青山繚繞疑無路 忽見千帆隱映來

孫五林

摘要：宋代文學家王安石曾留下千古絕句“青山繚繞疑無路，忽見千帆隱映來 ”. 閑暇時，駕一葉輕舟，暢游在平靜而又開闊的江面，去填滿充滿詩意的心懷，但可曾想到，竹韻深掩的江水里，經常有暗礁埋伏，青山環繞的狹窄處，也許就無路可走.細想一下，這與學生對于導數綜合題目的解答何其相似啊，本文從一道導數題目出發，談了談學生跌宕起伏的心理歷程，供大家參考.

關鍵詞：導數綜合;一題多解;素養滲透

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）03-0011-03

細思詩句，寓意深刻.人生“疑無路”時，最容易失去信心，惆悵失意，甚至悲觀絕望.可是“千帆隱映來”又告訴我們，困難總是暫時的，危機的時候不能慌亂，總會有脫離困境的辦法，希望就在不遠的前方.高中導數作為壓軸題，可謂十分“變態”，因為導數問題思維強度大，題型繁多，方法性強而靈活，解題突破口不易找尋，所以大多學生對導數壓軸題是有恐懼心理的，大多望而生畏，甚至放棄.那么怎樣找到突破口呢？筆者認為破解疑難在于轉化之道，把問題轉化成熟悉的常規問題，讓學生看清問題的本質，前方可能無路可走，轉化一下也許就柳暗花明.

課堂是教學的第一陣地，我國教育界權威專家、華東師范大學終身教授葉瀾女士說到：“一堂好課是有效率的課，豐實的課，平實的課，真實的課，常態的課”.說到底，一堂“好課”就是一堂有效率的課，能照顧到每一類學生的課，如涓涓溪水娓娓道來，讓學生學起來輕松，在課上有所收獲，并且能在課堂中落實雙基，滲透核心素養.下面的這節課，就是筆者本人在高三上的平常課，真實課，課堂圍繞著一道導數題目展開，現把這節課的教學過程呈現給大家，望批評指正.

1 開門見山，直接引入

不等式恒成立問題是近年高考的熱點問題，常以壓軸題形式出現，交匯函數、方程、不等式和數列等知識，考察邏輯推理、數據運算、直觀想象等核心素養.那么，不等式恒成立問題的一般處理思路是什么呢？

這種引入直接將學生帶入主題，學生迅速進入方法上的思考和回顧，學生回答得最多的方法就是轉化，將恒成立問題轉化成最值問題，這表明轉化的思想大多學生已經具備.

2 典例呈現，越品越香

原題：已知函數f（x）=ex-aln（ax-a）+a（a>0），若關于x的不等式f（x）>0恒成立，則a的取值范圍是（）.

A.（0，e2）B.（0，e2〗

C.（1，e2）D.〖

背景：該題是2019年武漢二月調研測試第12題，是最后一道選擇題，具有典型性、代表性等特征，方法多樣.

師：本題能否參變量分離呢？

生：似乎很難辦到，陷入思考？

師：直接來求函數的最值，這是個隱零點問題嗎？能否很快算出？

學生在計算過程中遇到了種種困難，這并不是說這個問題不能解決，而是稍顯麻煩，那么我們應該將不等式變形，從另外不同的視角來處理這個問題.

視角一：求同存異，去偽為真

師：選項有何特征？

生：觀察每個選項的特征，找到他們的相同和不同，1和e2在每個答案中成為了兩個特殊值，有的答案包含元素1，有的答案包括元素e2.

師：分別如何驗證？

生：思考片刻，當a=e2時，易得f（2）=0;當a=1時，由ex≥x+1，lnx≤x-1得f（x）>x+1-（x-2）-1=2>0，這樣通過排除的方式選出來正確的答案.

視角二：去指數、去對數，切線不等式來開路

師：對了，教材習題中其實有切線不等式的原型，這說明我們要立足教材.切線不等式在處理這個特殊情況時，有效地進行了放縮，那么對于一般的情況，我們是否可以進行放縮，進一步求出a的范圍呢？

生：不等式ex-aln（ax-a）+a>0（a>0）恒成立，由于a>0，即為ex-lna-ln（x-1）+1-lna>0恒成立，而ex-lna-ln（x-1）+1-lna≥x-lna+1-（x-2）+1-lna=4-2lna，故只要4-2lna>0即可.

課到這里，同學們豁然開朗，對于含lnx與ex型的超越函數，只要做到靈活變形，腦中有形，合理代換，便可峰回路轉.

視角三：指數對數兩邊跑，凹凸反轉公切找

師：提到切線，我們還能夠想到恒成立的什么處理辦法？

生：切線隔離法

師：對了，要找到左右兩邊lnx與ex型函數的公切線，具體怎么操作呢？

生：原不等式恒成立可化為：exa>ln（x-1）+lna-1恒成立，構造h（x）=exa，g（x）=ln（x-1）+lna-1，由于這兩個曲線的凹凸性相反，于是可以求它們相切時參數的值，通過數形結合，求出參數的取值范圍.不難求出與兩曲線相切時點的橫坐標x0=2，進一步可算出a=e2，分析參數變化與對應圖象的位置變化關系即可選出答案.

