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2022-03-14 11:43:24李桂春
高中數理化 2022年3期
李桂春
(北京師范大學附屬實驗中學)
強基計劃校考中關于復數內容的考查,除了要求掌握高考中與復數有關的內容:復數的概念(復數的定義、實部、虛部,復數的分類,共軛復數,復數的模,復數的幾何意義),復數的代數四則運算之外,還應掌握一些拓展知識,如共軛復數與復數的模的性質、復數的三角形式及運算、實系數的一元n次方程的虛數根的問題,并運用這些知識解決有關問題.
1 必備拓展知識
1.1 共軛復數的性質
1.2 復數的模的性質
3)‖z1|－|z2‖≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
1.3 復數的三角形式及其運算
1)復數的三角形式.
設z＝a＋bi(a,b∈R)對應復平面內的點Z(a,b),連接OZ,記＝r,如圖1所示,a＝rcosθ,b＝rsinθ,所以z＝r(cosθ＋isinθ),這種形式稱為復數z＝a＋bi的三角形式,其中θ稱為z的輻角.若0≤θ＜2π,則θ稱為z的輻角主值,記作θ＝argz,r稱為z的模,記作|z|,由勾股定理知|z|＝
圖1
2)復數三角形式的運算法則.
記z1＝r1(cosθ1＋isinθ1),z2＝r2(cosθ2＋isinθ2),則
特別地,zn＝[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)(棣莫弗定理).
1.4 常見的運算性質
1.5 有關實系數的方程的復數根
1)復數集內實系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解.
當Δ＞0時,方程有兩個不相等的實數根;
當Δ＝0時,方程有兩個相等的實數根;
當Δ＜0,方程有兩個互為共軛的虛數根,即
2)實系數一元n次方程若有虛根,則一定成對出現,并且兩兩互為共軛復數.
2 復數考查真題分類例析
2.1 考查復數的概念、復數的模及共軛復數的性質
在強基計劃校考中,經?？疾閺蛿档囊恍└拍?如復數的實部、虛部、模,共軛復數,復數的幾何意義等.在解決有關問題時,要充分利用復數的模及共軛復數的性質,有利于簡化運算.
例1(2017年北京大學自主招生測試)復數z滿足z＋為實數,則|z＋i|的最小值為_________.
例2(2015年北京大學博雅計劃)設z為復數,表示z的共軛,已知且為純虛數,則|z|的值為_________.
例3(2015年清華大學領軍計劃,多選)設復數z滿足2|z|≤|z－1|,則( ).
A.|z|的最大值為1
B.|z|的最小值為
C.z的虛部的最大值為
D.z的實部的最大值為
設z＝x＋yi(x,y∈R),則
畫出復數z所對應的點的圖形,如圖2所示(圓及其圓內部分),結合圖像可知,當復數z對應的點Z為圓與x軸的左側交點時,|z|取得最大值1,所以A 正確.
圖2
當復數z對應的點Z為原點時,|z|取得最小值0,所以B錯誤.
當x＝－時,y取得最大值,所以C正確.
當y＝0時,x取得最大值,所以D 正確.
綜上,選A,C,D.
例4(2016年清華大學自主招生測試,多選)若復數z滿足|z＋|＝1,則|z|可以取到的值有( ).
2.2 考查復數的三角形式的運算及性質
例7(2016年北京大學優秀中學_生暑期學堂測試)復數z1,z2滿足|z1＋z2|＝|z1|,＝a(1－i)(a∈R且a≠0),求
設z1＝r1(cosθ1＋isinθ1),z2＝r2(cosθ2＋isinθ2),由|z1＋z2|＝|z1|,得
例8(2016年清華大學自主招生測試)|z2＋1|＝|z|,求|z|的范圍和argz的范圍.
設z＝r(cosθ＋isinθ),其中r＞0,θ∈[0,2π),由|z2＋1|＝|z|,得
所以(r2cos2θ＋1)2＋(r2sin2θ)2＝r2,整理得
2.3 有關實系數的一元n 次方程的虛數根的問題
例9(2016年北京大學博雅計劃)設a,b,c為實數,a≠0,c≠0,方程ax2＋bx＋c＝0的兩個虛根為z1,z2,且滿足是實數,則＝( ).
A.1 B.0 C.2 D.以上答案均不正確
例10(2016年北京大學自主招生測試)實系數方程x4＋ax3＋bx2＋cx＋d＝0有四個非實數根,其中兩個之和為2＋i,另外兩個之積5＋6i,求b的值.
實系數方程若存在虛根,則虛根共軛,故設四個虛根為x1,x2,,由題意得x4＋ax3＋bx2＋cx＋d＝(x－x1)(x－)(x－x2)(x－),則
從而b＝(5＋6i)＋(5－6i)＋(2＋i)(2－i)＝15.
