培養深度思維 落實核心素養

程偉

摘要：新高考中文理合卷且數學思維要求更高，文科學生面臨更大挑戰，轉化與化歸思想是高考數學中必備的素養，受全國Ⅰ卷（理科）11題以及根據教學實踐的啟發，給出四點如何在教學中提升文科學生轉化與化歸思想的實踐研究.

關鍵詞：文科生;數學思維提升;轉化與化歸思想

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）03-0029-03

1 問題提出

在最近結束的數學市統測中，有這樣的一道題：在平面直角坐標系xoy中，已知圓O：x2+y2=1，直線x-y+m=0m∈R與圓O的兩個公共點為A，B，C為圓O上一點，若△ABC為等邊三角形，求直線AB的方程.

本題是解答題第20題第1問，共5分，筆者所在四星級學校生源質量還不錯，所帶的班級是文科最好的班級，但學生得分情況卻讓人大失所望.

49人班級只有9人滿分，37人卻0分.

此現象引起作者的思考：新高考數學試題強調開放性，減少機械刷題、死套結論等現象，且文（歷史方向）、理（物理方向）共用一張試卷.而文科生本身數學思維相對偏弱且固化，靠刷題時的記憶以及模型的套用來解題，很多數學知識的本質理解不透，且數學學習的興趣不濃.面對新高考，教學中提升文科生數學思維能力迫在眉睫.

2 教學思考

片段1：推陳出新，感悟轉化與化歸

平時教學中可以對書本題目或者一些典型練習進行再“加工”.讓學生有種耳目一新的“錯覺”，既提高了轉化與化歸的素養，也培養了數學學習的興趣.讓學生感受到數學的魅力和具備不畏難勇于探索的毅力.下面以書本一道經典習題為例：如圖1，在半徑為R、圓心角為60°的扇形AB弧上取一點P，作扇形的內接長方形PNMQ，使點Q在OA上，點M，N在OB上，求長方形面積的最大值.本題是道經典的三角函數運用輔助角公式求最值問題.連接OP，設∠POB=θ，PN=Rsinθ=QM，在△QOM中，OM=33Rsinθ，所以MN=Rcosθ-33Rsinθ.故長方形面積為：S=RsinθRcosθ-33Rsinθ=33R2sin2θ+π6-36R2，又∵θ∈0，π3，故當θ=π6時，Smax=36R2.

筆者在一次測試中，對此題進行改編：如圖2，扇形MON是一個休閑公園的平面示意圖，其中扇形半徑為10米，∠MON=π3，在休閑公園內規劃一個三角形區域花圃ABC，其中頂點B在弧MN上，A，C分別在半徑OM，ON上，且AB//ON，AC⊥ON，求△ABC面積的最大值.

學生在分析解決問題時發現此題就是上題的變式，如圖3過B作BD⊥ON，垂足為D，連結OB后完全就是課本題，轉化與化歸思想太重要了.此時又有學生提出：由于AB∥ON，S△ABC=S△ABO，頓時吸引班級學生興趣，這個轉化太有意思了，三角形ABO面積怎么表示呢？討論很快得出：設∠AOB=θ，在△ABO中由正弦定理可得：

AB=203sinθ，OA=203sinπ3-θ，

又由余弦定理知：OB2=OA2+AB2-2OA·AB·cos∠OAB，∴OA·AB≤1003，

當且僅當OA=AB=103時取等;

∴S△ABC=12OA·AB·sin120°≤12×1003×32=2533（m2）.

無論哪種解法都讓學生深刻體會了轉化與化歸思想的重要性，讓學生感受到了數學的魅力，提高了數學學習的興趣.

片段2：一題多解，探索轉化與化歸

有些題引入多種解法，可以從不同的角度引導學生分析問題、解決問題.從不同解法探索中體會到轉化與化歸思想的重要性.以下題為例：在平面直角坐標系xoy中，已知圓O：x2+y2=1，直線x-y+m=0m∈R與圓O的兩個公共點為A，B，C為圓O上一點，若直線x-y-3=0上存在點P，且滿足AP·BP=0，求m的范圍.

