其一是每個級別的分類基于統一標準進行，其二是分類要逐級進行，其三，要注意到同級互斥和避免越級的問題.利用這幾個原則指導討論與分析，能夠讓學生在面對教材中可供利用的分類討論問題時，做到全面分析，得到正確結論和結果，并在此期間，將已經在思想準備工作中形成的分類討論能力做進一步鞏固.

4.3 分類討論思想利用

雖然分類討論思想屬于數學思想之中的一項重要組成部分，然而并非全部知識點均適用于分類討論思想滲透策略.所以在實際教學期間，教師應要力爭防止過于盲目和隨意地應用分類討論思想，而是要以有效的針對性為前提，在恰當時機為學生提供新的、有效的學習思路，從而使學生能夠因分類討論過程而受益，逐漸借此機會理解并掌握教材新知識.在此期間，教師有必要結合學生已經具有的思想準備基礎，對分類標準加以明確，基于特定情況探索分類方法，以此達到討論內容的不遺忘、不重復效果.例如當講解到集合的知識時，教師可以基于集合所包含的元素個數區別，使集合分類的情況被學生留意到.首先明確：不包含任何元素的集合是空集，然而{0}并非空集，其次：集合之中的元素個數是有限的，屬于有限集，第三：集合之中的元素個數有無窮多，屬于無限集.學生意識到這些后，可進一步分類討論，并舉出與之對應的例子，像x2=-2的解集為空集；班內之中全部同學構成的集合屬于有限集；自然數集、偶數集是無限集等，從而起到加深學生理解與記憶的效果，提高學習認知水平的效果.

綜合上面的分析，可以認為，分類討論實際上對于學生面對新知識、處理新問題可產生思路清晰化的作用，而教師所要做的是指引學生找到分類討論的方向，并為其提供形成分類討論能力的意見和建議，本文著重于在這兩方面展開探討，相信在未來教育教學實踐中，這些探討將對改善學生認知效果，使之更好進行分類討論提供一定幫助.