2.4 解決有關復數對應點的軌跡問題
例11(2019 年北京大學自主招生測試)復數z1,z2,|z1－3i|＝2,|z2－8|＝1,則由復數z1－z2圍成的面積是( ).
A.4π B.8π
C.10π D.以上答案均不正確
設z1＝x1＋y1i,z2＝x2＋y2i,x1,x2,y1,y2∈R,z＝z1－z2＝x＋yi,則
當cos(α－β)＝1時,(x＋8)2＋(y－3)2＝1,當cos(α－β)＝－1時,(x＋8)2＋(y－3)2＝9,所以復數z1－z2圍成的面積為兩個半徑分別為1和3的圓之間的圓環面積,即S＝9π－π＝8π,故選B.
例12(2016年清華大學自主招生測試)已知z為非零復數,和的實部與虛部均為不小于1的正數,則在復平面中,z所對應的向量的端點P運動所形成的圖形面積為________.
滿足上述不等式的區域是如圖3 所示的圖形中的陰影部分(其中A(10,10),B(10,10),C(10,10),D(20,20)).
圖3
該區域由一個四邊形ABCD和兩個弓形構成.由題意求得,由(a－20)2＋b2≤400的半徑為20,由余弦定理求得該圓中所對的圓心角為30°,所以以上區域中一個弓形的面積為
四邊形ABCD的面積為
所以點P運動所形成的圖形的面積為
2.5 利用復數的有關知識解決其他問題
例13(2016 年北京大學自主招生測試)若△ABC的三個頂點對應復數z1,z2,z3,且滿足＝1＋2i,則△ABC的面積與其最長邊的平方之比為( ).
如圖4 所示,作出△ABC,由＝1＋2i,得,所以,又
圖4
不妨設AC＝1,則BC＝2,AB＝,則△ABC為直角三角形,且AB為斜邊,所以S＝1,AB2＝5,所以,故選C.
例14(2017年北京大學博雅計劃)單位圓內接五邊形的所有邊長與對角線的平方和的最大值是( ).
A.15 B.20
C.25 D.以上答案均不正確
考慮圓內接五邊形P1P2P3P4P5,設Pi對應的復數為zi(1≤i≤5),所有線段的平方和為S,注意到有
當且僅當|z1＋z2＋z3＋z4＋z5|＝0,即P1P2P3P4P5是正五邊形時,取到等號.故選C.
(完)
李桂春
(北京師范大學附屬實驗中學)
強基計劃校考中關于復數內容的考查,除了要求掌握高考中與復數有關的內容:復數的概念(復數的定義、實部、虛部,復數的分類,共軛復數,復數的模,復數的幾何意義),復數的代數四則運算之外,還應掌握一些拓展知識,如共軛復數與復數的模的性質、復數的三角形式及運算、實系數的一元n次方程的虛數根的問題,并運用這些知識解決有關問題.
1 必備拓展知識
1.1 共軛復數的性質
1.2 復數的模的性質
3)‖z1|－|z2‖≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
1.3 復數的三角形式及其運算
1)復數的三角形式.
設z＝a＋bi(a,b∈R)對應復平面內的點Z(a,b),連接OZ,記＝r,如圖1所示,a＝rcosθ,b＝rsinθ,所以z＝r(cosθ＋isinθ),這種形式稱為復數z＝a＋bi的三角形式,其中θ稱為z的輻角.若0≤θ＜2π,則θ稱為z的輻角主值,記作θ＝argz,r稱為z的模,記作|z|,由勾股定理知|z|＝
圖1
2)復數三角形式的運算法則.
記z1＝r1(cosθ1＋isinθ1),z2＝r2(cosθ2＋isinθ2),則
特別地,zn＝[r(cosθ＋isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)(棣莫弗定理).
1.4 常見的運算性質
1.5 有關實系數的方程的復數根
1)復數集內實系數一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解.
當Δ＞0時,方程有兩個不相等的實數根;
當Δ＝0時,方程有兩個相等的實數根;
當Δ＜0,方程有兩個互為共軛的虛數根,即
2)實系數一元n次方程若有虛根,則一定成對出現,并且兩兩互為共軛復數.
2 復數考查真題分類例析
2.1 考查復數的概念、復數的模及共軛復數的性質
在強基計劃校考中,經?？疾閺蛿档囊恍└拍?如復數的實部、虛部、模,共軛復數,復數的幾何意義等.在解決有關問題時,要充分利用復數的模及共軛復數的性質,有利于簡化運算.
例1(2017年北京大學自主招生測試)復數z滿足z＋為實數,則|z＋i|的最小值為_________.
例2(2015年北京大學博雅計劃)設z為復數,表示z的共軛,已知且為純虛數,則|z|的值為_________.