師：這就是說數形結合百般好啊！

視角四：指數對數兩邊跑，反函數構造巧妙解

師：原不等式恒成立可化為：exa+1>ln（ax-a），實際上y=exa+1和y=ln（ax-a）是什么關系？

生：互為反函數.

師：反函數內容雖然在高考中涉及較少，要求低，但是我們都知道互為反函數的兩個函數圖象是關于直線y=x對稱的，那么問題又可怎樣轉化呢？

生：只需要轉化為exa+1>x在（1，+

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）上恒成立即可.

感嘆：我們苦苦追尋的參變量分離在這里得以實現.

視角五：無中生有去同構，關鍵形式變量湊

師：在恒成立問題中，有很多是利用函數的單調性構造出來的.如果我們能夠找到這個函數模型及不等式兩邊對應的同一函數，無疑會大大加快解決問題的速度，那么本題怎么配湊，進而用同構函數的單調性來解決呢？

生：原不等式可化為：ex-lna+x-lna>x-1+ln（x-1），即ex-lna+x-lna>eln（x-l）+ln（x-1），構造函數g（x）=ex+lnx，則g（x-lna）>g（ln（x-1）），那么利用g（x）的單調性，去掉外套對應關系g，于是問題變成了常規的恒成立問題.

下課鈴聲響起……

3 幾點思考與啟發

3.1 多選題不如選好題

導數是高考的必考內容，考察知識點有導數的幾何意義、單調區間、極值最值等.為了更全面復習導數知識，于是筆者決定選擇恒成立問題作為出發點，引導學生運用多種方法解題，不僅能溝通知識的內在聯系，熟悉題目的結構和解題規律，使知識融會貫通;而且能在多解的基礎上探求最佳解法，不斷提高解題技巧.更重要的是能使學生思路開闊，學會從不同角度分析，解決問題，發展求異思維，使思維靈活;并能發揮各自的獨特見解，培養創造才能，以適應時代的需要.

導數具有很強的知識交匯功能，以其為載體的問題情景如繁花似錦，給師生在復習內容和方法上的選擇帶來困惑.因此，筆者選擇這個題目，麻雀雖小，五臟俱全，入手容易，學生在不同視角下體驗解題帶來的快樂，不僅僅是知識的復習，更重要的是思維品質的升華和學生學習興趣的提升.

3.2 一題多解的理性思考

在課堂復習中，一題多解肯定可以激發學生大膽發現、勇敢創造，通過對題目求解的強烈欲望，加深對所學知識的深刻理解，訓練學生對數學知識和數學方法的嫻熟使用.但是學生的掌握程度究竟如何，有待通過題目驗證，聽懂不等于會做，能根據老師的提示轉化也不等于拿到一個類似題目自己真的能夠完整寫出來.本節課是一堂真實的平常課，優點是方法的灌輸，思想的滲透很到位，課堂是高效率的，但是本節課留下幾個問題值得商議，比如對于本題最優解的教學怎樣去體現呢？哪種解法更適用學生呢？考試中又如何選擇這些方法來解題呢？我想具體分析每種解法的特點，分析每種解法的本質是什么，根據學生自己的情況，選擇權交給學生吧.

3.3 核心素養滲透怎樣體現？

函數與導數壓軸題是高考的沸騰考點，主要考查學生的“數學運算”、“邏輯推理”、“直觀想象”等核心素養，難度很大.在上這方面的復習課時，更要注重對“數學運算”、“邏輯推理”、“直觀想象”等核心素養的培養.學生在解決此類題型時，不是理解了解題思路就認為完成了任務，而是要落實，要敢于下筆，要下完筆，要善于反思，靈活解決問題.在我們數學教學過程中，應教會學生思考，善于思考，進行一道題目多種思路解法的訓練和變式訓練，讓學生的思維遷移、發散、開拓和活躍.使學生形成有序的網絡化的知識體系，從中領會“化歸轉化、數形結合、函數與方程”等基本數學思想.教學中鼓勵學生大膽猜想、探究、培養學生的創新能力，進一步激發學生的合作探究意識.只有這樣，課堂教學才會充滿創新，在教學中演繹精彩.核心素養滲透并非一朝一夕，它是需要學生厚積薄發的，這需要持之以恒的毅力.

3.4 青山繚繞疑無路，忽見千帆隱映來

五種解法有的解法還沒有繼續板書完，有的也僅僅是提到了方法，可是下課鈴已響，但整個教室非常安靜.同學們都在認真地對五種解法進行討論，興趣非常的濃，課后還有很多同學對此題的解法進行再探討，形成了一種濃厚的學習氛圍.反思這節課的教學，其實也是一種勵志教育，“青山繚繞疑無路，忽見千帆隱映來”，學生解題遇到困難該怎么辦？生活中的瑣事遇到困難又怎么辦？數學和哲學是不是又拉上了關系.本節課恰好給了師生互動的空間，去調動學生的解題興趣，學生智慧的火花頻頻閃爍，多種解法油然而生，所以在課堂教學中，應多創造這種師生互動的機會，激發學生數學興趣的生成.

參考文獻：

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