一種基于圓陣列標定板的光柵投影系統(tǒng)標定方法

杜哲琪，王國琿

(西安工業(yè)大學 光電工程學院， 西安 710021)

1 引言

光柵投影技術是光學三維測量技術中典型的技術方法，具有速度快、非接觸、適用范圍廣、測量靈活性高等優(yōu)點。其原理是利用光柵所攜帶的信息來直接或間接的建立相位與三維坐標之間的關系，從而進行三維測量。在進行三維測量前，首先要需要建立合適的系統(tǒng)模型進行系統(tǒng)標定。

傳統(tǒng)的光柵投影測量方法采用相位高度映射模型，測量過程中將光柵投影到被測物，物體的高度信息會使投影的光柵發(fā)生變形，通過解調變形光柵圖中包含的相位信息可獲得物體的高度信息，由此對被測物體表面進行三維重建。該方法約束性過強、測量空間受限、標定精度不高，影響了該技術的實用化。

為了解決上述問題，將投影儀作為逆向攝像機的雙目立體視覺模型被提出。Falcao等將棋盤格投影在打印棋盤格的標定板上，用已標定的攝像機求出投影棋盤格的三維空間坐標，從而使用攝像機的校準程序來校準投影儀。這種方法原理簡單、易于實現(xiàn)，但引入了攝像機的標定誤差。為消除攝像機標定引入的誤差，Zhang和Huang提出了投影儀“拍攝”圖像的概念，通過投影水平與垂直兩組相移光柵圖到棋盤格標定板，利用三步相移法獲得相位主值，使用一條中心線作為參照獲取解包裹相位從而獲取標定投影儀所需的圖像信息，但相位展開的精度較低影響后續(xù)的標定精度。文獻[10]中對相位展開進一步改進，通過投射偽隨機序列編碼結合相移法獲取解包裹相位，但同時又引入復雜的編解碼算法。華中科技大學應用雙頻光柵投影到棋盤格來計算解包裹相位并進一步提高了標定精度。文獻[12]中采用投影負指數(shù)序列的多頻外差相位光柵來獲取解包裹相位值，輔助獲取高精度三維點云數(shù)據(jù)。文獻[13]建立了投影儀平面和攝像機平面的射影關系，通過投影格雷碼利用局部單應性來估計攝像機平面標定板上棋盤格角點在投影儀圖像平面的位置，但其精度有待提高。

但大多數(shù)文獻中均使用棋盤格作為標定板，對圖像噪聲和模糊比較敏感。而圓心標志點檢測不要求較高的圖像質量，且圓心易于檢測、定位精度高，文獻[10]中采用圓陣列標定板表現(xiàn)出較好的標定結果。但目前多采用手動方式進行像素坐標與其三維坐標的匹配，耗時耗力。現(xiàn)有文獻中圓心匹配時像素坐標的獲取均是基于拍攝的原始圓陣列標定板圖像，根據(jù)攝像機的透視成像原理，圖像中的圓已變換成橢圓，將橢圓中心作為圓心會產(chǎn)生檢測誤差，且當標定板相對于成像平面角度越大誤差越大。因此本文將使用圓心代替棋盤格角點作為標定時使用的標志點，并提出了圓心自動匹配算法，利用攝像機成像模型實現(xiàn)攝像機的標定；將投影儀視為一個逆向的攝像機，采用雙目立體視覺技術進行系統(tǒng)標定，該方法系統(tǒng)搭建方便、標定算法簡單、精度較高。為進一步提高標定精度，將適當增加相移步數(shù)，使用九步相移法進行相位主值的計算，根據(jù)外差原理通過投影3種頻率的光柵圖進行相位解包裹獲取標定投影儀所需的圖像信息，并通過實驗對提出的方法進行了驗證。

2 攝像機標定

2.1 攝像機成像模型

理想的線性攝像機模型如圖1所示，空間任一點與攝像機光心的連線與成像平面相交于點，對應計算機屏幕圖像的點為。

其中包含的坐標系有：世界坐標系、攝像機坐標系、攝像機圖像物理坐標系、攝像機圖像像素坐標系。

圖1 攝像機成像模型示意圖

其中，為空間中任意一點，點為攝像機坐標系的光心，為點在線性模型下圖像物理坐標系的坐標，為在非線性模型下的位置。

根據(jù)射影幾何知識中坐標系的轉換關系及攝像機的線性成像模型，空間點在世界坐標系下的坐標為(，，，1)，二維像素坐標為(，，1)，兩者的轉化關系為：

(1)