例3(2015年清華大學領軍計劃,多選)設復數z滿足2|z|≤|z－1|,則( ).
A.|z|的最大值為1
B.|z|的最小值為
C.z的虛部的最大值為
D.z的實部的最大值為
設z＝x＋yi(x,y∈R),則
畫出復數z所對應的點的圖形,如圖2所示(圓及其圓內部分),結合圖像可知,當復數z對應的點Z為圓與x軸的左側交點時,|z|取得最大值1,所以A 正確.
圖2
當復數z對應的點Z為原點時,|z|取得最小值0,所以B錯誤.
當x＝－時,y取得最大值,所以C正確.
當y＝0時,x取得最大值,所以D 正確.
綜上,選A,C,D.
例4(2016年清華大學自主招生測試,多選)若復數z滿足|z＋|＝1,則|z|可以取到的值有( ).
2.2 考查復數的三角形式的運算及性質
例7(2016年北京大學優秀中學_生暑期學堂測試)復數z1,z2滿足|z1＋z2|＝|z1|,＝a(1－i)(a∈R且a≠0),求
設z1＝r1(cosθ1＋isinθ1),z2＝r2(cosθ2＋isinθ2),由|z1＋z2|＝|z1|,得
例8(2016年清華大學自主招生測試)|z2＋1|＝|z|,求|z|的范圍和argz的范圍.
設z＝r(cosθ＋isinθ),其中r＞0,θ∈[0,2π),由|z2＋1|＝|z|,得
所以(r2cos2θ＋1)2＋(r2sin2θ)2＝r2,整理得
2.3 有關實系數的一元n 次方程的虛數根的問題
例9(2016年北京大學博雅計劃)設a,b,c為實數,a≠0,c≠0,方程ax2＋bx＋c＝0的兩個虛根為z1,z2,且滿足是實數,則＝( ).
A.1 B.0 C.2 D.以上答案均不正確
例10(2016年北京大學自主招生測試)實系數方程x4＋ax3＋bx2＋cx＋d＝0有四個非實數根,其中兩個之和為2＋i,另外兩個之積5＋6i,求b的值.
實系數方程若存在虛根,則虛根共軛,故設四個虛根為x1,x2,,由題意得x4＋ax3＋bx2＋cx＋d＝(x－x1)(x－)(x－x2)(x－),則
從而b＝(5＋6i)＋(5－6i)＋(2＋i)(2－i)＝15.
2.4 解決有關復數對應點的軌跡問題
例11(2019 年北京大學自主招生測試)復數z1,z2,|z1－3i|＝2,|z2－8|＝1,則由復數z1－z2圍成的面積是( ).
A.4π B.8π
C.10π D.以上答案均不正確
設z1＝x1＋y1i,z2＝x2＋y2i,x1,x2,y1,y2∈R,z＝z1－z2＝x＋yi,則
當cos(α－β)＝1時,(x＋8)2＋(y－3)2＝1,當cos(α－β)＝－1時,(x＋8)2＋(y－3)2＝9,所以復數z1－z2圍成的面積為兩個半徑分別為1和3的圓之間的圓環面積,即S＝9π－π＝8π,故選B.
例12(2016年清華大學自主招生測試)已知z為非零復數,和的實部與虛部均為不小于1的正數,則在復平面中,z所對應的向量的端點P運動所形成的圖形面積為________.
滿足上述不等式的區域是如圖3 所示的圖形中的陰影部分(其中A(10,10),B(10,10),C(10,10),D(20,20)).
圖3
該區域由一個四邊形ABCD和兩個弓形構成.由題意求得,由(a－20)2＋b2≤400的半徑為20,由余弦定理求得該圓中所對的圓心角為30°,所以以上區域中一個弓形的面積為
四邊形ABCD的面積為
所以點P運動所形成的圖形的面積為
2.5 利用復數的有關知識解決其他問題
例13(2016 年北京大學自主招生測試)若△ABC的三個頂點對應復數z1,z2,z3,且滿足＝1＋2i,則△ABC的面積與其最長邊的平方之比為( ).
如圖4 所示,作出△ABC,由＝1＋2i,得,所以,又
圖4
不妨設AC＝1,則BC＝2,AB＝,則△ABC為直角三角形,且AB為斜邊,所以S＝1,AB2＝5,所以,故選C.
例14(2017年北京大學博雅計劃)單位圓內接五邊形的所有邊長與對角線的平方和的最大值是( ).
A.15 B.20
C.25 D.以上答案均不正確
考慮圓內接五邊形P1P2P3P4P5,設Pi對應的復數為zi(1≤i≤5),所有線段的平方和為S,注意到有
當且僅當|z1＋z2＋z3＋z4＋z5|＝0,即P1P2P3P4P5是正五邊形時,取到等號.故選C.
(完)
