強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)備考系列講座(2)
——復(fù)數(shù)與方程

王慧興

(清華大學(xué)附屬中學(xué))

強(qiáng)基計(jì)劃高校校考試題與高考試題突出互補(bǔ)性,本文對(duì)這種互補(bǔ)性進(jìn)行例析.

1 知識(shí)技能

復(fù)數(shù)的知識(shí)要點(diǎn)歸納如表1所示.

表1

2 要點(diǎn)解析

1)重要恒等式

b)共軛與模的活化恒等式:＝|z|2.

c)平行四邊形恒等式:|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2).

d)拓展:|z1－z2|2＋|z2－z3|2＋|z3－z1|2＋|z1＋z2＋z3|2＝3(|z1|2＋|z2|2＋|z3|2).

e)深化:a3＋b3＋c3－3abc＝(a＋b＋c)(a＋ωb＋ω2c)(a＋ω2b＋ωc)(ω為1的虛立方根).

2)特殊復(fù)數(shù)(如表2)

表2

3)歐拉公式

最“美”公式eπi＋1＝0(恰好包含數(shù)學(xué)中五個(gè)特殊、關(guān)鍵的數(shù)).

4)復(fù)數(shù)模不等式

a)‖z1|－|z2‖≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|,右式取“＝”成立的條件是z1＝kz2(k＞0),左式取“＝”的條件是z1＝－kz2(k＞0).

5)旋轉(zhuǎn)計(jì)算

在平面上把點(diǎn)B(z1)繞點(diǎn)A(z0)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ,得點(diǎn)C(z2),對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)等式為

6)復(fù)數(shù)開(kāi)方

給定整數(shù)n≥2,復(fù)數(shù)z＝r(cosθ＋isinθ)(r＞0)的n次方根是

其中ε＝cos是1的一個(gè)n次方根,復(fù)數(shù)z0,z1,…,zn－1在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)表示的點(diǎn)均勻分布在圓上.

7)單位根及其性質(zhì)(如表3)

表3

8)復(fù)數(shù)與方程(如表4)

表4

9)復(fù)數(shù)與三角

10)復(fù)數(shù)與多項(xiàng)式

a)多項(xiàng)式插值公式:任給兩組復(fù)數(shù)u0,u1,u2,…,un以及v0,v1,v2,…,vn,則存在至多n次多項(xiàng)式P(z)滿足:P(uj)＝vj(j＝0,1,2,…,n),即

b)因式定理:多項(xiàng)式f(x)被x－a除得的余式是f(a),則(x－a)|f(x)?f(a)＝0.

c)整系數(shù)整式方程有理根包圍圈:整系數(shù)整式方程a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an＝0(aj∈Z,0≤j≤n,a0≠0)的有理根x＝r∈u|an,v|a0,u∈N*,v∈Z,(u,v)＝1}.

d)R[x]中不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式與二次不可約多項(xiàng)式x2＋ax＋b(a2－4b＜0).

e)已知f(x)∈R[x],則f(x)≥0(x∈R)?存在g(x),h(x)∈R[x],使得f(x)＝(g(x))2＋(h(x))2.

11)復(fù)數(shù)與幾何(如表5)

表5

12)等冪和算法

給定a1,a2,…,ak－1,ak,記

3 典例精析

3.1 復(fù)數(shù)基本運(yùn)算

例1求復(fù)數(shù)z＝并求最小正整數(shù)n,使得

3.2 復(fù)數(shù)與三角

復(fù)數(shù)與三角、反三角關(guān)聯(lián)的途徑主要是復(fù)數(shù)的三角形式、指數(shù)形式以及乘除、乘方與開(kāi)方運(yùn)算,n次單位根是建立三角恒等式的一個(gè)視角.

例2(清華大學(xué))求復(fù)數(shù)z＝2＋2e0.4πi＋e1.2πi的模.

3.3 不等式與最值

復(fù)數(shù)與不等式、最值的關(guān)聯(lián)主要是模與輔角.

例5已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1,求f＝|z3－3z＋2|的最大值.

按題意,z＝x＋yi(x,y∈R),則x2＋y2＝1,所以

例6已知復(fù)數(shù)a,b,c,滿足|a|2＋|b|2＋|c|2＝1,求證:|a3＋b3＋c3－3abc|≤1.

3.4 復(fù)數(shù)與方程

復(fù)數(shù)與方程相互交融,關(guān)聯(lián)廣泛.