式中：為攝像機內參數(shù)矩陣；=為圖像像素坐標系軸上的尺度系數(shù)；=sin為圖像像素坐標系軸上的尺度系數(shù)；=-cot為圖像像素坐標軸傾斜因子。[]為攝像機的外參數(shù)矩陣，(，)為圖像主點。

然而，攝像機成像并不滿足線性模型，據(jù)文獻[21]中所述，由于鏡頭畸變的存在攝像機的成像過程是非線性的，主要為徑向和切向2種畸變，徑向畸變是由于透鏡的曲面誤差所致，切向畸變是由于在裝配過程中透鏡與成像平面不完全平行造成。

徑向畸變的數(shù)學表達式如下：

(2)

切向畸變的數(shù)學表達式為：

(3)

式中：(,)代表實際畸變的圖像物理坐標；、、、是切向畸變系數(shù)。

2.2 攝像機標定

本文中使用如圖2所示的黑底白色的大小不一的圓陣列標定板，坐標系設定如圖所示，共有9行11列白色圓，行列間距均為20 mm，5個大圓和標記圓用于對圓心排序。

圖2 圓陣列標定板示意圖

本文提出的圓心標志點與其三維坐標的自動匹配算法相較于其他方法，該算法首先對拍攝的原始圓陣列標定板圖像進行透視變換，再對圓心進行排序，最后將排序的圓心坐標映射回原始圖像中。基本原理如下：

1) 檢測拍攝的標定板圖像中標定板的4個頂點坐標、、、；

2) 定義透視變換的固定點坐標、、、，縮放因子為=min(，)，攝像機拍攝圖像像素的長寬為×，標定板實際物理尺寸長寬為×，(0，0)，(×，0)，(×，×)，(0，×)；

3) 根據(jù)式1)和式2)計算透視變換矩陣，應用對拍攝原圖像進行透視變換得到圖像′，對圖像′進行二值化、邊緣提取、橢圓邊界擬合獲取圓心坐標；

4) 在圖像′中識別標記圓并計算軸方向相鄰圓心間歐式距離，使用KNN鄰近搜索算法并根據(jù)確定第一、二列圓心坐標(1，1)、(2，2)，計算標定板每行相鄰圓心的反正切值以及圓心坐標(,)與(1,1)之間的反正切值， ，其中=1，…，9,=1，2，…，99；

5) 根據(jù), -<確定行圓心坐標(,),為閾值，使用KNN鄰近搜索算法計算第行圓心坐標與(1，1)之間歐式距離并升序排列，完成圓心坐標排序；

6) 對排序的圓心坐標應用進行透視逆變換得到原始圖像下的圓心坐標，根據(jù)標定板物理尺寸生成其對應的三維坐標(，，0)，完成自動匹配。具體流程如圖3所示。

圖3 圓心匹配算法流程框圖

通過以上圓心自動匹配算法，避免了人工進行圓心標志點的匹配過程，節(jié)省了人力，同時減小了圓心像素坐標檢測誤差。

采用張正友標定方法對攝像機進行標定，通過圓心的像素坐標及其三維坐標，求解攝像機的內外參數(shù)及畸變系數(shù)，最后通過LM(Levenbery Marquardt)優(yōu)化算法(梯度下降法和高斯牛頓法的結合)進行極大似然估計，得到最優(yōu)標定結果。

