導數(shù)在實際生活中的應用問題

于苗苗

(山東省平度第一中學)

導數(shù)在實際生活中的應用問題一直是高考的熱點之一.此類問題通常以實際生活應用為命題背景,進而結合數(shù)學知識合理構建相應的數(shù)學模型,借助題目條件適當選定相應的變量,尋找各變量之間的關系,并構建對應的數(shù)學關系,特別是相應的函數(shù)關系,結合函數(shù)的求導,利用導數(shù)法來轉(zhuǎn)化與解決對應的實際應用問題時,要從數(shù)學角度給出合理的、最佳的決策方案.

1 生活判斷方面的應用問題

例1隨著城市的不斷發(fā)展,交通狀況越來越受到大家的普遍關注.根據(jù)某城市有關的數(shù)據(jù)統(tǒng)計,從每天上午7時到10時,車輛通過該市某一路段的用時y(分鐘)與車輛進入該路段的時刻t之間的關系可近似地用如下函數(shù)來表示:y＝－＋36t－,則在每天上午7時到10時這段時間內(nèi),通過該路段用時最多的時刻是( ).

A.6時 B.7時 C.8時 D.9時

分析對生活中實際問題所對應的函數(shù)解析式進行合理求導,并確定導函數(shù)的零點,結合實際問題判斷其單調(diào)性、極值,是求解相應的最值問題的策略.

解令y′＝－t＋36＝0,即t2＋4t－96＝0,解得t＝8或－12(舍),當7＜t＜8時,y′＞0;當8＜t＜10時,y′＜0,所以當t＝8時,函數(shù)有極大值,也是最大值,故選C.

涉及生活判斷方面的應用問題,求解關鍵是合理建立數(shù)學模型,正確求導,確定對應的單調(diào)性、極值與最值,并結合生活實際合理判斷與應用.

2 技巧工具方面的應用問題

例2已知x,y∈R*,且滿足＋2y＝3,則的最大值為________.

分析根據(jù)條件中代數(shù)式的定值確定參數(shù)x的取值范圍,進而利用消參法把轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)x的函數(shù)f(x),結合函數(shù)f(x)的導函數(shù)確定f(x)的最大值,從而確定的最大值.

在確定一些代數(shù)式的最值問題時,特別是多元代數(shù)式、分式、根式等問題,經(jīng)常借助導數(shù)法來進行求解,從而達到合理快捷破解問題的目的.

3 知識融合方面的應用問題

例3如圖1所示,圓形紙片的圓心為O,半徑為5cm,該紙片上等邊△ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點,△DBC,△ECA,△FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當△ABC的邊長變長時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為______.

圖1

分析根據(jù)平面幾何的知識,設出相應的參數(shù),進而推導出三棱錐體積V的解析式,構造函數(shù),結合導數(shù)法的處理來確定相應的最值,進而確定所得三棱錐體積的最大值.

圖2

本題巧妙把棱柱和棱錐的知識、函數(shù)的概念、導數(shù)的應用等巧妙融合,同時結合數(shù)學建模、空間想象等能力,有效整合知識,拓展數(shù)學應用.

4 規(guī)劃決策方面的應用問題

例4海南省為了進一步實施與推進國務院“關于推進海南國際旅游島建設意見”,決定適當引入民間資本參與全面建設.假設某民營企業(yè)承包經(jīng)營某旅游景點的門票成本價為30元,同時每賣出一張門票需向旅游主管部門上交a元(a為常數(shù),2≤a≤5,且a不計入成本價)的管理費用,經(jīng)物價部門核定門票最低不低于35元,最高不超過41元.根據(jù)市場調(diào)查,設每張門票的售價為x元,門票日銷售量與ex(其中e＝2.71828…)成反比例,且已知若門票價格定為40元/張時,日銷售門票500張.

(1)求該民營企業(yè)承包經(jīng)營該旅游景點的日利潤P(x)元與每張門票的售價x元之間的函數(shù)關系式;

(2)試問當每張門票的售價為多少元時,該旅游景點的日利潤P(x)最大,并求出日利潤P(x)的最大值.

分析(1)先表示出門票的日銷售量y與門票售價x之間的函數(shù)關系式,再由已知條件計算參數(shù)k的值,進而推導函數(shù)P(x)與x之間的函數(shù)關系式,要注意確定對應的定義域;(2)通過對函數(shù)P(x)求導,利用導數(shù)求其最值.

解(1)根據(jù)題意,門票的日銷售量與ex(其中e＝2.71828…)成反比例,可設門票的日銷售量y與每張門票的售價x之間的函數(shù)關系式為y＝(k∈R,k≠0,35≤x≤41),又因為門票價格定為40元/張時,日銷售門票為500 張,則有500＝,解得k＝500×e40,則知y＝＝500×e40－x.那么該民營企業(yè)承包經(jīng)營該旅游景點的日利潤P(x)與每張門票的售價x的函數(shù)關系式為

(2)由(1)知P(x)＝500(x－30－a)×e40－x(2≤a≤5,35≤x≤41),則有

由P′(x)＝0,可得x＝31＋a,則知此時旅游景點的日利潤P(x)最大,且P(x)的最大值為500(31＋a－30－a)×e40－(31＋a)＝500×e9－a.

本題是實際問題通過建立函數(shù)關系式,利用指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及導數(shù)來求解相關的最值問題.關鍵是正確建立函數(shù)關系式,確定參數(shù)的取值范圍.

在實際應用問題中,對于一些求解有關最優(yōu)化的實際應用問題,如利潤最大、費用最省、路程最短、用時最少、效率最高等問題時,往往需要借助函數(shù)的導數(shù)這一工具,從數(shù)學角度逐步解決實際問題,有效建模,合理解決,提升數(shù)學能力,培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng).

(完)