關注二項式定理與其他知識的交會

杜保華

(山東省棗莊市薛城實驗中學)

二項式定理是近年高考數學中的高頻考點,將二項式定理與其他知識巧妙地融合在一起,既體現了試題設計的創新亮點,又體現了新課標高考理念——“要注重學科的內在聯系和知識的綜合性,不刻意追求知識的覆蓋面.要從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題,在知識網絡交會點處設計試題,使對數學基礎知識的考查達到必要的深度”.賞析以下歸類解析,有助于我們進一步提高對所學數學知識和思想方法的綜合運用能力.

1 考查二項式定理與函數的交會

1.1 以“分段函數”為載體,考查與二項式定理的交會

本題設計較為新穎,凸顯以分段函數為切入點,靈活考查函數與二項式定理的交會.

1.2 以“冪函數”為載體,考查與二項式定理的交會

例2已知可將冪函數f(x)＝xn(n≥3,且n∈N)表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋an(1＋x)n,其中a0,a1,a2,…,an∈R.若a3＋3a2＝0,則n＝_________.

因為f(x)＝xn＝[－1＋(1＋x)]n＝(－1)n－1(1＋x)1＋(－1)n－3(1＋x)3＋…＋(－1)0·(1＋x)n,所以a3＋3a2＝＝0,即,解得n＝11.

本題設計較好,解題關鍵是先對冪函數f(x)＝xn(n≥3,且n∈N)的底數進行合理的“加減”變形,再利用二項式定理加以求解.

1.3 考查二項式定理的應用,涉及與“二次函數”的交會

例3已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m,n∈N*)展開式中x的系數為11,當展開式中x2的系數最小時,求(x2＋)3n＋1展開式中的常數項.

又n∈N*,所以當n＝3時,該系數取最小值.

本題具有一定的綜合性,解題關鍵點:一是結合題意,準確分析當展開式中x2的系數最小時,n的取值;二是需要借助消元策略,轉化為求二次函數在約束條件下的最小值.

2 考查二項式定理與導數的交會

設函數f(x)＝(ax＋b)n,n∈N*,則由二項式定理可知f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.于是,借助求導、賦值的處理技巧可得許多有用的結論.例如,求導得

取x＝1,則有

取x＝－1,則有

對式①兩邊同乘x得

求導得

又[xf′(x)]′＝f′(x)＋xf″(x),所以取x＝1,則有

按照這樣的處理思路(乘x、求導、賦值),有興趣的讀者還可以繼續探究.

2.1 直接利用相關結論,巧解展開式中有關系數和問題

例4若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5,則a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝_______,a1＋4a2＋9a3＋16a4＋25a5＝_________.

設函數f(x)＝(2x－3)5,求導得f′(x)＝10(2x－3)4,f″(x)＝80(2x－3)3.根據式②得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝f′(1)＝10,根據式④得a1＋4a2＋9a3＋16a4＋25a5＝f′(1)＋f″(1)＝10＋(－80)＝－70.

本題還可以利用二項式定理先將(2x－3)5展開,分別得到a1,a2,a3,a4,a5的值,然后再求解目標問題,但整個求解過程較煩瑣.

2.2 借助求導與賦值的靈活性,巧解展開式中有關系數和問題

例5已知(1－x)2022＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋…＋a2022(x－3)2022(x∈R),則a1－2a2＋3a3－4a4＋…＋2021a2021－2022a2022＝_____.

設函數f(x)＝(1－x)2022,求導可得f′(x)＝－2022(1－x)2021.又對f(x)＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋…＋a2022(x－3)2022求導得f′(x)＝a1＋2a2(x－3)＋3a3(x－3)2＋…＋2022a2022(x－3)2021.

取x＝2,得

本題具體求解時,也可以這樣處理:直接對已知等式兩邊求導,然后再賦值.顯然,整個解題的關鍵在于:先求導(以x為自變量),再賦值.

3 考查二項式定理與定積分的交會

例6當x∈R,|x|＜1 時,有如下表達式:1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝.兩邊同時積分得

從而得到如下等式:

本題求解的關鍵在于結合題意厘清解題思路:先對等式兩邊同時積分(積分上限取,下限取0),再利用微積分基本定理化簡.

二項式定理與其他知識的交會,具體還涉及二項式定理與數列、基本不等式等知識的交會,此處不再一一舉例剖析.總之,對所學知識、方法的交會考查,是一種新的命題趨勢,需要我們平時加強訓練,有意識地去提高綜合運用能力以及探究、創新精神,有利于幫助我們進一步提升數學核心素養.

(完)