3 投影儀標定

投影儀成像光學模型同攝像機，但光路相反。因此攝像機的標定方法同樣適用于投影儀。本方法的投影儀標定基于文獻[9]中提出的方法進行改進，即將投影儀作為逆向攝像機，通過分別投射水平和垂直兩組光柵圖像，獲取標定板上的圓心的三維坐標在投影儀平面的像素坐標。由水平與垂直光柵圖像進行相位解算，定位出圓心標志點在投影平面的水平與垂直坐標。相位解算包括求解相位主值和相位解包裹兩個階段，求解相位主值即提取光柵圖像中每一點的相位值，相位主值的求解采用相移法，該方法能夠有效排除周圍環(huán)境光及物體表面反射特性的影響，可靠性和精度高，且精度隨相移步數(shù)的增加而提高，投影儀投射的光柵圖像的數(shù)學表達為：

=(，)+(，)cos((，)+)

(4)

式中：(，)為背景光強分布；(，)為光強調制度；(，)為待求的相位主值；為的相移量，=1,2,3,…,,為相移步數(shù)。式中顯然有3個未知數(shù)，因此最少需要3幅光柵圖像才解出(，)，從而需要≥3。常用的方法為三步、四步相移法。考慮到精度與速度的權衡，本文采用九步相移法，相對于三步、四步相移法，進一步提高了求解相位主值的精度，其求解公式為：

(5)

相位主值的求取由于采用了反正切函數(shù)，提取出來的相位被壓縮在了[-π，π]之間，因此需要相位解包裹。相位解包裹采用三頻外差方法，通過投影頻率為、、的相移光柵，由反正切函數(shù)獲得每個頻率的相位主值、、，將和、和進行外差操作得到外差相位、，然后將和進行外差得到。因為的頻率不超過1，所以是連續(xù)相位。

由外差原理可知，的頻率為：

(6)

類似可得到、的頻率。相位展開過程為：

(7)

=+2π

(8)

式中：為的條紋級次，其中，代表四舍五入取整，為頻率為的光柵圖像的相位主值，為頻率為的光柵圖像的解包裹相位。

(9)

=2π×+

(10)

式中：為的條紋級次，其中，代表四舍五入取整，為頻率為的光柵圖像的相位主值，為頻率為的光柵圖像的解包裹相位。至此可完成相位解算，利用解包裹相位可獲取投影儀平面的圓心像素坐標。

投影儀圖像對應點在方向的坐標值：

(11)

投影儀圖像對應點在方向的坐標值：

(12)

投影儀圖像信息獲取的步驟如下：

1) 拍攝不同方位下的標定板圖像及投影水平與垂直相移光柵圖像后的標定板圖像；

2) 對標定板圖像進行圖像處理，提取圓陣列標定板的99個圓心亞像素坐標；

3) 由九步相移法和三頻外差算法分別計算出水平和垂直光柵圖像的解包裹相位值；

4 光柵投影系統(tǒng)標定

在上文分別求出攝像機的內外參數(shù)和投影儀的內外參數(shù)之后，還需要對攝像機、投影儀組成的光柵投影系統(tǒng)標定其外參數(shù)，即確定攝像機和投影儀之間的位置關系。設攝像機的外參數(shù)為、，投影儀的外參數(shù)為、，設空間中某一點對應的攝像機和投影儀的投影點分別是和，并以攝像機光心作為世界坐標系的原點，則該點在攝像機和投影儀圖像中的有如下的對應關系：

=+

=+

(13)

從而可以推算出投影儀與攝像機之間的關系：

(14)

5 分析與討論

本文中使用的光柵投影系統(tǒng)如圖4所示，該系統(tǒng)由一個DLP投影儀和CCD攝像機組成。由上文可知，需標定的參數(shù)有攝像機內參數(shù)，外參數(shù)[]，投影儀內參以及系統(tǒng)外參數(shù)、。實驗結果及分析如下。

圖4 光柵投影系統(tǒng)實物圖

5.1 攝像機標定結果

根據(jù)本文提出的圓心自動匹配算法，得到的透視變換、圓心檢測、排序結果如圖5所示。

圖5 透視變換、圓心檢測及排序結果示意圖

采用本文中提出的方法進行攝像機標定，表1、表2分別為攝像機內參數(shù)與外參數(shù)標定結果。

表1 攝像機內參數(shù)的標定結果(圓陣列標定板)

表2 攝像機外參數(shù)的標定結果(圓陣列標定板)