證明目標(biāo)等價(jià)于2cosθ∈{－2,－1,0,1,2},所以只需證明2cosθ是某個(gè)整系數(shù)方程的有理根,為此,先證引理.

引理任取n∈N*,存在首一n次多項(xiàng)式p(x)∈Z[x],使得2cosnθ＝p(2cosθ).

引理證明當(dāng)n＝1 時(shí),取首一1 次多項(xiàng)式p(x)＝x,滿足2cosθ＝p(2cosθ);當(dāng)n＝2時(shí),取首一2次多項(xiàng)式p(x)＝x2－2,得

假設(shè)對(duì)n＜k＋2(k∈N*)都已存在首一n次多項(xiàng)式pn(x)∈Z[x],滿足2cosnθ＝pn(2cosθ),由

取首一k＋2次多項(xiàng)式pk＋2(x)＝xpk＋1(x)－pk(x)∈Z[x],得

綜上,由數(shù)學(xué)歸納法,引理得證.

由已知,2cosθ∈Q,再由引理,存在首一整系數(shù)多項(xiàng)式p(x),使得x＝2cosθ是一個(gè)整系數(shù)整式方程p(x)＝0的有理根,故2cosθ∈[－2,2]∩Z＝{－2,－1,0,1,2},即cosθ∈{－1,－

3.5 復(fù)數(shù)與幾何

通過(guò)復(fù)數(shù)運(yùn)算探究幾何問(wèn)題是幾何分析的重要方法.

例9(北京大學(xué))單位圓內(nèi)接五邊形的所有邊長(zhǎng)與對(duì)角線的平方和的最大值是( ).

A.15 B.20 C.25 D.以上答案都不對(duì)

用復(fù)數(shù)計(jì)算.設(shè)內(nèi)接于單位圓的五邊形P1P2P3P4P5各頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)Pk(zk),則|zk|＝1(k＝1,2,3,4,5),所以

例11在△ABC中,∠ACB＝30°,點(diǎn)M,I分別是△ABC的外心和內(nèi)心,在邊AC和BC上分別取點(diǎn)D,E,使 得AD＝BE＝AB,求證:MI⊥DE,且MI＝DE.

證明如圖1所示,以圖形所在平面為復(fù)平面,其中內(nèi)心I為原點(diǎn),同時(shí)以P表示點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù),則D＝,所以

圖1

3.6 多項(xiàng)式問(wèn)題

例12設(shè)a,b,c為互異實(shí)數(shù),P(x)∈R[x],已知P(x)除以x－a余式為a,P(x)除以x－b余式為b,P(x)除以x－c余式為c,求P(x)除以(x－a)·(x－b)(x－c)的余式.

方法1記P(x)＝(x－a)(x－b)·(x－c)u(x)＋r(x),其中r(x)∈R[x]是至多二次的多項(xiàng)式,所以按題意,r(a)＝P(a)＝a,r(b)＝P(b)＝b,f(c)＝P(c)＝c,所以r(x)＝x.

方法2由插值公式,得

故得恒等式

例13給定不同整數(shù)m1,m2,…,mn,求證:存在一個(gè)整系數(shù)n次多項(xiàng)式f(x)同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:

(1)f(mi)＝－1(1≤i≤n);

(2)f(x)不能分解為兩個(gè)次數(shù)都不小于1的整系數(shù)多項(xiàng)式之積.

證明一方面,n次整系數(shù)多項(xiàng)式f(x)＝(xm1)(x－m2)…(x－mn)－1,滿足條件(1).

另一方面,下用反證法證f(x)滿足條件(2).假設(shè)f(x)不滿足條件(2),則存在兩個(gè)次數(shù)都不小于1的整系數(shù)多項(xiàng)式g(x),h(x),使得f(x)＝g(x)·h(x),因?yàn)閒(mi)＝－1(i＝1,2,…,n),所以g(mi)·h(mi)＝－1(i＝1,2,…,n),從而g(mi)＋h(mi)＝0(i＝1,2,…,n),但多項(xiàng)式g(x)＋h(x)的次數(shù)小于n,所以g(x)＋h(x)＝0,從而f(x)＝－(g(x))2,這與f(x)是首一多項(xiàng)式矛盾.

綜上,f(x)＝(x－m1)(x－m2)…(x－mn)－1是滿足題設(shè)的整系數(shù)多項(xiàng)式.

例14(清華大學(xué))以和為兩根的有理系數(shù)多項(xiàng)式次數(shù)最小值是_________.

所以m(x)的次數(shù)d≤5.

