聚焦競(jìng)賽中復(fù)數(shù)列問(wèn)題的解法

胡定躍

(山東省濟(jì)南市章丘區(qū)第五中學(xué))

復(fù)數(shù)列問(wèn)題抽象程度高、綜合性強(qiáng)、能很好地考查考生的數(shù)學(xué)思維能力,因而備受數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題者的青睞.這類問(wèn)題往往給出復(fù)數(shù)列的遞推關(guān)系式,解答時(shí)需要分析、考慮遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征,然后靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)的概念、性質(zhì)及運(yùn)算法則,結(jié)合數(shù)列的有關(guān)知識(shí)來(lái)求解,是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中體現(xiàn)知識(shí)融合交會(huì),落實(shí)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一類熱點(diǎn)問(wèn)題.下面探究近幾年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題中復(fù)數(shù)列問(wèn)題的常見解法.

1 直接遞推

例1已知復(fù)數(shù)列{zn}滿足:z1＝1,zn＋1＝＋1＋ni(n＝1,2,…),其中i為虛數(shù)單位,表示zn的共軛復(fù)數(shù),則z2015的值為________.

根據(jù)已知條件給出的遞推公式zn＋1＝＋1＋ni進(jìn)行遞推,得到復(fù)數(shù)列{zn}的項(xiàng)之間的關(guān)系,最后構(gòu)造等差數(shù)列求得結(jié)果.

由

得

因此,對(duì)任意n∈N*,將式①代入②,得zn＋2＝＋1＋(n＋1)i＝zn＋1－ni＋1＋(n＋1)i＝zn＋2＋i,所以zn＋2－zn＝2＋i.

又因?yàn)閦1＝1,所以z1,z3,…,z2015,…構(gòu)成一個(gè)以z1為首項(xiàng),2＋i為公差的等差數(shù)列,所以

z2015＝z1＋(1008－1)(2＋i)＝2015＋1007i.

本題利用共軛復(fù)數(shù)的概念、性質(zhì)=z＝z和運(yùn)算法則等復(fù)數(shù)知識(shí),直接按已知條件中復(fù)數(shù)列的遞推公式進(jìn)行遞推、變形,轉(zhuǎn)化得到zn＋2－zn＝2＋i后,得知復(fù)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得結(jié)果.

例2復(fù)數(shù)z1,z2,…,z100滿足:z1＝3＋2i,zn＋1＝·in(n＝1,2,…,99)(i為虛數(shù)單位),則z99＋z100的值為________.

直接根據(jù)已知條件給出的遞推公式zn＋1＝·in遞推復(fù)數(shù)列{zn}的項(xiàng)之間的關(guān)系,最后構(gòu)造等比數(shù)列求得結(jié)果.

因?yàn)閦1＝3＋2i,所以由zn＋1＝·in,得z2＝2＋3i.由

得

將①代 入②,得zn＋2＝＝zn·i,于 是＝i,所以z1,z3,…,z99構(gòu)成一個(gè)以z1為首項(xiàng),i為公比的等比數(shù)列,所以z99＝z1·i＝(3＋2i)·i＝－2＋3i,所以由zn＋1＝·in,得

綜上,z99＋z100＝－5＋5i.

本題利用了共軛復(fù)數(shù)的概念、性質(zhì)＝z和運(yùn)算法則等復(fù)數(shù)知識(shí),將復(fù)數(shù)列的遞推公式變形、轉(zhuǎn)化,得到＝i后,得知復(fù)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式并結(jié)合虛數(shù)單位i的周期性求得z99,進(jìn)而利用已知條件給出的遞推公式求得z100,從而得到結(jié)論.

2 實(shí)、虛部分別遞推

例3已知復(fù)數(shù)列{zn}滿足z1＝,zn＋1＝(1＋zni)(n＝1,2,…),其中i為虛數(shù)單位,求z2021的值.首先設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)表示,然后將遞推公式zn＋1＝(1＋zni)轉(zhuǎn)化為代數(shù)表示,研究實(shí)部、虛部的遞推關(guān)系,最后問(wèn)題得以解決.

對(duì)任 意 的n∈N*,設(shè)zn＝an＋bni(an,bn∈R),則

本題在設(shè)出復(fù)數(shù)代數(shù)表示的基礎(chǔ)上,利用了共軛復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)代數(shù)表示的乘法運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)相等的充要條件等復(fù)數(shù)知識(shí),將復(fù)數(shù)列的遞推公式分別轉(zhuǎn)化為實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)實(shí)數(shù)列的遞推關(guān)系,分別得到遞推公式后,又還原回復(fù)數(shù)列,從而使問(wèn)題得以解決.

3 利用復(fù)數(shù)的模遞推

例4設(shè)復(fù)數(shù)列{zn}滿足:|z1|＝1,且對(duì)任意的正整數(shù)n,均有＝0.證明:對(duì)任意的正整數(shù)m,均有|z1＋z2＋…＋zm|＜

當(dāng)m為奇數(shù)時(shí),設(shè)m＝2s＋1(s∈N*),由①②可知

綜上,結(jié)論得證.

本題將復(fù)數(shù)列的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為其模的遞推關(guān)系來(lái)研究,在對(duì)正整數(shù)m分奇、偶討論的基礎(chǔ)上,依據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)進(jìn)行“放縮”,充分考查問(wèn)題的化歸轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理及數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

例5稱一個(gè)復(fù)數(shù)列{zn}為“有趣的”,若|z1|＝1,且對(duì)任意正整數(shù)n,均有＝0.求最大的常數(shù)C,使得對(duì)一切有趣的數(shù)列{zn}及任意正整數(shù)m,均有|z1＋z2＋…＋zm|≥C.

該題可謂是例4試題的“升級(jí)版”,解答思路與例4 基本上是一致的,通過(guò)變形復(fù)方程＝0,分解得到zn＋1與zn的遞推關(guān)系,然后轉(zhuǎn)化為|zn＋1|與|zn|的遞推關(guān)系,再對(duì)正整數(shù)m分奇、偶討論,最后利用復(fù)數(shù)模的性質(zhì)和“放縮”得到結(jié)論.由例4知

當(dāng)m為偶數(shù)時(shí),設(shè)m＝2s(s∈N*),利用②可得

當(dāng)m為奇數(shù)時(shí),設(shè)m＝2s＋1(s∈N*),由①②可知

本題以新定義信息為背景并運(yùn)用極限知識(shí)進(jìn)行問(wèn)題探索,充分體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的銜接,同時(shí)也考查了問(wèn)題的化歸轉(zhuǎn)化能力及數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理及數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

(完)