學生1：條件AP·BP=0，可以轉化為以AB為直徑的圓和x-y-3=0有公共點.設A（x1，y1），B（x2，y2）.則以AB為直徑的圓為：（x-x1） （x-x2）+（y-y1） （y-y2）=0，聯立x2+y2=1，x-y+m=0，2x2+2mx+m2-1=0Δ1≥0，且結合韋達定理可得以

AB為直徑的圓的方程為

2x2-23x+m2+3m+2=0，此方程有實數解Δ2≥0-1+32≤m≤1-32.

此方法雖然不難理解，但感覺繁瑣，還有其他思路么？

學生2：由于直線AB的斜率確定，則AB的垂直平分線經過圓心O且斜率為-1，直線x-y-3=0與該圓有公共點d≤r，從而可得m的范圍.

明顯此方法借助直線和圓的幾何性質，數形結合，簡化了計算.又學生通過轉化化歸還可以進一步簡化計算.

學生3：發現直線x-y+m=0與x-y-3=0平行，AB為直徑的圓的圓心到直線x-y-3=0的距離就是這兩條平行線之間距離，則d=m+32，又AB為圓O的弦，所以AB2=1-m+322，只需AB2=1-m22≥m+32即可.教學時多角度引導學生探索思考才能把轉化與化歸的意識滲透到學生腦海中去.

片段3：一題多變，領會轉化與化歸

例題教學環節，變式訓練很重要，不僅能讓學生認識清楚問題的本質，也無形中培養了學生轉化與化歸的能力.下面以一道基本不等式題為例進行說明：

原題：若正數x，y滿足：4x+1y=1，求x+y的最小值.

變式1：若正數x，y滿足：x+4y-xy=0，求x+y的最小值.

變式2：若正數x，y滿足：x+4y-xy=0，求3x+y的最大值.

變式3：若正數x，yy>1滿足：4x+1y-1=1，求x+y的最小值.

變式4：若正數x，y滿足x+y=2，求1x+1y+1的最小值.

變式5：若正數x，y滿足x+y=2，求yx+2y的最小值.

原題讓學生體會“1”的代換的思想，變式1條件變形，讓學生體會化歸到4x+1y=1上;變式2讓學生進一步體會到轉化與化歸的思想：求3x+y的最大值，只需求出x+y的最小值即可.變式3，4讓學生體會到通過換元轉化后就是“1”的代換的思想.變式5讓學生體會到把2等價轉化為x+y.“授人以魚不如授之以漁”由此可見一題多變的方式教學讓學生既掌握了處理一類問題的方法更學會了重要的數學思想：轉化與化歸.

片段4：模型識別，運用轉化與化歸

高中數學中一些式子的幾何意義以及一些定義作為常見模型，教學中必須時刻提醒學生，讓學生植根于腦海中.解題時馬上就能意識到把式子轉換成它的幾何意義，這樣處理問題才能游刃有余.如：設φ（a，b）=（a-b）2+lna-b242+b24（a>0，b∈R），當a，b變化時，求φ（a，b）的最小值.

仔細觀察可以發現函數：φ（a，b）=a-b2+lna-b242+b24，就是平時常見的模型，可以等價轉化為點Aa，lna和Bb，b24的距離加上B的縱坐標，而這兩個點分別是函數fx=lnx和拋物線x2=4y上的點，且函數式最后加上B的縱坐標又可以轉化為拋物線上點到準線距離減去1即BD-1，如圖4所示，根據拋物線的定義BD-1又可以轉化為BF-1，所以：AB+BC=AB+BD-1=AB+BF-1≥AF-1，且當A，B，F三點共線時取到等號.AF的最小值怎么求呢？此時引導學生又可以轉化為以F為圓心作個圓，當圓F：x2+y-12=r2和函數fx=lnx圖像相切時最小.切點

A01，0AF≥A0F=2，則φ（a，b）的最小值是2-1.

3 反思總結

新高考更注重對學生的思維能力的考查，而轉化與化歸思想既能把題中隱含的條件挖掘出來，也能化繁為簡，從而時間上也得以保障，應試時也會得心應手.教學中我們更應實施精準教學，不斷提升文科學生的轉化與化歸的能力，培養文科生多思少算的思維意識.

參考文獻：

[1]張偉.對化歸思想的幾點思考.中學數學教學參考，2015（21）：48-49..

[2]彭永寧.例析解題教學中轉化與化歸思想的滲透.數學教學通訊，2020（21）：76-77.

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