對棋盤格標定板同樣采用該方法進行標定，得到的角點檢測效果如圖6(b)，攝像機的內外參數(shù)結果如表3、表4所示。

圖6 棋盤格標定板圖像及角點檢測結果示意圖

采用棋盤格標定板得到的攝像機內外參數(shù)標定結果如表3、表4所示。

表3 攝像機內參數(shù)的標定結果(棋盤格標定板)

表4 攝像機外參數(shù)的標定結果(棋盤格標定板)

5.2 投影儀標定結果

使用上述系統(tǒng)對拍攝的標定板圖像進行解相位，以水平光柵圖像為例，其相位解算過程如圖7所示，其中圖7(a)為標定板圖像，圖7(b)為頻率圖像，圖7(c)為頻率圖像的第500列相位主值曲線，圖7(d)為頻率圖像的第500列解包裹相位曲線，圖7(e)為頻率圖像相位主值圖，圖7(f)為頻率圖像解包裹相位圖。

圖7 標定板圖像解相位過程

由圖7可知，本文中解相位的結果較好，可為后續(xù)標定提供良好的數(shù)據(jù)。

根據(jù)本文中提出的方法得到的投影儀的內參數(shù)結果與外參數(shù)結果如表5和表6所示。

采集的部分帶有光柵的棋盤格標定板圖像如圖8所示，對其進行相位解包裹后，得到的投影儀內外參數(shù)如表7、表8所示。

表5 投影儀內參數(shù)的標定結果(圓陣列標定板)

表6 投影儀(系統(tǒng))外參數(shù)的標定結果(圓陣列標定板)

圖8 光柵棋盤格圖像

表7 投影儀內參數(shù)的標定結果(棋盤格標定板)

表8 投影儀(系統(tǒng))外參數(shù)的標定結果(棋盤格標定板)

5.3 標定結果分析

為了定量地比較標定結果，通過計算重投影誤差進行比較分析，重投影誤差的表達式為：

(15)

(16)

式中：′為通過圖像處理檢測的圓心標志點在圖像像素平面的像素坐標；為標定板上圓心標志點的三維坐標通過攝像機成像模型投影到圖像像素平面的像素坐標，=1，2，3,…,為標志點的總數(shù)。為證明本文提出的方法的有效性，將對比使用棋盤格標定板、本文所提出的標定方法以及未進行透視變換的圓陣列標定板3種方法的重投影誤差。表9是標定重投影誤差結果。

表9 標定重投影誤差

由表1～表9可以得出，3種方法均可獲得較好的標定精度，與其他2種方法相比，本文方法可獲得更高的標定精度，與棋盤格標定板相比，攝像機標定的重投影誤差降低大約(0.100 5-0.060 0)/0.100 5≈40.3%，投影儀標定的重投影誤差降低大約(0.538 4-0.379 0)/0.538 4≈29.6%，系統(tǒng)標定的重投影誤差降低大約(0.387 2-0.271 3)/0.387 2≈29.9%。與未進行透視變換的方法相比，攝像機標定的重投影誤差降低大約(0.127 7-0.060 0)/0.127 7≈53.0%，投影儀標定的重投影誤差降低大約(0.389 7-0.379 0)/0.389 7≈2.7%，系統(tǒng)的標定誤差降低大約(0.290 0-0.271 3)/0.290 0≈6.4%。

6 結論

1) 提出了一種基于圓陣列標定板的光柵投影系統(tǒng)標定方法，通過對標定板圖像進行透視變換及圓心排序，實現(xiàn)了圖像與三維空間中圓心標志點的自動匹配，結合圓心匹配算法及三頻九步相位解算方法，完成了對光柵投影系統(tǒng)的標定。

2) 提出的圓心自動匹配算法減小了圓心檢測誤差，提供了一種圓陣列排序的新方法，可避免人工匹配造成的誤差，并使用九步相移法提取相位主值，減小相位誤差；

3) 該標定方法在精度上較棋盤格標定板，攝像機、投影儀、系統(tǒng)標定的重投影誤差分別降低約40.3%、29.6%、29.9%；

4) 該標定方法較未進行透視變換的圓陣列標定板，攝像機、投影儀、系統(tǒng)標定的重投影誤差分別降低約53.0%、2.7%、6.4%。