另一方面,下證m(x)的次數(shù)d≥5.

假設(shè)存在一個(gè)次數(shù)不超過(guò)4的有理系數(shù)多項(xiàng)式m(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e(系數(shù)是不全為零的有理數(shù)),滿足

等式①中的有理數(shù)a,b,c可視為整數(shù),先證一個(gè)引理.

引理a＋＝0(a,b,c∈Q)?a＝b＝c＝0.

引理的證明分以下兩種情形.

情形一,c＝0,得

從而a＝b＝c＝d＝e＝0,矛盾,故m(x)的次≥5.

綜上,m(x)的次數(shù)等于5.

下面證明最小的正整數(shù)n≥5,為此我們用反證法證明滿足條件的n≥5.

當(dāng)n＝4 時(shí),假設(shè)存在有理數(shù)ai,bi(i＝1,2,…,n)滿足x2＋x＋4＝,則

存在整數(shù)a,b,c,d滿足a2＋b2＋c2＝15d2,模8得

不妨設(shè)a,b,c,d中有k(1≤k≤4)個(gè)奇數(shù),注意到“奇數(shù)的平方模8余1,偶數(shù)的平方模8余0或4”.若k＝4,則①即4≡0(mod8),矛盾! 若k＝3,則3＋(2p)2≡0(mod8),導(dǎo)致3≡0(mod4),亦矛盾! 若k＝2,則2＋(2p)2＋(2q)2≡0(mod8),導(dǎo)致2≡0(mod4),亦矛盾! 若k＝1,則1＋(2p)2＋(2q)2＋(2r)2≡0(mod8),導(dǎo)致1≡0(mod4),亦矛盾!

綜上,n≠4,從而n≥5,故所求最小正整數(shù)n＝5.

4 實(shí)戰(zhàn)演練

1.下面兩個(gè)命題:甲,設(shè)a,b,c∈C,如果a2＋b2＞c2,則a2＋b2－c2＞0.乙:設(shè)a,b,c∈C,如果a2＋b2－c2＞0,則a2＋b2＞c2.則這兩個(gè)命題的正誤是_________.

4.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1,求f＝|z2－z－2|的最大值與最小值,并給出對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z.

5.關(guān)于x的方程x2－(2i－1)x＋(3m－i)＝0(m∈R)有實(shí)根,求m的值,并解方程.

6.已知整系數(shù)四次方程x4＋px3＋qx2＋rx＋s＝0的四個(gè)根在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)恰好是一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn),求這個(gè)正方形面積的最小值.

7.已知z∈C滿足11z10＋10iz9＋10iz－11＝0,求證:|z|＝1.

8.求一個(gè)以x＝為唯一實(shí)數(shù)根的三次整系數(shù)多項(xiàng)式p(x).

9.方程z10＋(13z－1)10＝0有10個(gè)虛根,記為zj(j＝1,2,3,4,5),求f＝的值.

10.模為1的復(fù)數(shù)z1,z2,z3滿足z1＋z2＋z3≠0,求.

11.求最小實(shí)數(shù)λ,使得對(duì)滿足z1＋z2＋z3＝0以及|zj|＜1(j＝1,2,3)的復(fù)數(shù)z1,z2,z3,都有

12.設(shè)整數(shù)k不能被5整除,求證:多項(xiàng)式x5－x＋k不能分解為兩個(gè)次數(shù)較低的整系數(shù)多項(xiàng)式;如果k是5的倍數(shù),有什么結(jié)果?

13.給定凸四邊形ABCD(如圖2),若在四邊形ABCD內(nèi)有個(gè)點(diǎn)M,使得△AMB和△CMD均為等腰三角形(AM＝MB,CM＝MD),并且∠AMB＝∠CMD＝120°.試證:存在一個(gè)點(diǎn)N,使得△BNC和△DNA都是正三角形.

圖2

14.給定一個(gè)正整數(shù)n,設(shè)n個(gè)實(shí)數(shù)a1,a2,…,an滿足下列n個(gè)方程:

15.設(shè)n次多項(xiàng)式f(x)滿足f(k)＝(k＝0,1,2,…,n),求f(n＋1).

16.已知復(fù)系數(shù)n次多項(xiàng)式f(z)＝c0zn＋c1zn－1＋…＋cn－1z＋cn(c0≠0),求證:必存在一個(gè)復(fù)數(shù)z0滿足|z0|≤1,使得|f(z0)|≥|c0|＋|cn|.

(完)