談不等式恒成立求參數范圍問題的解題策略
——以一道聯考導數題為例

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學)

縱觀近幾年的高考和各級各類模擬考試,不等式恒成立求參數范圍問題越來越受命題者的青睞,已成為常考常新的問題,因此該類問題是高考備考的一大重點.從內容來看,該類試題的交會面廣,綜合考查函數、導數、不等式等方面的知識;該類試題不僅可以很好地考查學生的“四基”(基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗),還能考查學生的關鍵能力和數學核心素養(數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學建模、數據分析、數學運算).但是從實際的教師教學和學生掌握情況來看,該類問題又是復習備考的一大難點.如何有效突破這一重點、難點,成為廣大一線教師在復習備考中亟待解決的一大課題,現筆者結合自身教學實踐與研究,以一道聯考導數題為例,闡述如何突破該類問題的解題策略.

1 問題呈現與分析

題目已知函數f(x)＝－lnx(a＞0).

(1)當a＝時,分析函數f(x)的單調性;

(2)若對任意的x＞0,f(x)≥lna＋2恒成立,求實數a的取值范圍.

分析第(1)問屬于常規問題,本文不再贅述.本文重點論述第(2)問,此問是含有參數的不等式恒成立問題,綜合性強、解法靈活、難度較大,主要考查利用導數研究函數的單調性、含參不等式恒成立求參數范圍等知識,考查了學生分析問題、解決問題的能力及化歸與轉化等數學思想,體現了邏輯推理、數學運算等數學核心素養.本文嘗試從不同的角度對本題的第(2)問予以思考,給出不同的解法.

2 解法探究

策略1函數最值法

對于一些含參不等式恒成立問題,將不等式朝著有利于通過導數判斷函數單調性的方向變形,整理成一側為常數(一般為零)的形式,根據題目的全稱量詞或存在量詞(?或?),將問題轉化為函數最值與常數(一般為零)的關系,這是處理不等式問題的通法.

策略2“切線”放縮法

一些含參不等式中,將指數函數、對數函數綜合起來考查,尤其是與ex,lnx有關的超越函數問題,若直接求導找零點(多數情況下是隱零點),過程往往復雜煩瑣,此時若能巧妙運用一些“切線不等式”進行放縮,將復雜的超越函數轉化為簡單函數(以直代曲),常常可以起到化繁為簡、化難為易的效果.牢記兩個重要的“切線不等式”:ex≥x＋1(x∈R,當且僅當x＝0時等號成立);lnx≤x－1(x∈R,當且僅當x＝1時等號成立),這兩個不等式是“切線”放縮法的基礎.

解法2(利用ex≥ex放縮)由ex≥ex,得

解法3(利用lnx≤x－1放縮)由lnx≤x－1,得

設h(x)＝－x－lna－1,求導得h′(x)＝1,當0＜x＜ln(ae2)時,h′(x)＜0,當x＞ln(ae2)時,h′(x)＞0,則h(x)在(0,ln(ae2))上單調遞減,在(ln(ae2),＋∞)上單調遞增,所以

當x＝1且x＝ln(ae2)時,f(x)－lna－2取得最小值－2lna－2,故－2lna－2≥0,即0＜a≤

策略3“同構”法

有些題中的不等式經適當整理變形后,可以表示成兩側結構相同的形式,如F(x)≥0 等價變形為f(g(x))≥f(h(x)),利用這個結構式構造對應函數f(x),進而利用所構造函數f(x)的性質(單調性、奇偶性、對稱性等)解題,這就是同構法.常見的同構形式有xex＝elnx＋xelnx－x,x＋lnx＝ln(xex),x－lnx＝ln等.

解法4(同構“ex＋x”法)由f(x)＝lnx≥lna＋2,得ex－lna－2－lna－2≥lnx,即ex－lna－2＋x－lna－2≥x＋lnx＝elnx＋lnx.設φ(t)＝et＋t,則φ(x－lna－2)≥φ(lnx),易知φ(t)為增函數,所以x－lna－2≥lnx,即lna≤xlnx－2,又x－lnx≥1(當且僅當x＝1 時等號成立),則lna≤－1,即0＜a≤解法5(同構“lnx＋x”法)由f(x)＝lnx≥lna＋2,可得ex－lna－2－lna－2≥lnx,即ex－lna－2＋x－lna－2＝ex－lna－2＋lnex－lna－2≥x＋lnx.設φ(t)＝t＋lnt,則φ(ex－lna－2)≥φ(x),易知φ(t)為增函數,所以ex－lna－2≥x,又ex－1≥x(當且僅當x＝1時等號成立),則lna＋2≤1,即0＜a≤

解法6(同構“xex”法)由f(x)≥lna＋2,整理得xex≥ae2xln(ae2x),即xex≥ln(ae2x)·eln(ae2x).設φ(t)＝tet(t＞0),則φ(x)≥φ(ln(ae2x)),求導得φ′(t)＝(t＋1)et＞0,則φ(t)為增函數,所以x≥ln(ae2x),即ex≥ae2x,a≤,又ex－1≥x(當且僅當x＝1時等號成立),則,所以0＜a≤

策略4必要性“探路”法

對一類函數不等式恒成立問題,可以通過取函數定義域中某個數,縮小參數的討論范圍,獲得初步的參數范圍,之后在此范圍內繼續討論進而解決問題.在這個定義中,“取函數定義域中的某一個數”相當于尋找一個能使題意成立的必要條件,而題目本身要尋求的參數的取值范圍(或最值)相當于是使題意成立的充分必要條件.因此,在找到必要條件的基礎上,只需要證明這個條件反過來能推出題意,即證明這個條件也是滿足題意的充分條件.這樣,充分性和必要性都成立,那么所求出的范圍必然是題目所尋求的參數的準確取值范圍,這便是必要性“探路”法.

策略5“凹凸”反轉法

有些不等式,將其適當變形,使之滿足兩個條件:1)不等式變形后,不等號兩側的對應函數呈現凹凸反轉的特點;2)兩側對應函數在同一點取最值.如不等式F(x)≥0變形為f(x)≥g(x),f(x)為凹函數且在x＝x0處取得最小值,g(x)為凸函數且在x＝x0處取得最大值,問題可轉化為f(x0)≥g(x0).

策略6反函數法

若函數m(x)與函數n(x)互為反函數,則這兩個函數的圖像關于直線y＝x對稱,于是不等式m(x)≥n(x)等價于m(x)≥x(或x≥n(x)),同時,同底的對數函數與指數函數互為反函數,所以在解決一些同時含有指數函數和對數函數的不等式問題時,若我們能將不等式變形為m(x)≥n(x)的形式,則可以借助m(x)≥x(或x≥n(x))解題,減少運算,化繁為簡.

3 變式訓練

4 小結

數學解題的目的是什么? 是求出問題的答案嗎?是,但不全是.解題的目的是鞏固數學基礎知識、落實數學基本技能、感悟數學思想方法、提升數學思維活動經驗.筆者從6個不同的角度思考問題,得到以上9種不同解法,總結歸納出6種處理含參不等式恒成立問題的解題策略,以期對讀者的教學、學習、研究有所幫助.不同的思維方式帶來不同的解答形式,在日常的學習中,我們要善于通過一題多解來發現知識之間的內在聯系,體會知識之間的化歸與轉化,構建知識之間的網絡體系.這樣我們才能在學習基礎知識、掌握基本技能的同時,有效鍛煉思維的深刻性、廣闊性、靈活性和創新性,達到舉一反三、融會貫通的水平,進而提高自身的數學思想和數學核心素養.

(完)